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1、二二 项项 式式 定定 理理建瓯一中：吴振旺一、教材分析【教材的地位及作用教材的地位及作用教材的地位及作用教材的地位及作用】 “二项式定理”是高中数学新教材第二册（下B）第十章第四节，它是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块。实际上，它是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式-二项式乘方的展开式。它与后面学习的概率理论中的二项分布有内在联系，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识，因此，二项式定理起着承上启下的作用，是本章教学的一个重点。 本小节约需3个课时，本节课是第一课时。【学生情况分析】【学生情况分析】 授课对象是高二中等程度班级的学生。学生具有一般的归纳推理能力，
2、学生思维较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程。 （根据以上分析，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重、难点）。【教学目标】【教学目标】使学生掌握二项式定理及推导方法、二项展使学生掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题。理计算或证明一些简单的问题。 1、知识目标：2、能力目标：在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的
3、化归意识与知识迁移的能力。以及学生的化归意识与知识迁移的能力。 3、情感目标：通过通过“二项式定理二项式定理”的学习，培养学生解决的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美，在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美，结合结合“杨辉三角杨辉三角”，对学生进行爱国主义教，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情，培养学生勇于探索、勇于勤奋学习的热情，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。创新的精神。 【教学重点、难点、关键】重点：（1）使学生参
4、与并深刻体会二项式定理的形成）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成 过程，掌握二项式定理；过程，掌握二项式定理；（2）能正确应用二项式定理解决一些简单的问题。）能正确应用二项式定理解决一些简单的问题。 难点：（1）二项式系数与组合数之间的联系；）二项式系数与组合数之间的联系；（2）二项展开式的应用及一些易混淆的概念。）二项展开式的应用及一些易混淆的概念。 突破难点的关键：（1）利用组合数及性质分析）利用组合数及性质分析“杨辉三角杨辉三角”中各数的关中各数的关系系 ；（2）利用组合的知识归纳二项式系数；）利用组合的知识归纳二项式系数；（3）充分利用二项展开式及通项公式。）充分利用二项展开式及通项
5、公式。 二、教法、学法分析 数学是一门培养人的思维发展的重要学科。因此，在教学中让学生自己发现规律是最好的途径。正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。”本节课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，又可利用组合的有关知识加以分析、归纳，通过对二项展开式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分析、猜想、归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察、联想、归纳能力。不仅重视知识的结果，而且注重了知识的发生、发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教学
6、理念，培育了本节课内容最佳的“知识生长点”，这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。 三、教学手段 制作多媒体课件，以增加课堂容量，提高学生的兴趣，使学生加深对定理、概念的理解。 四、教学过程设计【复习引入：复习引入： 】复习回顾： 提问初中学过的完全平方公式是什么？提问初中学过的完全平方公式是什么？你能写出你能写出 ， 设计意图： 通过复习旧知识，自然引入，在这里设计通过复习旧知识，自然引入，在这里设计了层层递进多项式展开问题，目的是为了让学了层层递进多项式展开问题，目的是为了让学生了解知识发生、发展的过程，激发学生的认生了解知识发生、发展的过程，激发学生的认知的冲突，让学生明白知的冲突
