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1、第十三讲函数模型及其应用第十三讲函数模型及其应用回回归课本本1.三种常三种常见的函数模型的函数模型(1)在区在区间(0,+)上上,函数函数y=ax(a1),y=logax(a1)和和y=xn(n0)都是增函数都是增函数,但它但它们的的增增长速度速度不同不同.随着随着x的增的增大大,y=ax(a1)的增的增长速度越来速度越来越快越快,会超会超过并并远远大于大于y=xn(n0)的增的增长速度速度,表表现为指数爆炸指数爆炸.随着随着x的增大的增大,y=logax(a1)的增的增长速度会越来速度会越来越慢越慢.(2)随着随着x的增大的增大,y=ax(a1)的的图象逐象逐渐表表现为与与y轴趋近平近平行行
2、.而而y=logax(a1)的的图象逐象逐渐表表现为与与x轴趋近平行近平行.(3)当当a1,n0时,对于函数于函数y=xn,y=ax,y=logax在在x (0,+)时,函数函数y=ax的增的增长速度速度远远大于函数大于函数y=xn的增的增长速度速度.而函而函数数y=xn的增的增长速度速度远远大于函数大于函数y=logax的增的增长速度速度.因此因此总会存在一个会存在一个x0;当当xx0时,总有有axxnlogax. 2.形如形如f(x)=x+(a0,x0)的函数模型有广泛的函数模型有广泛应用用,利用基本不等式可求其最小利用基本不等式可求其最小值为3.用已知函数模型解决用已知函数模型解决实际问
3、题的基本步的基本步骤是是:第一步第一步,审题,设出出变量量;第二步第二步,根据所根据所给模型模型,列出函数关系式列出函数关系式;第三步第三步,解函数模型解函数模型;第四步第四步,再将所得再将所得结论转译成具体成具体问题的解答的解答.考点陪考点陪练1.下列函数中随下列函数中随x的增大而增大速度最快的是的增大而增大速度最快的是()答案答案:A2.今有一今有一组实验数据数据,如下表如下表:t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01则最佳的体最佳的体现这些数据关系的函数模型是些数据关系的函数模型是()A.v=log2tB.v=2t-2C.v=D.v=2t-2答案答案:C3
4、.某公司某公司为了适了适应市市场需求需求对产品品结构做了重大构做了重大调整整,调整整后初期利后初期利润增增长迅速迅速,后来增后来增长越来越慢越来越慢,若要建立恰当的若要建立恰当的函数模型来反映函数模型来反映该公司公司调整后利整后利润y与与时间x的关系的关系,可可选用用()A.一次函数一次函数B.二次函数二次函数C.指数型函数指数型函数D.对数型函数数型函数答案答案:D4.国家国家规定个人稿定个人稿费纳税税办法法为:不超不超过800元的不元的不纳税税;超超过800元不超元不超过4000元的按超元的按超过800元的元的14%纳税税,超超过4000元的按全稿元的按全稿费的的11%纳税税.某人出了一本
5、某人出了一本书,共共纳税税420元元,这个人的稿个人的稿费为()A.3600元元B.3800元元C.4000元元D.4200元元答案答案:B5.某人若以每股某人若以每股17.25元元购进股票一万股股票一万股,一年后以每股一年后以每股18.96元抛售元抛售,该年年银行月利率行月利率0.8%,按月按月计算算,为获取最大取最大利利润,某人某人应将将钱(1+0.8%)121.10034)()A.全部全部购买股票股票B.全存入全存入银行行C.部分部分购买股票股票 部分存入部分存入银行行D.购买股票或存入股票或存入银行均一行均一样答案答案:B类型一型一一次函数与分段函数一次函数与分段函数解解题准准备:分段
6、函数模型分段函数模型:分段函数在不同的区分段函数在不同的区间中具有不同的解析式中具有不同的解析式.分段函数是一个函数分段函数是一个函数,其定其定义域域为各段自各段自变量取量取值集合的集合的并集并集,其其值域域为各段各段值的集合的并集的集合的并集.【典例典例1】电信局信局为了配合客了配合客户不同需要不同需要,设有有A B两种两种优惠惠方案方案,这两种方案两种方案应付付话费(元元)与通与通话时间(分分钟)之之间的关的关系如系如图所示所示(实线部分部分).(注注:图中中MN CD)试问: (1)若通若通话时间为2小小时,按方案按方案A B各付各付话费多少元多少元?(2)方案方案B从从500分分钟以后
