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1、 第五章 连续时间系统的复频域分析5.1 引言 复频域分析法就是拉普拉斯变换分析法，其基本思想就是将激励信号分解为变幅的正弦信号和的形式，然后分别讨论每个变幅正弦信号单独作用到系统中的响应，最后叠加就可以得到任意激励信号作用到系统中的响应。拉普拉斯变换分析法可以看作是傅立叶变换（频域）分析法的推广，因此也称拉普拉斯变换为广义傅立叶变换。拉普拉斯变换分析法的优点： 1、可一次求出全响应； 2、可将微积分运算转换成乘除法运算； 3、可将复杂的函数转换为简单的初等函数； 4、可将卷积运算转换为乘积运算。15.2 拉普拉斯变换 信号f(t)不满足绝对可积条件，往往是当t时，信号发散或收敛太慢，为使信号
2、收敛，用一叫做收敛因子的指数函数e-t去乘f(t)，当适当取值时，总可以使f(t)e-t在t时收敛，以满足绝对可积条件。如：只要0，且-0，f(t)e-t就双向收敛，从而满足绝对可积条件，其傅立叶变换就存在。2F其中，上式积分的最后结果是s的函数，用F(s)表示，即反变换其中，则，或正变换3上两式构成一变换对，称为双边拉普拉斯变换对，记为：正变换反变换单边拉普拉斯变换正变换反变换或简单的以下面符号表示：拉普拉斯变换也叫广义傅立叶变换。F(s)称为f(t)的象函数，4f(t)称为F(s)的原函数。工程中常遇到的信号是有始信号，所以今后主要讨论单边拉普拉斯变换。将拉氏变换与傅立叶变换进行比较可以看
3、出，傅立叶变换是将信号分解为ejt信号或cos(t)、sin(t)信号和的形式，而拉氏变换是将信号分解为est或et cos(t)、 et sin(t)信号和的形式，因此给定复变量 s ，分量信号est随时间的变化规律就完全确定了，这里包括变幅正弦信号的频率及幅度衰减的快慢等，因此称复变量 s 为复频率，以其实部位横轴、虚部为纵轴所构成的平面叫复平面或s平面。给定 s 平面中的一点，复指数信号est 随时间的变化规律就完全确定，如左图示。55.3 拉普拉斯变换的收敛域信号f(t)与收敛因子 e-t 相乘是否收敛，取决于两个因素，一是信号本身的收敛性，二是收敛因子中的取值，即复变量 s 实部的取
4、值，因此我们把使 f(t) e-t 满足绝对可积的 的取值范围叫做信号f(t)的拉普拉斯变换的收敛域，只有在此收敛域内取值时，信号的拉氏变换才存在，即F(s)才有意义，否则信号的拉氏变换不存在。对单边拉氏变换，信号f(t) e-t 满足绝对可积的条件是：这里根据信号f(t) 本身的特性，总可以找到一个0 值，当 0 时，上式成立 。因此单边拉氏变换的收敛域为：通常称0 为收敛坐标。由此可见， 0 将s平面划分为两个区域，如图示：6S平面收敛轴收敛域收敛域不包含虚轴。拉氏反变换是在收敛域内沿与收敛轴平行的一条直线上的广义积分。还要说明的是，凡是可以通过与指数收敛因子相乘而达到收敛的函数，通常都称
5、为指数阶函数。电子技术中实际遇到的有始信号大都是指数阶信号且分段连续，因此这些信号的拉氏变换都存在，所不同的是仅仅是收敛域的不同。至于双边拉氏变换的收敛域问题，可类推得到。（完毕）75.4 常见函数的拉普拉斯变换信号的傅立叶变换和拉氏变换之间存在着密切的关系，根据拉氏变换的定义可知，当拉氏变换的收敛域包含虚轴时，说明复变量s 在虚轴上取值时，其拉氏变换存在，这时傅氏变换与拉氏变换有如下关系：反过来，若信号本身就满足绝对可积条件，其傅氏变换存在，拉氏变换的收敛域也一定包含虚轴，因此也可以通过下面的关系式由傅氏变换求拉氏变换：若拉氏变换的收敛域不包含虚轴，两者之间不存在这种简单的关系。若收敛轴恰好
