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1、概率论与数理统计概率论与数理统计一、概率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布三、小结三、小结第三节连续型随机变量及其概率密度第三节连续型随机变量及其概率密度概率论与数理统计概率论与数理统计 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一所有可能取值充满一个区间个区间, 对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, 不能象不能象离散型随机变量那样离散型随机变量那样, 以指定它取每个值以指定它取每个值概率的方式概率的方式, 去给出其概率分布去给出其概率分布, 而是通而是通过给出所谓过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式的方式. 下面
2、我们就来介绍对连续型随机变量的下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法描述方法.概率论与数理统计概率论与数理统计则称则称 X为为连续型随机变量连续型随机变量, 称称 f (x) 为为 X 的的概率密概率密度度函数函数，简称为，简称为概率密度概率密度 .有有,使得对任意实数使得对任意实数 , 对于随机变量对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数 f (x) , 连续型随机变量的分布函数在连续型随机变量的分布函数在 上连续上连续一、概率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质概率论与数理统计概率论与数理统计xF ( x )分布函数与密度函数几何意义分布函数与密度函数几何意义
3、xf ( x)-10-550.020.040.060.08概率论与数理统计概率论与数理统计概率密度的性质概率密度的性质1 o2 o f (x)xo面积为面积为1这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r .v X 的的概率密度的充要条件概率密度的充要条件概率论与数理统计概率论与数理统计利用概率密度可确利用概率密度可确定随机点落在某个定随机点落在某个范围内的概率范围内的概率对于任意实数对于任意实数 x1 , x2 , (x1 x2 ) ,概率论与数理统计概率论与数理统计则当则当则当则当 充分小时，有充分小时，有充分小时，有充分小时，有近似于小矩形面积近似于小矩形
4、面积近似于小矩形面积近似于小矩形面积 若若 f (x) 在点在点 x 处连续处连续 , 则有则有概率论与数理统计概率论与数理统计设设设设 为连续型为连续型为连续型为连续型 为任意常数为任意常数为任意常数为任意常数, , , ,问问问问有有有有 对于连续型对于连续型对于连续型对于连续型r.v r.v r.v r.v 有有有有设设设设 为连续型为连续型为连续型为连续型 为任意常数为任意常数为任意常数为任意常数, , , ,则则则则那么那么那么那么 是否是不可能事件是否是不可能事件是否是不可能事件是否是不可能事件注意分布函数注意分布函数注意分布函数注意分布函数一定连续一定连续一定连续一定连续概率论与
5、数理统计概率论与数理统计计算概率计算概率计算概率计算概率设设设设 的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为确定常数确定常数确定常数确定常数 并求并求并求并求 的分布函数的分布函数的分布函数的分布函数的分布函数是的分布函数是的分布函数是的分布函数是概率论与数理统计概率论与数理统计设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为现对现对X进行进行n次独立重复观测，以次独立重复观测，以Y表示观测值不大于表示观测值不大于0.1的次数，试求随机变量的次数，试求随机变量Y的分布律的分布律事件事件“观测值不大于观测值不大于0.1”，即事件，即事件X 0.1的概率的概率由题意由题意Y服从服从B(n，0.
6、01)，于是，于是Y的分布律为的分布律为概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计如果如果如果如果 的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为则称则称则称则称 服从区间服从区间服从区间服从区间 上的上的上的上的 记为记为记为记为均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布 故故故故 的确是密度函数的确是密度函数的确是密度函数的确是密度函数的图形的图形的图形的图形有有有有 即即即即 落在落在落在落在 中的概率只与区间长度有关中的概率只与区间长度有关中的概率只与区间长度有关中的概率只与区间长度有关, , , ,而与位而与位而与位而与位置无关置无关置无关置无关, , , ,这反映了某
7、种这反映了某种这反映了某种这反映了某种“等可能性等可能性等可能性等可能性”,”,”,”,即即即即 在区间在区间在区间在区间 上上上上“等可能取值等可能取值等可能取值等可能取值”其它其它其它其它概率论与数理统计概率论与数理统计 设随机变量设随机变量X在在(2,5)上服从均匀分布，现对上服从均匀分布，现对X进行进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率的概率 因为随机变量因为随机变量X在在(2,5)上服从均匀分布，上服从均匀分布，所以所以X的概率密度为的概率密度为事件事件“对对X的观测值大于的观测值大于3”的概率为的概率为设设Y表示三次独立观测中观测值
8、大于表示三次独立观测中观测值大于3的次数，的次数，概率论与数理统计概率论与数理统计越大曲线越平越大曲线越平越大曲线越平越大曲线越平如果如果如果如果 的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为则称则称则称则称 服从参数为服从参数为服从参数为服从参数为 的的的的 记为记为记为记为指数分布指数分布指数分布指数分布 故故故故 的确是密度函数的确是密度函数的确是密度函数的确是密度函数的图形的图形的图形的图形下方面积为下方面积为下方面积为下方面积为1 1 1 1的分布函数为的分布函数为的分布函数为的分布函数为概率论与数理统计概率论与数理统计设设设设考虑概率考虑概率考虑概率考虑概率概率论与数理统计概率
9、论与数理统计如果如果如果如果 的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为其中参数其中参数其中参数其中参数 则称则称则称则称 服从参数为服从参数为服从参数为服从参数为 的的的的正态分布正态分布正态分布正态分布 , , , ,记为记为记为记为故故故故 确是密度函数确是密度函数确是密度函数确是密度函数概率论与数理统计概率论与数理统计, , , ,即即即即 关于关于关于关于 对称对称对称对称 当当当当 时时时时当当当当 时时时时在在在在 处取极大值处取极大值处取极大值处取极大值即曲线即曲线即曲线即曲线 以以以以 轴为渐近线轴为渐近线轴为渐近线轴为渐近线 当参数当参数当参数当参数 发发发发生生生生
10、变变变变化化化化时时时时, , , ,曲曲曲曲线线线线会会会会发生怎样的变化发生怎样的变化发生怎样的变化发生怎样的变化? ? ? ?, ,图形向右平移图形向右平移图形向右平移图形向右平移, ,形状不变形状不变形状不变形状不变小小小小 大大大大大大大大 小小小小 , ,图形向左平移图形向左平移图形向左平移图形向左平移, ,形状不变形状不变形状不变形状不变小小小小 大大大大 , ,图形变图形变图形变图形变平坦平坦平坦平坦大大大大 小小小小 , ,图形变图形变图形变图形变尖锐尖锐尖锐尖锐概率论与数理统计概率论与数理统计其概率密度和分布函数分别为其概率密度和分布函数分别为其概率密度和分布函数分别为其概率密度和分布函数分别为可查附表可查附表可查附表可查附表 2 2 2 2求求求求 的值的值的值的值特别当特别当特别当特别当 时时时时, , , ,称为称为称为称为标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布, , , ,记为记为记为记为概率论与数理统计概率论与数理统计解解例例概率论与数理统计概率论与数理统计分布函数分布函数小结小结2. 2. 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布均匀分布均匀分布正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)指数分布指数分布概率论与数理统计概率论与数理统计 利用标准正态分布函数可以计算概率积分：利用标准正态分布函数可以计算概率积分：
