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1、一、一、 有理函数有理函数(yu (yu l hn sh)l hn sh)的积分的积分有理函数有理函数(yu l hn (yu l hn sh):sh):时时, ,为假分式为假分式(fnsh);(fnsh);时时, ,为真分式为真分式有理函数有理函数相除相除多项式多项式 + + 真分式真分式分解分解其中部分分式的形式为其中部分分式的形式为若干部分分式之和若干部分分式之和第1页/共23页第一页，共24页。例例1. 1. 将下列真分式分解为部分将下列真分式分解为部分(b (b fen)fen)分式分式 : :解解: :(1) (1) 用拼凑用拼凑(pncu)(pncu)法法第2页/共23页第二页，
2、共24页。(2) (2) 用赋值法用赋值法故故第3页/共23页第三页，共24页。四种典型部分分式四种典型部分分式(fnsh)(fnsh)的积的积分分: : 变分子变分子(fnz)(fnz)为为 再分项积分再分项积分(jfn) (jfn) 第4页/共23页第四页，共24页。例例2.2.求求解解: : 已知已知第5页/共23页第五页，共24页。例例3.3.求求解解: : 原式原式思考思考(sko):(sko):如何如何求求提示提示(tsh(tsh):):变形变形(bin xng)(bin xng)方方法同例法同例3, 3, 并利用并利用 P209 P209 例例9 9 . . 第6页/共23页第六
3、页，共24页。例例4.4.求求解解: :说明说明: : 将有理函数分解将有理函数分解(fnji)(fnji)为部分分式进行积为部分分式进行积分虽可行分虽可行, ,但不一定但不一定(ydng)(ydng)简便简便, , 因此要注意根据被积函数的结构因此要注意根据被积函数的结构(jigu)(jigu)寻求寻求简便的方法简便的方法. . 第7页/共23页第七页，共24页。例例5.5.求求解解: : 原式原式第8页/共23页第八页，共24页。例例6.6.求求解解: :原式原式( (见见P348P348公式公式(gngsh)21)(gngsh)21)注意本题注意本题(bnt)(bnt)技巧技巧按常规按常
4、规(chnggu)(chnggu)方法较繁方法较繁第9页/共23页第九页，共24页。二二 、可化为有理函数、可化为有理函数(yu l (yu l hn sh)hn sh)的积分举例的积分举例设设表示表示(biosh)(biosh)三角函三角函数有理式数有理式 , ,令令万能万能(wnnng)(wnnng)代换代换t 的有理函数的积分的有理函数的积分1. 1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则则第11页/共23页第十一页，共24页。例例7.7.求求解解: :令令则则第12页/共23页第十二页，共24页。第13页/共23页第十三页，共24页。例例8.8.求求解解: : 说明说明(shum
5、ng):(shumng):通常求含通常求含的积分的积分(jfn)(jfn)时时, ,往往往往(wngwng)(wngwng)更更方便方便 . .的有理式的有理式用代换用代换第14页/共23页第十四页，共24页。例例9.9.求求解法解法(ji (ji f) 1 f) 1 令令原式原式第15页/共23页第十五页，共24页。例例10.10.求求解解: : 因被积函数因被积函数(hnsh)(hnsh)关于关于 cos x cos x 为奇为奇数次函数数次函数(hnsh), (hnsh), 可令可令原式原式第16页/共23页第十六页，共24页。2. 2. 简单无理简单无理(wl)(wl)函数的函数的积分
6、积分令令令令被积函数为简单根式的有理式被积函数为简单根式的有理式, ,可通过可通过(tnggu)(tnggu)根式代换根式代换 化为有理函数化为有理函数(yu l hn sh)(yu l hn sh)的积分的积分. . 例如例如: :令令第17页/共23页第十七页，共24页。例例11.11.求求解解: :令令则则原式原式第18页/共23页第十八页，共24页。例例12.12.求求解解: :为去掉被积函数分母为去掉被积函数分母(fnm)(fnm)中的根式中的根式, ,取根指数取根指数 2,3 2,3 的的最小公倍数最小公倍数 6 ,6 ,则有则有原式原式令令第19页/共23页第十九页，共24页。例
7、例13.13.求求解解: :令令则则原式原式第20页/共23页第二十页，共24页。内容内容(nirng)(nirng)小结小结1. 1. 可积函数可积函数(hnsh)(hnsh)的的特殊类型特殊类型有理函数有理函数(yu l (yu l hn sh)hn sh)分解分解多项式及部分分式之和多项式及部分分式之和三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换2. 2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, ,但不一定但不一定 要注意综合使用基本积分法要注意综合使用基本积分法 , ,简便计算简便计算 . .简
8、便简便 , , 第21页/共23页第二十一页，共24页。思考思考(sko)(sko)与练习与练习如何求下列积分如何求下列积分(jfn)(jfn)更更简便简便? ?解解: : 1. 1.2.2.原式原式第22页/共23页第二十二页，共24页。感谢您的观看(gunkn)！第23页/共23页第二十三页，共24页。内容(nirng)总结一、 有理函数(yu l hn sh)的积分。多项式 + 真分式。例1. 将下列真分式分解为部分分式 :。解: 原式。第二步 化为部分分式 . 即令。比较系数定 A ,B ,C ,D .。第三步 分项积分.。t 的有理函数(yu l hn sh)的积分。解: 因被积函数关于 cos x 为奇数次函数,。被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换。解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的。最小公倍数 6 ,。第22页/共23页。感谢您的观看第二十四页，共24页。