6、落在虚轴上，则F(j)与F(s)在(1)式基础上，还有若干冲激项，详见A.Paupoulism,The Fourier Integral and Its Aplications8工程上常见的信号有两类：t的指数函数、t的正冪函数，许多函数可由这两类函数派生出。一、t的指数函数则收敛域即1、单位阶跃信号92、正弦信号sint3、余弦信号cost4、衰减正弦信号e-t sint105、衰减余弦信号e-t cost6、双曲正弦信号 sht7、双曲余弦信号 cht11二、t 的正冪函数由定义：即：12三、冲激函数 A(t)收敛域为整个 s 平面。5.5 拉普拉斯反变换一、部分分式展开法（海维塞展开法）
7、 这种方法适合于象函数为有理函数的情况，即：其中a,b均为常数，m，n为正整数。在进行部分分式展开之前，必须保证上面的有理函数是真分式的形式，即mn； 若不是，即mn，则要先将其处理为真分式与多项式和的形式，然后针对真分式部分进行部分分式展开。展开时，分两种情况讨论。1、mn , D(s)=0的根无重根的情况假设D(s)=0的根为s1、s2、sn，因无重根13则以D(s)的每个因子作为分母，则可将F(s)展开成部分分式和的形式其中为待定系数。为确定Kk,上式两边同乘(s-sk)因子，然后再令s=sk即可求出Kk。也可用罗贝塔法则得到另一公式：14展开式中每个部分分式对应一个指数函数，即这里是单
8、边拉氏变换。例：求的原函数。解：先化为真分式其中15将F1(s)展开成部分分式和的形式：例：求的原函数。解：此象函数分母多项式的根是一对共轭复根，可象前例按16单根的情况处理，此外还可根据常见信号的拉氏变换求其原函数从上两例看，部分分式展开法要求熟记基本变换对。2、mn , D(s)=0有重根的情况假设s1是D(s)=0的 p 阶重根，其余为单根，即D(s) 可分解为这时对F(s)进行部分分式展开时，其中的单根与前面的形式相同，17而p阶的重根将对应p项，其形式为：待定系数Kp+1,Kn的求法同前，系数K1p,K1(p-1),K12,K11的求法如下：上式两边同乘(s-s1)p得：显然：(2)
9、式两边对 s 求一次导数有：18同理可以求出其他的系数，K1k为:系数确定之后，利用如下变换关系，就可以求出原函数：19例：求的原函数。解：的根为（二阶）其中：20即：例：求的原函数。解：此题可以简单的展开为：综上所述，在进行部分分式展开时，可以采用任何灵活的方法，只要能够准确的求出原函数即可。21二、围线积分法（留数法）复变函数理论中的留数定理为：而拉氏反变换为：是沿与j平行的一条直线上的广义积分，为利用留数定理，补一条弧线，与其构成闭合曲线，如图示：22根据约当辅助定理，在同时满足以下条件时，弧线上的积分为0，即：条件：1、2、因子est的指数st的实部应小于0t，即第一个条件只要保证有理
10、函数是真分式即可满足；第二个条件当t0时，取左图的弧线，即能满足条件，这样23对于单边拉氏变换，取右边弧线的积分为0，即t0时为0。经过上述处理，就可以将拉氏反变换的问题转换为求留数的问题，使求解大大简化。需要注意的是，有理函数要保证是真分式。假设F(s)是有理函数，则各极点留数的计算公式为：sk 为单阶极点时：sk为p阶重极点时：留数法不仅适合于有理函数，也能处理无理函数，适用范围较广。例：用留数法求的原函数。解：的根为：24（二阶）则由上述分析可以看出，一个象函数的原函数随时间的变化模式完全取决于D(s)=0的根，即象函数F(s)分母多项式等于0的根。称：使F(s)的 s 值为象函数F(S