7、以后,每分每分钟收收费多少元多少元?(3)通通话时间在什么范在什么范围内内,方案方案B才会比方案才会比方案A优惠惠? 分析分析由由图可知可知,两种方案都因两种方案都因时间段的不同段的不同导致收致收费不同不同,因此因此,需分段列式需分段列式. 解解由由图可知可知,两种方案都是由两种方案都是由线性函数性函数组成的分段函数成的分段函数,不不妨用待定系数法妨用待定系数法,结合合图形形,先求出函数解析式先求出函数解析式,再根据再根据题意意解解题.(1)由由图知点知点M(60,98),N(500,230),C(500,168),MN CD.设这两种方案的两种方案的应付付话费与通与通话时间的函数关系分的函数
8、关系分别为fA(x)、fB(x),反思感悟反思感悟(1)现实生活中很多生活中很多问题都是用分段函数表示的都是用分段函数表示的,如出租如出租车费用用 个人所得税个人所得税 话费等等,分段函数是刻画分段函数是刻画现实问题的重要模型的重要模型.(2)分段函数是同一个函数在不同分段函数是同一个函数在不同阶段的段的变化化规律不同律不同,要注要注意各段意各段变量的范量的范围,特特别是端点是端点值,尤其要注意尤其要注意. 类型二型二二次函数模型二次函数模型解解题准准备:二次函数模型的理解二次函数模型的理解二次函数是我二次函数是我们比比较熟悉的函数模型熟悉的函数模型,建立二次函数模型可建立二次函数模型可以求出
9、函数的最以求出函数的最值与范与范围,解决解决实际中的中的优化化问题,值得注得注意的是一定要分析自意的是一定要分析自变量的取量的取值范范围,利用二次函数的配方利用二次函数的配方法通法通过对称称轴与与单调性求解是性求解是这一一类函数函数问题的特点的特点.【典例典例2】某市某市现有从事第二有从事第二产业人人员100万人万人,平均每人每平均每人每年年创造造产值a万元万元(a为正常数正常数),现在决定从中分流在决定从中分流x万人去万人去加加强第三第三产业.分流后分流后,继续从事第二从事第二产业的人的人员平均每人平均每人每年每年创造造产值可增加可增加2x%(0x0,x0,可解得可解得01),函数函数值增大
10、的速度越来越慢增大的速度越来越慢.【典例典例4】2008年年9月月25日日,我国成功我国成功发射了射了“神舟神舟”七号七号载人人飞船船,这标志着中国科技又志着中国科技又迈出了具有出了具有历史意史意义的一步的一步.若已知火箭的起若已知火箭的起飞重量重量M是箭体是箭体(包括搭包括搭载的的飞行器行器)的重量的重量m和燃料重量和燃料重量x之和之和,在在不考不考虑空气阻力的条件下空气阻力的条件下,假假设火箭的最大速度火箭的最大速度y关于关于x的函数关系式的函数关系式为: (其中其中k0).当燃料重量当燃料重量为吨吨(e为自自然然对数的底数数的底数,e2.72)时,该火箭的最大速度火箭的最大速度为4 km
11、/s.(1)求火箭的最大速度求火箭的最大速度y(千米千米/秒秒)与燃料重量与燃料重量x(吨吨)之之间的关系的关系式式y=f(x);(2)已知已知该火箭的起火箭的起飞重量是重量是544吨吨,则应装装载多少吨燃料多少吨燃料,才才能使能使该火箭的最大火箭的最大飞行速度达到行速度达到8千米千米/秒秒,顺利地把利地把飞船船发送到送到预定的定的轨道道? 分析分析本本题的函数模型已的函数模型已经给出出,只需根据只需根据题设确定出参数确定出参数,然后根据函数关系及然后根据函数关系及题设进行求解行求解.类型五型五幂函数模型函数模型解解题准准备:幂函数模型函数模型:能用能用幂函数表达的函数模型叫做函数表达的函数模
12、型叫做幂函函数模型数模型,幂函数模型中最常函数模型中最常见的是二次函数模型的是二次函数模型.【典例典例5】某某农药厂今年生厂今年生产农药8000吨吨,计划划5年后把年后把产量量提高到提高到14000吨吨,问平均每年需增平均每年需增长百分之几百分之几?错源一缺乏源一缺乏对一次一次(二次二次)函数最高次函数最高次项的系数的关注的系数的关注【典例典例1】某科学家在一某科学家在一试验中中发现两个两个变量量x,y之之间具有一具有一次函数关系次函数关系,其中其中x的范的范围为-2,6,y的范的范围是是-11,9,试求求y关于关于x的函数关系式的函数关系式. 剖析剖析错解解对函数一次函数一次项的系数关注不的系数关注不够,只考只考虑了了k0的情的情况况,而忽而忽视了了k0,y0).证明明(1)令令x=1,y=4,则f(4)=f(14)=f(1)+f(4).所以所以f(1)=0.(2)因因为f(xy)=f(x)+f(y),所以所以f(xn)=技法二技法二整体思想整体思想