7、，让学生明白 实质上是多项实质上是多项式的乘法。式的乘法。 思路一：思路一：思路一：思路一：提问：(1)、以 为例，展开式中各项字母的形式是什么？展开式项的次数是什么？有几项？(2)、 展开式中各项的系数与 展开式中各项的系数有没有关系？(3)、你能猜想 展开式的形式吗？观察下列几个等式：【设计意图设计意图 ： 】 由特殊的二项式来分析猜由特殊的二项式来分析猜想一般的想一般的 展开式，培养展开式，培养学生由特殊到一般的思维方式，学生由特殊到一般的思维方式，培养学生大胆探索的精神。培养学生大胆探索的精神。 （）、展开式中各项是 的形式，可按a（或b）的降幂排成：（）、展开式中各项系数的规律：将
8、中 展开式的系数列成表如下： 1 1 1 2 1 1 3 3 11 4 6 4 1 发现： 发现每行两端都是，后一行其它各数是上一行肩上二数之和。再从一个数等于另二数之和联想到结合数及其性质： ，于是各项系数可写成表中形式： 由此猜想 展开式的各项系数： 【设计意图设计意图 ： 】 学学生生对对各各项项是是 形形式式不不难难猜猜到到，但但对对二二项项式式系系数数不不易易想想到到。通通过过“杨杨辉辉三三角角”中中的的数数字字规规律律，联联想想到到组组合合数数及及性性质质，进进而而可可用用组组合合数数来来表表示示表表中中的的数数，从从而而猜猜想想 各各项项系系数数为为 ，让让学学生生的的思思维维从
9、从特特殊殊到到一一般般，由由迷迷茫茫到到大大悟悟，使使学学生生深深深深体体会会到到数数学学内内在在的的和和谐谐、对对称称美美。在在此此，适适时时对对学学生生进进行行爱爱国国主主义义教教育育，激激发发学学生生的的民民族族自自豪豪感感和和学学习习数学的热情。数学的热情。 思路二思路二思路二思路二：观察下式： 由多项式乘法知，其展开式的每一项是由4个括号各取一项相乘而得，故每一项都是 形式，即 .各项系数是由相同的项合并而成的，有几项其系数就是几，故 含 的项只能由每个括号取a不取b（或说取0个b）而得，即 ，系数为；含 的项只能由3个括号取a，余下的1个括号取b而得，即 ，系数为；含 的项只能由2
10、个括号取a，余下的2个括号取b而得，即 ，系数为；含 的项只能由1个括号取a，余下的3个括号取b而得，即 ，系数为；含 的项只能由4个括号都取b而得，即 ，系数为； 从而可得：提问： 的展开式怎么写呢？ 引导学生回答：可以对b分类： 不取b，得取1个b，得取2个b，得取k个b，得取n-1个b，得取n个b，得 将这n+1个式子相加，可得二项式定理 【设计意图设计意图 ： 】 本本环环节节以以问问题题为为中中心心，由由浅浅入入深深地地引引导导学学生生大大胆胆猜猜想想。利利用用组组合合知知识识，充充分分揭揭示示二二项项展展开开式式的的内内涵涵和和外外延延。帮帮助助学学生生建建构构和和完完善善自自己己
11、的的认认知知结结构构，既既显显得得合合情情合合理理，又又科科学学严严谨谨。进进一一步步强强化学生的逻辑思维能力和归纳能力。化学生的逻辑思维能力和归纳能力。 完善结论：把上述探索得到的结果叫做二项式定理，右边的多项式，共有n+1项，其中各项系数 叫做二项式系数，其通项公式为： . 说明 ：（1）、猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全归纳法得出，需加以证明。其证明因目前知识所限，留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。（2）、二项式定理是个恒等式，定理中字母a、b可表示数或式，其中 .（3）、展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母a降幂，b升幂排列。（4）、通项公式表示的是第r+1项
12、，不是第r项，且a、b位置不能对换。（5）、二项式系数为 ，注意与项的系数的区别。 例如： 的第三项是 ，其二项式系数为： ，第三项的系数为： 。 【设计意图设计意图 ： 】 对对定定理理的的特特点点加加以以说说明明，可可使使学学生生能能熟熟练练掌掌握握定定理理的的特特点点，以以便便今今后后在在应应用用定定理理解解决决问问题题时时能得心应手。能得心应手。 应用解析：例：（1）、展开 （2）、求 展开式的第3项 （学生练习:） （3）、求 展开式的第3项 【设计意图设计意图 ： 】例例（1）是是对对二二项项式式定定理理的的简简单单应应用用，目目的的在在于于对对定定理理字字母母a、b所所表表示示的
13、的数数或或式式的的领领会会及及运运用用定定理理的的能能力力；例例（2）、（3）二二题题着着重重于于学学生生对对通通项项公公式式的的掌掌握握，体体会会二二项项式式定定理理 的的展展开开式式中中a与与b位位置置不不能能对对换换，并并注注意意到到例例（3）的结论正是例（的结论正是例（2）展开式中的倒数第）展开式中的倒数第3项。项。 应用解析：例（4）、 的展开式中， 项的系数是多少？ 【设计意图设计意图 ： 】 本本题题可可先先将将其其中中的的二二项项看看成成一一个个整整体体，再再用用二二项项式式定定理理展展开开，进进而而求求出出其其系系数数，这这种种解解法法体体现现了了化化归归的的意意识识，但但本
