《概率论与数理统计4-1矩阵的特征值与特征向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计4-1矩阵的特征值与特征向量（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1节 矩阵的特征值与特征向量第4章 矩阵的特征值一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质2021/6/71说明说明一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念2021/6/72说明说明2021/6/732021/6/742021/6/752021/6/764.特征向量的求法：特征向量的求法：为方阵为方阵A的一个特征值，的一个特征值，则由则由可求得非零解可求得非零解的基础解系，的基础解系， 的特征向量的特征向量A的对应于
2、特征值的对应于特征值 的全部特征向量是的全部特征向量是2021/6/77注意注意 特征方程特征方程有相同的有相同的特征根；特征根； A的对应于特征值的对应于特征值的特征向量是的特征向量是的非零解，的非零解，的非零解的非零解.也是方程组也是方程组2021/6/781.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的注意注意2.一个特征值具有的特征向量一个特征值具有的特征向量不唯一；不唯一；2021/6/79解解例例1 1 2021/6/710是矩阵是矩阵A对应于对应于的全部特征向量的全部特征向量. .2021/6/711例例1 1 是矩阵是矩阵A对应于对应于的
3、全部特征向量的全部特征向量. .2021/6/712例例2 2 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解2021/6/7132021/6/714得基础解系为：得基础解系为：2021/6/715求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：2021/6/716性质性质1 n阶矩阵阶矩阵A与它的转置矩阵与它的转置矩阵AT有相同的特征值有相同的特征值.二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质证明证明2021/6/717性质性质2 设设是是n阶矩阵，则阶矩阵，则 其中其中是是A的全体的全体k阶主子式的和阶主子式的和.是是A的的n个特征值，则个特征值，则A的迹，的迹，
4、tr(A)2021/6/718性质性质3: n阶矩阵阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零有一个特征值为零. 证证 必要性必要性 若若A是奇异矩阵，则是奇异矩阵，则即即0是是A的一个特征值的一个特征值. 充分性充分性 设设A有一个特征值为有一个特征值为0， 对应的特征向量为对应的特征向量为p 由特征值的定义，有由特征值的定义，有所以齐次线性方程组所以齐次线性方程组Ax=0有非零解有非零解p由此可知由此可知|A|=0,即即A为奇异矩阵为奇异矩阵.2021/6/719性质性质3 : n阶矩阵阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个
5、特征值为零有一个特征值为零. 推论推论n阶矩阵阶矩阵A可逆，当且仅当它的任一特征值可逆，当且仅当它的任一特征值不为零不为零.2021/6/720例例3 3 设设是方阵是方阵A A的特征值的特征值, , 证明证明 (1) 是是的特征值的特征值; (2) (2) 当当A A可逆时可逆时, , 的特征值的特征值.推广推广2021/6/721例例3 3 设设是方阵是方阵A A的特征值的特征值, , 证明证明 (1) 是是的特征值的特征值; (2) (2) 当当A A可逆时可逆时, , 的特征值的特征值.2021/6/722例例3 3 设设是方阵是方阵A A的特征值的特征值, , 证明证明 (1) ml
6、 l（2）是是kA的特征值的特征值（3）是是kA2的特征值的特征值（4）是是kAm的特征值的特征值2021/6/723例例3 3 设设是方阵是方阵A A的特征值的特征值, , 证明证明 (1) ml l（2）是是kAm的特征值的特征值（3）是是AA2的特征值的特征值结论结论的特征值是的特征值是若若是方阵是方阵A A的特征值的特征值, , 则则2021/6/724的特征值是的特征值是若若是方阵是方阵A A的特征值的特征值, , 则则结论结论若若是方阵是方阵A A的特征值的特征值, , 则则2021/6/725例例4 设设3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为1,-1,2, 求求解解 因因A的特征值
7、全不为的特征值全不为0，知，知A可逆，故可逆，故故故的特征值为的特征值为2021/6/726定理定理1 n阶矩阵阶矩阵A的互不相等的特征值的互不相等的特征值对应的特征向量对应的特征向量线性无关线性无关.2021/6/727性质：一个特征向量不能属于不同的特征值性质：一个特征向量不能属于不同的特征值2021/6/728是矩阵是矩阵A的两个不同的特征值的两个不同的特征值, 对应的特征向量依次为对应的特征向量依次为A的特征向量的特征向量.例例5不是不是证明证明 用反证法，设用反证法，设是是A的特征向量，的特征向量， 按题设，有按题设，有 则应存在数则应存在数使使 2021/6/729是矩阵是矩阵A的两个不同的特征值的两个不同的特征值, 对应的特征向量依次为对应的特征向量依次为A的特征向量的特征向量.例例5不是不是由定理由定理1 1知知线性无关，故由上式得线性无关，故由上式得即即与题设矛盾与题设矛盾. A的特征向量的特征向量.不是不是12pp + +所以所以2021/6/730部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
