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1、圆心角定理圆心角定理颐和中学颐和中学 复习回忆1：垂径定理的内容是什么？2：垂径定理的推论内容是什么？3：圆的对称性 圆心角圆心角 所对所对的弧为的弧为 AB， 过点过点O作弦作弦AB的垂线的垂线, 垂垂足足为为M,OABM 顶点在圆心的角顶点在圆心的角,叫叫圆心角圆心角，如如 , 所对的弦为所对的弦为AB；图图1 OM是唯一的。是唯一的。 则垂线段则垂线段OM的长度的长度,即圆即圆心到弦的距离，叫心到弦的距离，叫弦心距弦心距 , 图图1中，中，OM为为AB弦的弦心距。弦的弦心距。1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。2、下列图中弦心距做对了的是（ ）任意给圆心角，对应出现四个量：任
2、意给圆心角，对应出现四个量：圆心角圆心角弧弧弦弦OBA疑问：疑问：这四个量之间会有什么关系呢？这四个量之间会有什么关系呢？弦心距弦心距ABCDo下面我们一起来观察一下：在下面我们一起来观察一下：在 O中有哪些圆心角？中有哪些圆心角？（请举出两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。）（请举出两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。）如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、
3、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所
4、对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心
5、角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo 证明证明: :OA=OC ，OB=OD， AOB=COD,
6、 当点当点A与点与点C重合时，重合时， 点点B与点与点D也重合。也重合。 AB=CD， 圆心角定理：在同圆中，在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 AB = CD。已知已知:如图如图AOB= COD,求证求证: AB=CD，AB = CD。如图，如图， O 和和 O 是等圆，是等圆，如果如果 AOB= AOB 那么那么 AB=AB 、AB= AB 、OM=OM,为什么？为什么？?对于等圆的情况对于等圆的情况 ，因为两个等，因为两个等圆可叠合成同圆，所以等圆问题圆可叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题，命题成立。可转化为同圆问题，命题
7、成立。圆心角定理圆心角定理 : : 在同圆或等圆中，相等在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。弦的弦心距相等。图图 5 条件条件结论结论在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果圆心角相等如果圆心角相等那么那么圆心角所对的弧相等圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等圆心角所对的弦相等圆心角所对的弦的弦心距相等圆心角所对的弦的弦心距相等圆心角圆心角, 弧弧,弦弦,弦心距之间的关系定理弦心距之间的关系定理在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等的圆心角所对的弧相等所对的相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等弦相等, ,所对的弦的弦心
8、距相等所对的弦的弦心距相等. .OABDABDOABDOABD由条件由条件:AOB=AOBAB=ABAB=AB OD=OD可推出可推出请大家思考一下这个定理的逆命题在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弦相等如果弦相等那么那么弦所对的圆心角相等弦所对的圆心角相等弦所对的弧（指劣弧）相等弦所对的弧（指劣弧）相等弦的弦心距相等弦的弦心距相等在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弦心距相等如果弦心距相等那么那么弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弦相等弦心距所对应的弦相等在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弧相等如果弧相等那么那么弧所对的圆心角相等弧
9、所对的圆心角相等弧所对的弦相等弧所对的弦相等弧所对的弦的弦心距相等弧所对的弦的弦心距相等推论：推论：(圆心角定理的逆定理圆心角定理的逆定理) 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。余的各组量都分别相等。1、已知：如图，、已知：如图，AB、CD是是 O的两条弦，的两条弦，OE、OF为为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：的弦心距，根据本节定理及推论填空： （1）如果）如果AB=CD，那么，那么 _,_,_。 （2）
10、如果）如果OE=OF，那么，那么 _,_,_。 （3）如果）如果AB=CD 那么那么 _,_,_。 （4）如果）如果AOB=COD，那么，那么 _,_,_。AOB=COD OE=OF AB=CDAOB=COD AB=CD AB=CDAOB=COD AB=CD OE=OFOE=OF AB=CD AB=CD（1）圆心角定理中能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件吗?同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。 这两个结论都是错误，首先CE、FD不是弦，CEA、BFD不是圆心角，就不可以用圆心角定理推论证明。2 2、如图、如图. AB.
