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1、第二部分应试高分战略第二部分应试高分战略第一第一讲讲数学思想方法数学思想方法思想方法例析思想方法例析函数与方程思想函数与方程思想1函数与方程思想的含函数与方程思想的含义义(1)函函数数的的思思想想，是是用用运运动动和和变变化化的的观观念念，分分析析和和研研讨讨数数学学中中的的数数量量关关系系，建建立立函函数数关关系系或或构构造造函函数数，运运用用函函数数的的图图象象和和性性质质去去分分析析问问题题、转转化化问问题题，从从而而使使问问题题获获得得处处理理函函数数思思想想是是对对函函数数概概念念的的本本质质认认识识，用用于于指指点点解解题题，即即擅擅长长利利用用函函数数知知识识或或函函数数观观念念
2、察察看看、分分析析和和处处理理问题问题(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，经过解方程或方程组，或者运用方程的性质去经过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得处理方程的思分析、转化问题，使问题获得处理方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指点解题就想是对方程概念的本质认识，用于指点解题就是擅长利用方程或方程组的观念察看、处置问是擅长利用方程或方程组的观念察看、处置问题题(3)方程的思想与函数的思想亲密相关：方程方程的思想与函数的思想亲密相关：方
3、程f(x)0的解就是函数的解就是函数yf(x)的图象与的图象与x轴的交点的轴的交点的横坐标；函数横坐标；函数yf(x)也可以看作二元方程也可以看作二元方程f(x)y0.经过方程进展研讨，方程经过方程进展研讨，方程f(x)a有解，当有解，当且仅当且仅当a属于函数属于函数f(x)的值域；函数与方程的这的值域；函数与方程的这种相互转化关系非常重要种相互转化关系非常重要2函数与方程的思想在解函数与方程的思想在解题题中的运用中的运用(1)函函数数与与不不等等式式的的相相互互转转化化，对对函函数数yf(x)，当当y0时时，就就化化为为不不等等式式f(x)0，借借助助于于函函数数的的图图象象和和性性质质可可
4、处处理理有有关关问问题题，而而研研讨讨函函数数的的性性质质也离不开不等式也离不开不等式(2)数数列列的的通通项项与与前前n项项和和是是自自变变量量为为正正整整数数的的函函数，用函数的数，用函数的观观念去念去处处置数列置数列问题问题非常重要非常重要(3)解解析析几几何何中中的的许许多多问问题题，需需求求经经过过解解二二元元方方程程组组才才干干处处理理这这都都涉涉及及二二次次方方程程与与二二次次函函数数的有关的有关实际实际(4)立立体体几几何何中中有有关关线线段段、角角、面面积积、体体积积的的计计算算，经经常常需需求求运运用用列列方方程程或或建建立立函函数数表表达达式式的的方方法法加加以以处处理理
5、建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系后后，立立体体几何与函数的关系更加几何与函数的关系更加亲亲密密例例例例1 1【答案】【答案】C例例例例2 2数形数形结结合思想合思想1数形数形结结合思想的含合思想的含义义(1)所所谓谓数数形形结结合合，就就是是根根据据数数与与形形之之间间的的对对应应关关系系，经经过过数数与与形形的的相相互互转转化化来来处处理理数数学学问问题题的的一一种种重重要要思思想想方方法法数数形形结结合合思思想想经经过过“以以形形助助数数，以以数数辅辅形形，使使复复杂杂问问题题简简单单化化，笼笼统统问问题题详详细细化化，可可以以变变笼笼统统思思想想为为笼笼统统思思想想，有有助助于于把把
6、握握数数学学问问题题的的本本质质，它它是是数数学学的的规规律律性性与灵敏性的有机与灵敏性的有机结结合合(2)数形数形结结合包含合包含“以形助数和以形助数和“以数以数辅辅形两形两个方面，其运用大致可以分个方面，其运用大致可以分为为两种情形：一是两种情形：一是借助形的生借助形的生动动性和直性和直观观性来性来阐阐明数之明数之间间的的联络联络，即以形作即以形作为为手段，数作手段，数作为为目的，比如运用函数目的，比如运用函数的的图图象来直象来直观观地地阐阐明函数的性明函数的性质质；二是借助于；二是借助于数的准确性和数的准确性和规规范范严严密性来密性来阐阐明形的某些属性，明形的某些属性，即以数作即以数作为