11、)的极点； 使F(s)0的s 值为象函数F(S)的零点。25将极点用“”表示，零点用“”表示，绘到 s 平面上，所得到的图叫象函数F(s)的零、极点分布图，或简称为极零图。如象函数：极点：（二阶）零点：26象函数F(s)的极点在 s 平面中的位置与原函数的时间模式的关系：1、负实轴上的单阶极点对应衰减指数信号e-at；二阶极点对应te-at；三阶极点对应t2e-at，；总收敛。2、左半s平面内的共轭复极点，单阶对应e-atsint或e-atcost，也收敛；3、虚轴上的共轭复极点，单阶对应等幅正弦振荡信号sint或cost，重阶对应增幅振荡信号tcost等；4、右半 s 平面的任一极点，无论是
12、单阶还是重阶，均对应发散的时间模式。零点对时间模式无影响。掌握这些规律，可从极零图上定性判断出时间模式。 （完毕）275.6 拉普拉斯变换的基本性质一、线性若则其中a1，a2为常量。二、尺度变换若则其中三、时间平移若则需要说明的是这里的f(t-t0)严格讲应该是28即：时间平移特性还可用来求有始周期信号的拉氏变换。有始周期信号在 t0时，呈现周期特性。如右图：则29其拉氏变换为：所以有始周期信号的拉氏变换的收敛域为F1(s)的收敛域与0的公共部分。四、s 域平移若则例如：则30五、时域微分若则其中是在t=0时刻，f(t)及其若干阶导数的值。称为0系统。实际上也可从0时刻开始，称此为0系统。选用
13、不同的系统，求得的拉氏变换是不同的，我们在今后的应用中都采用0系统，这主要是为今后系统分析的拉氏变换法考虑的。31例：求导数的拉氏变换。解：1、用0系统直接求拉氏变换为：利用性质求解：2、用0系统32则直接求拉氏变换为利用性质求：六、时域积分若则七、复频域微分与积分时域积分若33则八、对参变量的微分与积分若则九、初值定理 设函数f(t)及其导数f(t)存在，并有拉普拉斯变换，则f(t)的初值为：34若f(t)在t=0处有冲激及其导数，则其拉氏变换为多项式与真分式和的形式，此时初值定理为：十、终值定理 设函数f(t)及其导数f(t)存在，并有拉普拉斯变换，并且F(s)的极点均在 s 平面的左半平
14、面（包括原点处的单阶极点），则f(t)的终值为：十一、卷积定理若则355.7 线性系统的拉普拉斯变换分析法一、积分微分方程的拉普拉斯变换 用拉普拉斯变换分析法求取系统的响应，最直接的方法就是通过对系统的微分方程进行变换来得到，这不仅可以将微分方程转换为代数方程，而且可以同时将初始条件代入，从而一次可以求出全响应信号。例：电路如图示，已知电路参数为：初始条件：方向如图示，求响应电流i1(t)。解：列两个回路电压方程为：36对上面方程进行拉氏变换得：或代入参数：37 运用行列式可求得响应信号的象函数为：则响应信号为：二、从信号分解的角度看拉普拉斯变换在这种方法中，利用线性系统的特性分别求零输入响应
15、和零状态响应。381、零状态响应首先求单个复指数信号单独作用到系统中的响应。设则其中叫做线性系统的系统函数，或转移函数、传递函数等。若是因果系统，则有：说明单个复指数信号单独作用到系统中的响应仍为相同复频率的复指数信号，系统的作用仅仅是乘上一个系数，而由拉氏反变换39的定义知，任意信号可分解为无穷多个复指数信号和的形式，即因此信号作用到系统的响应为：说明由此可得出拉氏变换法求系统零状态响应的步骤为：1）求2）求系统函数3）求4）求在上述求解过程中，关键是系统函数的求解，方法有： 1）402）从网络结构中求解。 根据系统函数的定义，它是系统单位冲激响应信号的拉氏变换，即系统的输入信号为单位冲激信
