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1、第十章第十章 排列、组合、排列、组合、二项式定理和概率二项式定理和概率第 讲（第二课时）（第二课时）题型题型4 利用方程思想及分解与合成利用方程思想及分解与合成 思想求相互独立事件的概率思想求相互独立事件的概率 1. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为的零件不是一等品的概率为 ，甲、丙两台，甲、丙两台机床加工的零件
2、都是一等品的概率为机床加工的零件都是一等品的概率为 . (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.解：解：(1)设设A、B、C分别表示甲、乙、丙三台分别表示甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，据题意，机床各自加工的零件是一等品的事件，据题意，A、B、C相互独立，且相互独立，且 P(A)1-P(B)= ， 即即 P(B)1-P(C)= . P(A)P(C)= 联立、可得，P(B)=1- P(C)，代入得，27P(C)2-51P(C)+22=0，解得P(C)= 或P(C)= (舍去).从而P(A)
3、= ，P(B)= .故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是 ， ，. (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品即事件A+B+C.因为 ，所以 . 故所求的概率为 .点评：事件的分解与合成、对立与统一是处理复杂事件与基本事件之间联系的基本方法，求解时注意基本事件的概率之间的关系及转化.甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.(1)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次，且乙恰好击中目标3次的概率；(2)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，求乙恰好射击5次后被中止
4、射击的概率.解：(1)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B，则P(A)= ，P(B)= .因为A，B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)= .故两人各射击4次，甲恰有2次击中目标，且乙恰有3次击中目标的概率是 .(2)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件C，“乙第i次射击击中目标”为事件Ci(i=1，2，3，4，5)，则 ，且P(Ci)= ，C1，C2，C3，C4相互独立.所以 .故乙恰好射击5次后被中止射击的概率为 .2. 一位学生每天骑自行车上学，从他家到学校有5个交通岗，假设他在交通岗遇红灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇到红灯的概
5、率均为p，其余3个交通岗遇到红灯的概率均为 .若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过 ，求p的取值范围解：该学生至多遇到一次红灯指没有遇到红灯(记为事件A)或恰好遇到一次红灯(记为事件B)，则 题型题型5 求概率的取值问题求概率的取值问题 .因为，解得 p .又0p1,所以p的取值范围是 ，1.点评：涉及到概率的取值范围一般是根据题意列出参数的函数形式或不等式，另外注意概率本身的取值范围.甲、乙两人进行一项科学实验，已知甲实验成功的概率为 ，乙实验成功的概率为x，甲、乙两个人至少有一个实验成功的概率为y. (1)若x ， ，求y的取值范围；(2)若恰有一人实验成功的概率为 y，求x、y的值.解：
6、(1)设“甲实验能成功”为事件A；“乙实验能成功”为事件B.则P(A)= ，所以P( )= .P(B)=x，所以P( )=1-x.所以有y= .当x ， ，可知y ， . (2)依题意，可得及(1)得：，解得.3. 经统计,某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下： (1)每天不超过20人排队结算的概率是多少? (2)一周7天中,若有3天以上(含3天)出现超过15人排队结算的概率大于0.75,商场就需要增加结算窗口,请问该商场是否需要增加结算窗口？ 题型题型6 概率在实际问题中的决策作用概率在实际问题中的决策作用排排队队人数人数0561011151620212525人人以上以上
7、概率概率0.10.150.250.250.20.05解 ： (1)每 天 不 超 过 20人 排 队 结 算 的 概 率 为P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率是0.75. (2)每天超过15人排队结算的概率为0.25+0.2+0.05= ，一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为 ；一 周 7天 中 ， 有 一 天 出 现 超 过 15人 排 队 结 算 的 概 率 为 ；一 周 7天 中 ， 有 二 天 出 现 超 过 15人 排 队 结 算 的 概 率 为 ；所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为所以，该商场需要增加结算窗口.
8、点评：随机事件来源于实际生活和生产，随机事件的概率知识又服务于实际应用.利用随机事件的规律(即概率)对生活活动进行辅助决策，这体现了数学知识与实际应用的紧密联系. 一一次次考考试试共共有有12道道选选择择题题，每每道道选选择择题题都都有有4个个选选项项，其其中中有有且且只只有有一一个个是是正正确确的的.评评分分标标准准规规定定：“每每题题只只选选一一个个选选项项，答答对对得得5分分，不不答答或或答答错错得得零零分分”.某某考考生生已已确确定定有有8道道题题的的答答案案是是正正确确的的，其其余余题题中中有有两两道道题题都都可可判判断断两两个个选选项项是是错错误误的的，有有一一道道题题可可判判断断
9、一一个个选选项项是是错错误误的的，还还有有一一道道题题因因不不理解题意只好乱猜理解题意只好乱猜.请求该考生：请求该考生： (1)得得60分的概率；分的概率； (2)得多少分的可能性最大得多少分的可能性最大.解：(1)设“可判断两个选项是错误的两道题选对”为事件A，“可判断一个选项是错误的一道题选对”为事件B，“有一道题不理解题意选对”为事件C.则P(A)=，P(B)=，P(C)=.所以，得60分的概率为P=. (2)得40分的概率为P= ；得45分的概率为P= ；得50分的概率为P= ；得55分的概率为P= .所以得45分或50分的可能性最大. 1. 对于较复杂的概率问题，应分清事件的构成以及
10、概率的转化，熟悉“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等词语的真实含义，并注意运用集合的观点，利用事件的内在联系，促成复杂事件的概率问题向简单事件的概率问题转化.2.解决概率问题的一般步骤可概括如下：第一步确定事件的性质(等可能性事件，互斥事件，独立事件，n次独立重复试验)，即将所给问题归结到四类事件中的某一种；第二步，判断事件的运算方式(和事件，积事件)，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件；第三步，运用公式：等可能性事件：P(A)= .互斥事件：P(A+B)=P(A)+P(B).独立事件：P(AB)=P(A)P(B).n次独立重复试验： .3. 利用利用P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)和和P(A+B)+P( )=1这两个概率恒等式，这两个概率恒等式，求求P(A+B)有时是十分方便的有时是十分方便的.4. 有些事件的概率难以从题设背景直有些事件的概率难以从题设背景直接求解，则可考虑利用方程思想或分解接求解，则可考虑利用方程思想或分解与合成思想求解与合成思想求解.