7、为手段，形作手段，形作为为目的，如运用曲目的，如运用曲线线的的方程来准确地方程来准确地阐阐明曲明曲线线的几何性的几何性质质2数形数形结结合思想合思想处处理的理的问题类问题类型型(1)运运用用数数轴轴、Venn图图处处理理不不等等式式(组组)的的解解集集、集合运算集合运算问题问题；(2)运运用用平平面面直直角角坐坐标标系系和和函函数数的的图图象象处处理理函函数数问题问题、不等式、不等式问题问题、方程、方程问题问题等；等；(3)三角函数与解三角形三角函数与解三角形问题问题；(4)立体几何立体几何问题问题；(5)可行域求最可行域求最优优解解问题问题；(6)数列数列问题问题；(7)方程的曲方程的曲线线
8、与曲与曲线线的方程等解析几何的方程等解析几何问题问题；(8)复数复数问题问题例例例例3 3【答案】【答案】D例例例例4 4【答案】【答案】B分分类讨论类讨论思想思想1分分类讨论类讨论思想的含思想的含义义(1)分分类类讨讨论论思思想想就就是是当当问问题题所所给给的的对对象象不不能能进进展展一一致致研研讨讨时时，需需求求把把研研讨讨对对象象按按某某个个规规范范分分类类，然然后后对对每每一一类类分分别别研研讨讨得得出出结结论论，最最后后综综合合各各类类结结果果得得到到整整个个问问题题的的解解答答本本质质上上，分分类类讨讨论论是是“化化整整为为零零，各各个个击击破破，再再积积零零为为整整的解的解题战题
9、战略略(2)对对问问题题实实行行分分类类与与整整合合，确确定定分分类类规规范范后后等等于于添添加加了了一一个个知知条条件件，实实现现了了有有效效增增设设，将将大大问问题题(或或综综合合性性问问题题)分分解解为为小小问问题题(或或根根底底性性问问题题)，优优化解化解题题思思绪绪，降低，降低问题难问题难度度2分分类讨论类讨论的常的常见类见类型型有有关关分分类类讨讨论论的的数数学学问问题题需需求求运运用用分分类类讨讨论论思思想想来来处处理理，引引起起分分类类讨讨论论的的缘缘由由大大致致可可归归纳纳为为如下几种：如下几种：(1)由由数数学学概概念念引引起起的的分分类类讨讨论论：有有的的概概念念本本身身
10、是是分分类类的的，如如绝绝对对值值、直直线线斜斜率率、指指数数函函数数、对对数函数等数函数等(2)由由性性质质、定定理理、公公式式的的限限制制引引起起的的分分类类讨讨论论：有有的的数数学学定定理理、公公式式、性性质质是是分分类类给给出出的的，在在不不同同的的条条件件下下结结论论不不一一致致，如如等等比比数数列列的的前前n项项和公式、函数的和公式、函数的单调单调性等性等(3)由由数数学学运运算算要要求求引引起起的的分分类类讨讨论论：如如除除法法运运算算中中除除数数不不为为零零，偶偶次次方方根根被被开开方方数数为为非非负负，对对数数真真数数与与底底数数的的要要求求，指指数数运运算算中中底底数数的的
11、要要求求，不不等等式式两两边边同同乘乘以以一一个个正正数数、负负数数，三三角角函数的定函数的定义义域等域等(4)由由图图形形的的不不确确定定性性引引起起的的分分类类讨讨论论：有有的的图图形形类类型型、位位置置需需求求分分类类，如如角角的的终终边边所所在在的的象象限限，点、点、线线、面的位置关系等、面的位置关系等(5)由由参参数数的的变变化化引引起起的的分分类类讨讨论论：某某些些含含有有参参数数的的问问题题，如如含含参参数数的的方方程程、不不等等式式，由由于于参参数数的的取取值值不不同同会会导导致致所所得得结结果果不不同同，或或对对于于不不同同的的参参数数值值要运用不同的求解或要运用不同的求解或
12、证证明方法明方法(6)由由实实践践意意义义引引起起的的讨讨论论：此此类类问问题题经经常常出出如如今今运用运用题题中，特中，特别别是是陈陈列、列、组组合中的合中的计计数数问题问题例例例例5 5(2021年年高高考考上上海海卷卷)知知函函数数f(x)a2xb3x，其中常数，其中常数a，b满满足足ab0.(1)假假设设ab0，判，判别别函数函数f(x)的的单调单调性；性；(2)假假设设ab0，求，求f(x1)f(x)时时x的取的取值值范范围围例例例例6 6【解解】(1)当当a0，b0时时，恣恣意意x1，x2R，x1x2，那么那么f(x1)f(x2)a(2x12x2)b(3x13x2)2x12x2，a
