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1、瞬时速度瞬时速度与导数与导数复习旧知复习旧知1、平均变化率的概念：平均变化率的概念： 当当x0时，商时，商称作函数称作函数y=f(x)在区间在区间x0，x0+x(或或x0+x，x0)的平均变化率。的平均变化率。2、求函数、求函数f(x)的平均变化率的一般步骤的平均变化率的一般步骤:问题情境问题情境: 跳水运动员从跳水运动员从10m10m高跳台腾空到入水的过程高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设中，不同时刻的速度是不同的。假设t t 秒后运秒后运动员相对于水面的高度为动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9tH(t)=-4.9t2 2+6.5t+10,+6.5t+10,试确定试
2、确定t=2st=2s时运动员的速度。时运动员的速度。(1)(1)计算运动员在计算运动员在2s2s到到2.1s(t2,2.1)2.1s(t2,2.1)内的平均内的平均速度。速度。(2)(2)计算运动员在计算运动员在2s2s到到2+2+t s(t2,2+t s(t2,2+t)t)内内的平均速度。的平均速度。时间区间时间区间 t t 平均速度平均速度22，2.12.10.10.1-13.59-13.592,2.012,2.010.010.01-13.149-13.1492,2.0012,2.0010.0010.001-13.1049-13.10492,2.00012,2.00010.00010.00
3、01-13.10049-13.100492,2.000012,2.000010.000010.00001-13.100049-13.1000492,2.0000012,2.0000010.0000010.000001-13.1000049-13.1000049时间区间时间区间 t t 平均速度平均速度1.91.9，22 0.10.1 -12.61 -12.611.99,21.99,2 0.010.01 -13.051 -13.0511.999,21.999,2 0.0010.001 -13.0951 -13.09511.9999,21.9999,2 0.00010.0001 -13.09951
4、 -13.099511.99999,2 1.99999,2 0.00001 -13.0999510.00001 -13.099951该常数可作为运动员在该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。时的瞬时速度。 设物体作直线运动所经过的路程为设物体作直线运动所经过的路程为s=h(t)。 以以t0为起始时刻，物体在为起始时刻，物体在 t时间内的平均速度为时间内的平均速度为就是物体在就是物体在t0时刻时刻的的瞬时速度瞬时速度，即，即 所以当所以当 t0时，比值时，比值 趋近于一个常数趋近于一个常数L 一、瞬时速度一、瞬时速度函数的瞬时变化率：函数的瞬时变化率： 函数函数y=f(x)，在，在x0及其附近有
5、意义及其附近有意义，自变量自变量在在x=x0附近改变量为附近改变量为x 平均变化率为平均变化率为f(x0+x)f(x0).则函数值相应的改变则函数值相应的改变y= 当当x 0 时，时，常数常数 常数常数 称为函数称为函数f(x)在点在点x0的瞬时变化率的瞬时变化率 上述过程记作上述过程记作二二. .导数的概念导数的概念即即 如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说f(x)在开区间 (a,b)内可导这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x，都对应着一个确定的导数 这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导导函
6、数函数，简称为导数导数，记作例1.求y=x2在点x=1处的导数解：解：由定义求导数（三步法由定义求导数（三步法）步骤步骤:例例2.2.求求y=x2+2在点在点x=1处的导数处的导数解：解：变题变题. .求求y=x2+2在点在点x=a处的导数处的导数 练习：练习：(1)(1)求函数求函数y=2x在在x=1处的导数处的导数; ; (2) (2)求函数求函数 在在x=2处的导数处的导数. .练习题1 1一物体的运动方程是一物体的运动方程是s s=3+=3+t t2 2，则在一小段时间，则在一小段时间2, 2.12, 2.1内相内相应的平均速度为（应的平均速度为（ ） A A0.41 B0.41 B3
7、 3 C C4 D4 D4.1 4.1 D D2 2设设y y= =f f( (x x) )函数可导，则函数可导，则 等于（等于（ ） A Af f (1) B(1) B不存在不存在 C C f f (1) D(1) D3 3f f (1)(1)3 3函数函数y y=2=2mxmx+ +n n的瞬时变化率是的瞬时变化率是 . . 4、若课堂小结：课堂小结：如果物体的运动规律是如果物体的运动规律是 s=s(t)s=s(t)，那么物体在时刻，那么物体在时刻t t的的瞬时速度瞬时速度v v，就是物体在，就是物体在t t到到 t+t+t t这段时间内，当这段时间内，当 t t0 0 时平均速度时平均速
8、度: :1、瞬时速度、瞬时速度2、导数的概念、导数的概念 我们称我们称f(x)在在x=x0可导可导,并称该常数并称该常数A为函数为函数f(x)在在x=x0处的导数，记为处的导数，记为f/(x)3、导函数与导数（值）的关系、导函数与导数（值）的关系 如果函数如果函数 f(x)在开区间在开区间 (a,b) 内每一点都可导，内每一点都可导，就说就说f(x)在开区间在开区间 (a,b)内可导这时，对于开区内可导这时，对于开区间间 (a,b)内每一个确定的值内每一个确定的值 x0，都对应着一个确，都对应着一个确定的导数定的导数 f (x0)，这样就在开区间，这样就在开区间(a,b)内构成了内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开在开区间区间(a,b)内的内的导函数导函数，简称为，简称为导数导数，记作，记作函数在点函数在点 处的导数处的导数 、导函数、导函数 、导数、导数 之之间的区别与联系。间的区别与联系。1）函数在一点 处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数在点 处的导数的方法之一。