16、号时，零状态响应信号的拉氏变换，依此定义，可首先将网络结构转换成 s 域模型，然后根据网络的 s 域模型，直接求出系统的转移函数。网络的 s 域模型：由上面的结果可以看出，当元件的初始储能为0时，其 s 域模型完全满足欧姆定律，因此，只要在系统的 s 域模型中直接利用欧姆定律，就可求出系统输入输出间的转移函数。3）从系统的微分方程直接列写系统函数41以二阶系统为例。 求H(s)，即求激励信号为单位冲激信号时，零状态响应的拉氏变换，且所以对微分方程拉氏变换后得：将系统函数的表达式与系统的微分方程比较，两者存在着明显的关系。由此可见，可直接从微分方程列写系统函数，此结论可推广到 任意高阶系统。42
17、例：电路如图示。 已知元件参数：求：零状态响应解： e1(t)单独作用，在e1(t)单独作用，第二个回路响应电流的转移函数为43代入参数得：则 e2(t)单独作用44则最后两个激励信号同时作用的响应为：2、零输入响应1）等效激励源法或45或由上可见，电容、电感中的初始储能，均可等效为阶跃电压源、阶跃电流源、冲激电压源或冲激电流源，再利用求零状态响应的方法就可求出在这些等效激励源作用下的响应，从而求出零输入响应。46例：（前例）电路如图示， 已知电路参数为：初始条件：方向如图示，求响应电流i1(t)。解：先求零状态响应，47再求零输入响应，首先将电容两端的初始电压等效为阶跃电压源位置、方向均与外
18、加激励相同，所以产生的响应为电感中的初始电流等效为冲激电压源48零输入响应：全响应例：电路如图示，电路参数为：初始条件方向如图示，设开关 S 在t=0时闭合，求通过电容C1的响应电流 iC1(t)。解：将电容两端的初始电压等效为激励源492）冲激响应不变法 从前面的分析我们知道，系统的单位冲激响应与系统函数之间构成一拉氏变换对，若系统函数是有理函数，则系统函数的极点就完全决定了单位冲激响应信号的变化模式，而由上面零输入响应的等效激励源法知，无论电容两端的初始电压还50是电感中的电流，均可等效为冲激源，因此零输入响应就是冲激响应，即零输入响应的变化模式与系统的单位冲激响应的变化模式完全一致，也就
19、是说，只要已知系统函数的极点，零输入响应的模式就可确定，再利用响应的初始条件可确定出待定系数。这里又从物理的角度解释了零输入响应的变化模式与冲激响应一致的原因。整个求解过程与第二章中的完全一致。例：已知激励初始条件系统的转移函数为：求系统的响应信号r(t)，并标出受迫分量与自然分量，瞬态分量与稳态分量。解：1）求零输入响应rzi(t)由系统的转移函数知系统的特征根为：51代入初始条件：解得：2）求零状态响应rzs(t)3) 全响应受迫分量自然分量瞬态分量稳态分量为0525.8 阶跃信号作用于RLC串联电路的响应 现以阶跃信号作用于RLC串联电路为例来讨论系统参数对响应的影响。激励为阶跃电压响应
20、为回路电流电路初始状态为0，即因此响应只是零状态响应。可见系统有两个极点：引入电路衰减系数回路谐振频率则 s1,2 可写为：53响应电流的象函数为：1、即此时 s1、s2 为两不等的实根（过阻尼）542、即此时 s1、s2 为相等实根，即时，电流有最大值3、即此时 s1、s2 为一对共轭复根，即其中称为RLC电路的有阻尼自然频率。（欠阻尼）（临界阻尼）55则4、即（无阻尼）响应电流I(s)的极点分布图565.9 线性系统的模拟线性系统模拟的三种基本运算单元：加法器、乘法器、积分器加法器：乘法器：积分器：初始条件不为0时的积分器：57一、直接型模拟框图（级联式模拟框图）一阶系统：或二阶系统：或5