13、0a(2x12x2)0，3x13x2，b0b(3x13x2)0，f(x1)f(x2)0，函数，函数f(x)在在R上是增函数上是增函数当当a0，b0时时，同同理理，函函数数f(x)在在R上上是是减减函函数数转转化与化化与化归归思想思想1转转化与化化与化归归思想的含思想的含义义(1)转转化化与与化化归归思思想想方方法法，就就是是在在研研讨讨和和处处理理有有关关数数学学问问题题时时采采用用某某种种手手段段将将问问题题经经过过变变换换使使之之转转化化，进进而而得得到到处处理理问问题题的的一一种种方方法法普普通通是是将将复复杂杂的的问问题题经经过过变变换换转转化化为为简简单单的的问问题题，将将难难解解的
14、的问问题题经经过过变变换换转转化化为为容容易易求求解解的的问问题题，将将未未处处理理的的问问题题经经过过变换转变换转化化为为已已处处理的理的问题问题(2)转化与化归思想在高考中占有相当重要的位转化与化归思想在高考中占有相当重要的位置，可以说比比皆是，如未知向知的转化、新置，可以说比比皆是，如未知向知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的相互转化、实践问转化、不同数学问题之间的相互转化、实践问题向数学问题的转化等各种变换的详细解题题向数学问题的转化等各种变换的详细解题方法都是转化的手段，转化的思想方法浸透到方法都是转化的
15、手段，转化的思想方法浸透到一切的数学教学内容和解题过程中一切的数学教学内容和解题过程中2转转化与化化与化归归的常的常见见方法方法(1)直直接接转转化化法法：把把原原问问题题直直接接转转化化为为根根本本定定理理、根本公式或根本根本公式或根本图图形形问题问题(2)换换元元法法：运运用用“换换元元把把式式子子转转化化为为有有理理式式或或使使整整式式降降幂幂等等，把把较较复复杂杂的的函函数数、方方程程、不不等等式式问题转问题转化化为为易于易于处处理的根本理的根本问题问题(3)数数形形结结合合法法：研研讨讨原原问问题题中中数数量量关关系系(解解析析式式)与与空空间间方方式式(图图形形)关关系系，经经过过
16、相相互互变变换换获获得得转转化化途径途径(4)等等价价转转化化法法：把把原原问问题题转转化化为为一一个个易易于于处处理理的等价命的等价命题题，到达化，到达化归归的目的的目的(5)特特殊殊化化方方法法：把把原原问问题题的的方方式式向向特特殊殊化化方方式式转转化化，并并证证明明特特殊殊化化后后的的问问题题，结结论论适适宜宜原原问问题题(6)构构造造法法：“构构造造一一个个适适宜宜的的数数学学模模型型，把把问问题变为题变为易于易于处处理的理的问题问题(7)坐坐标标法法：以以坐坐标标系系为为工工具具，用用计计算算方方法法处处理理几何几何问题问题是是转转化方法的一个重要途径化方法的一个重要途径(8)类类
17、比比法法：运运用用类类比比推推理理，猜猜测测问问题题的的结结论论，易于确定易于确定(9)参参数数法法：引引进进参参数数，使使原原问问题题转转化化为为熟熟习习的的方式方式进进展展处处理理(10)补补集集法法：假假设设正正面面处处理理原原问问题题有有困困难难，可可把把原原问问题题的的结结果果看看作作集集合合A，而而把把包包含含该该问问题题的的整整体体问问题题的的结结果果类类比比为为选选集集U，经经过过处处理理选选集集U及及补补集集 UA获获得得原原问问题题的的处处理理，表表达达了了正正难难那那么么反反的原那么的原那么如如图图，在在正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中，M、N、P分分别别为为所所
18、在在棱棱的的中中点点，O为为面面对对角角线线A1C1的中点求的中点求证证：(1)平面平面MNP平面平面A1C1B；(2)OM平面平面A1C1B.例例例例7 7【证证明明】(1)衔衔接接D1C，那那么么MN为为DD1C的的中位中位线线，MND1C.又又D1CA1B，MNA1B.同理，同理，MPC1B.而而MN与与MP相交，相交，MN，MP在平面在平面MNP内，内，A1B，C1B在平面在平面A1C1B内内平面平面MNP平面平面A1C1B.(2)衔衔接接C1M和和A1M，设设正方体的棱正方体的棱长为长为a，在在正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中，C1MA1M，又又O为为A1C1的中点，的中点，A1C1MO，衔衔接接BO和和BM，在，在BMO中，中， 知集合知集合Ay|y2(a2a1)ya(a21)0，By|y26y80，假，假设设AB ，那，那么么实实数数a的取的取值值范范围为围为_例例例例8 8【解析】由【解析】由题题意得意得Ay|ya21或或ya，By|2y4，我，我们们无妨先思索当无妨先思索当AB 时时a的的取取值值范范围围如如图图：本部分内容讲解终了本部分内容讲解终了按按ESC键退出全屏播放退出全屏播放