11、 AB是是OO的直径的直径 BC=CD=DE BC=CD=DE，COD=35COD=35，求，求AOEAOE的度数的度数. .OABEDC证明：证明： BC=CD=DE BC=CD=DECOB=COB=COD=COD=DOE=35DOE=35AOE=180AOE=1800 0-COB-COD-COB-COD-DOEDOE =75 =750 0 证明：证明： AB=AC AB=ACAB=ACAB=AC，ABCABC是等腰三角形是等腰三角形又又 ACB=60 ACB=60ABCABC是等边三角形，是等边三角形，AB=BC=CAAB=BC=CAAOB=BOC=AOCAOB=BOC=AOC如图，在如图
12、，在OO中中,AB=AC,ACB=60,AB=AC,ACB=60,求证求证AOB=BOC=AOC.AOB=BOC=AOC. OBCA1、已知：如图，、已知：如图，AB、CD是是 O的两条弦，的两条弦，OE、OF为为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：的弦心距，根据本节定理及推论填空： （1）如果）如果AB=CD，那么，那么 _,_,_。 （2）如果）如果OE=OF，那么，那么 _,_,_。 （3）如果）如果AB=CD 那么那么 _,_,_。 （4）如果）如果AOB=COD，那么，那么 _,_,_。AOB=COD OE=OF AB=CDAOB=COD AB=CD AB=CDAOB=COD
13、 AB=CD OE=OFOE=OF AB=CD AB=CD在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弦相等如果弦相等那么那么弦所对的圆心角相等弦所对的圆心角相等弦所对的弧（指劣弧）相等弦所对的弧（指劣弧）相等弦的弦心距相等弦的弦心距相等在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弦心距相等如果弦心距相等那么那么弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弦相等弦心距所对应的弦相等在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弧相等如果弧相等那么那么弧所对的圆心角相等弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等弧所对的弦相等弧所对的弦的弦心距相等弧所对的弦的弦心距相等已知：如图，点已知
14、：如图，点P在在O上,点点O在在EPF的平分的平分线上线上， EPF的两边交的两边交O于点于点A和和B。求证：求证：PA=PB.EFABPO已知：如图，点已知：如图，点O在在EPF的平分线上的平分线上，O和和 EPF的两边分别交于点的两边分别交于点A，B和和C，D。求证：求证：ABCDEFOPACBD已知：如图，已知：如图， O的弦的弦AB，CD相交于相交于点点P，DPO= BPO 。求证：求证：ABCDOCDABP已知：如图，已知：如图， O的弦的弦AB，CD相交于相交于点点P，过P、O的直径为MN，APO= CPO 。求证：求证：PBPDOCDABPNM2.2.已知：如图，在已知：如图，在
15、中，弦中，弦求证：求证：变式： 圆O中弦AB、CD相交于E，且AB=CD求证：DE=BE 证：连接DBEOBACDFE3、已知：如图，、已知：如图， O的两条半径的两条半径OAOB，C、D是弧是弧AB的三等分点的三等分点。求证：求证：CDAEBF。弧、弦、弦心距之间的不等量关系一.在同圆或等圆中，是不是弧越长，它所对的弦越长？是不是弦越长，它所对的弧越长？ 判断判断1.若两弦相等，则它们所对的弧相等。（ ）2.若两弧不等.则大弧所对的圆心角较大。（ 3.长度相等的两条弧是等弧。（ ） 二.AB和CD是O的两条弦，OM和ON分别是AB和CD的弦心距，如果ABCD，那么OM和ON有什么关系？为什么？O中，如果弧AB=2弧BC，那么下列说法中正确的是（ ）A. AB=BC B. AB=2BCC. AB2BC D. AB2BC4.已知已知AB是是 O的直径，的直径，M.N是是AO.BO的中点。的中点。CMAB,DNAB,分别与圆交于分别与圆交于C.D点。点。求证：求证： AC=BDo随堂训练随堂训练在圆O中，AC=DB，求证： 已知：如图，点O是EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B 和C、D。求证：OBA=OCD。
