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1、数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 1643-17271736-1813 1879-19551数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group第三章 一元函数一元函数的导数、微分及其应用的导数、微分及其应用第一节 导数的概念第二节 导数的运算第三节 微分的概念与应用 第四节 微分中值定理第五节 导数的应用7/25/2024数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 定理定理1 1、罗尔、罗尔( ( RolleRolle ) )定理定理定理2、拉格朗日
2、中值定理 第四节 微分中值定理 定理定理3 3、柯西柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理 3数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 费马费马(fermat)引理（引理（补充补充）定理定理1、罗尔、罗尔( Rolle )定理定理且 存在证证: 设则4数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 定理定理1、罗尔（、罗尔（ Rolle ）定理定理满足:(1) 在区间 a , b 上连续(2) 在区间 (a , b) 内可导(3) f ( a ) = f ( b )使证证:故在 a ,
3、b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 则因此在( a , b ) 内至少存在一点5数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设 则至少存在一点使则由费马引理得 6数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 定理定理2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理(1) 在区间 a , b 上连续满足:(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点使思路思路: 利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数
4、显然 ,在 a , b 上连续 ,在 ( a , b ) 内可导, 且证证: 问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立 .7数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例1 1. 设函数在区间 上是否满足拉格朗日中值定理的条件？若满足，求适合定理的值. 解解. . 因为是初等函数，在区间上连续，且在开区间内可导，且 所以函数在区间 上满足拉格朗日中值定理的条件. 由拉格朗日中值定理得 即 解得 8数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例2.若函数在区间 I 上满足则在 I 上必为
5、常数.证证: 在 I 上任取两点日中值公式 , 得由 的任意性知, 在 I 上为常数 .9数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 定理定理3、柯西、柯西(Cauchy)中值定理中值定理分析分析:及(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导(3)在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点使满足 :要证10数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 证证: 作辅助函数且使即由罗尔定理知, 至少存在一点11数学与生物信息学教研室Mathematics & Bio
6、informatics Group 例例3. 设至少存在一点使设则在 a, b 上满足柯西中值定理条件, 因此在 a, b内至少存在一点 ,使即证明12数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 内容小结内容小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论费马引理13数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 思考与练习思考与练习1. 填空题填空题1) 函数在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理条件, 则中值2) 设有个根 , 它们分别在区间上.方程14数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 柯西柯西(1789 1857)法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 .对数学的影他是经典分析的奠人之一, 他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 17