21、8n 阶系统：或系统微分方程中包含激励的导数项 的情况：例如，二阶系统：此时引进一个辅助函数，并令其满足方程则利用方程两边平衡的原则，一定有：这样处理之后，将一个方程转换为两个方程，然后在一张图上将两个方程同时作出来。59同理可以作出 n 阶系统的模拟框图。二、并联型模拟框图与串联型模拟框图当系统的阶数比较高时，往往以若干低阶系统的串联或并联实现，例如下面的二阶系统：其中说明一个二阶系统可以由两个一阶系统的并联实现，而每一个一阶系统都可以用三种基本运算单元进行模拟：60系统函数可以写成两个子系统函数的乘积，反映在结构上是串联这种模拟框图叫并联型模拟框图，此结论可推广到 n 阶系统。同理还可得出
22、串联型模拟框图。其中61 此结论可推广到高阶系统。各种模拟方式的特点：直接型：不易控制系统的零极点，高阶系统容易产生 不稳定。并联型：能控制系统的极点，不能控制零点，各子系 统间不易干扰。串联型：能控制系统的零极点，前级系统的误差对后 级系统有影响。625.10 信号流图系统函数可以完全描述系统的特性，如何准确快捷的求出系统函数是一个关键问题，本节介绍如何运用信号流图计算系统的转移函数。一、信号流图及流图中一些术语的定义信号流图 用点和有向线段构成，用来描述系统中状态变 量或信号间因果关系的图。流图中的圆点便是系统的信号或变量，称之为结点；有向线段便是信号传输的路径，称之为支路；起点是因，终点
23、是果，箭头表示信号的传输方向。支路相当于乘法器，结点相当于加法器，将所有流入该结点的信号相加。63流图中的术语：1、结点表示系统中信号或变量的点。2、支路连接两个结点之间的有向线段。3、支路传输值两结点之间的增益。4、入支路流向结点的支路。5、出支路流出结点的支路。6、源结点仅有出支路的结点。该结点通常对应信号源。7、汇结点仅有入支路的结点。该结点通常表示输出信号。8、闭环信号流通的闭合路径。649、自环仅含有一条支路的结点。10、前向路径由源结点至汇结点不含有任何环路的信 号流通路径。二、信号流图的获取 对结构不很复杂的系统，可直接从网络结构上找出从输入到输出的信号流程及流程中各有关信号变量
24、和传输值，见下例。E(s)为输入，U(s)为输出则信号流程为：65以流程中的各信号作为流图的结点，得信号流图为：对较复杂的系统可通过描述系统工作情况的方程组来构筑流图。三、信号流图的化简1、支路串连的化简2、支路并联的化简663、结点的消除4、自环的消除67上例中，若R1=R2=1，L=1H，C=1F，流图化简如下：1、消结点I12、消自环3、消结点U14、消自环685、消结点I26、消自环梅森公式：其中：H系统的传输函数H(s)， 称为流图的特征行列式（即信号流图所表示的方 程组的系数矩阵行列式，常称为图行列式）。式中：Li为第 i 个环的传输值（增益）， LiLj为各个可能的互不接触的两环
25、增益的乘积，69LiLjLk为各个可能的互不接触的三环传输值得乘积。Gk为由源结点至汇结点的第 k 条前向路径的传输值，k为与传输值为Gk的第 k 种前向传输路径不接触部分流图的值，称为第 k 种路径的路径因子。互不接触指两部分没有公共结点。前例中有三个环路，其传输值为：互不接触的两环有：L1，L3，其传输值的乘积为：流图的特征行列式为：前向路径只有一条：路径因子：最后系统传输函数为：70例：共有5个环路：互不接触的两环有：没有互不接触的三环。前向路径有3条：71与G1不接触的图的路径因子为：与G2不接触的图的路径因子为：与G3不接触的图的路径因子为：本章小结：基本概念拉普拉斯变换，复频率，收敛域，极零图，系统函数，等效激励源，模拟框图，信号流图，梅森公式。基本运算拉氏变换的求解，拉氏反变换的求解，常见信号的拉氏变换，拉氏变换的性质，连续时间系统的复频域分析，连续时间系统的三种模拟框图，信号流图的化简，梅森公式。72