14、本题题如如能能根根据据二二项项式式定定理理的的形形成成过过程程中中项项的的系系数数的的探探究究，可可得得如如下下解解法法：从从7个个括括号号的的2个个里里取取“a”得得 ，再再从从余余下下的的5个个括括号号中中的的3个个取取“2b”得得 ，最最后后剩剩下下的的2个个括括号号里里取取“3c”得得： ，由分步计数原理得：，由分步计数原理得： 通通过过本本题题的的学学习习，有有利利于于学学生生对对知知识识的的串串联联、累累积积、加加工工，使使学学生生的的思思维维有有一一个个升升华华过过程程，从从而而达到举一反三的效果，加深学生对数学本质的理解。达到举一反三的效果，加深学生对数学本质的理解。 小结 思
15、路一：由特殊的二项式来分析猜想一般的 展开式 思路二：根据多项式乘法、结合组合知识，通过猜想归纳得到 二项式定理： 及通项公式： 注意事项 （a）、注意观察、分析、猜想、归纳（证明）的数学方法。（b）、二项式定理是个恒等式，定理中字母a、b可表示数或式，其中 .（c）、展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母a降幂，b升幂排列。（d）、通项公式表示的是第r+1项，不是第r项，且a、b位置不能对换。 （e）、二项式系数为 ，注意与项的系数的区别。 布置作业布置作业1 1、课本作业：、课本作业：、课本作业：、课本作业：113 1、（、（1），），2、（、（2），），3、（3） 2 2、思考题：
16、、思考题：、思考题：、思考题：求求 的展开式中的展开式中x的系数的系数 3 3、研究性题：、研究性题：、研究性题：、研究性题： 的展开式中x的系数为19，求 的系数的最小值及此时展开式中 的系数。 【设计意图设计意图 ： 】（1）、本本节节课课从从知知识识上上学学习习了了二二项项式式定定理理及及通通项项公公式式，从从方方法法上上通通过过二二项项式式定定理理的的形形成成过过程程，学学会会了了观观察察、分分析析、猜猜想想、归归纳纳（证证明明）的的数数学学方方法法，通通过过小小结结，使使学学生生对对本本节节课课的的知知识识脉脉络更加清晰。络更加清晰。（2）、通通过过作作业业巩巩固固所所学学知知识识，
17、发发现现和和弥弥补补教教学学中中的的疏疏漏漏与与不不足足，强强化化基基本本技技能能训训练练，培培养养学生良好的学习习惯和品质。学生良好的学习习惯和品质。 五、课后反思本节课是二项式定理的第一节课，在教学中注意以下几点：本节课是二项式定理的第一节课，在教学中注意以下几点：1、本本节节课课以以“二二项项式式定定理理”的的形形成成过过程程为为主主线线，让让学学生生思思维维由由特特殊殊到到一一般般，演演绎绎、归归纳纳，得得出出定定理理。培培养养学学生生猜猜想想、归归纳纳，整整节节课以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。课以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。2、在在例例题题、练练习
18、习、作作业业的的配配备备上上，我我认认为为高高中中学学习习的的特特点点是是跨跨度度大大，思思维维能能力力要要求求高高。因因此此，在在题题目目的的设设置置上上，加加大大了了思思维维的的含含量量，如如例例4，让让学学生生体体会会到到二二项项式式定定理理形形成成过过程程中中的的思思维维方方式式，培培养养了了学学生生的的知知识识迁迁移移能能力力，因因此此，我我认认为为习习题题的的搭搭配配应应力力求求让让学学生生处处理理每每一一个个问问题题都都必必须须有有所所思思考考，使使学学生生体体会会到到：数数学学不不能能生生搬搬硬硬套，应该用数学的思想方法去学习数学、认识数学。套，应该用数学的思想方法去学习数学、
19、认识数学。3、以学生为主体，让学生自己去探索、发现、再创造，最能调、以学生为主体，让学生自己去探索、发现、再创造，最能调动学生的积极性，最有利于培养数学能力，特别是创造性能力，从动学生的积极性，最有利于培养数学能力，特别是创造性能力，从数学教育对人的发展的意义看，有效理解、主动探索的认识过程必数学教育对人的发展的意义看，有效理解、主动探索的认识过程必然伴随着学生心理意志、情感、品质的成长与完善，数学教学的最然伴随着学生心理意志、情感、品质的成长与完善，数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知识本身，其潜在的也是最重要的终目标并非唯一地指向数学具体知识本身，其潜在的也是最重要的恰是指向学生的人性品质、生命成长。恰是指向学生的人性品质、生命成长。 板书设计：104 104 二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理一、复习引入一、复习引入一、复习引入一、复习引入二、二项式定理二、二项式定理二、二项式定理二、二项式定理思路一思路一思路一思路一 思路二思路二思路二思路二 三、二项式定理的几点说明三、二项式定理的几点说明三、二项式定理的几点说明三、二项式定理的几点说明四、应用解析四、应用解析四、应用解析四、应用解析五、小结五、小结五、小结五、小结六、布置作业六、布置作业六、布置作业六、布置作业谢 谢
