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1、观观 察察观观 察察正多边形定义：正多边形定义：各边相等各边相等,各角也相等的多边形是正多边形各角也相等的多边形是正多边形. 正多边形和圆的关系非常密切正多边形和圆的关系非常密切, ,只要把一个圆分成相只要把一个圆分成相等的一些弧等的一些弧, ,就可以作出这个圆的内接正多边形就可以作出这个圆的内接正多边形, ,这个圆这个圆就是这个正多边形的外接圆就是这个正多边形的外接圆. . 如图如图, , 把把O O分成相等的分成相等的5 5段弧段弧, ,依次连接各分点得到正依次连接各分点得到正五边形五边形ABCDEABCDE. . AB=BC=CD=DE=EA, A=B.ABCDEO同理B =C =D =
2、E.又五边形ABCDE的顶点都在O上, 五边形ABCDE是O的内接正五边形, O是五边形ABCDE的外接圆.1 1：我们以圆内接正五边形为例证明：我们以圆内接正五边形为例证明. . 弧相等弧相等弧相等弧相等 多边形是正多边形多边形是正多边形弦相等（多边形的边相等）弦相等（多边形的边相等）弦相等（多边形的边相等）弦相等（多边形的边相等）圆周角相等（多边形的角相等）圆周角相等（多边形的角相等）圆周角相等（多边形的角相等）圆周角相等（多边形的角相等）ABCDEO2. 2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗各边相等的圆内接多边形是正多边形吗? ?各角都相等的各角都相等的圆内接多边形呢圆内接多边形呢?
3、 ?如果是如果是, ,说明为什么说明为什么; ;如果不是如果不是, ,举出反例举出反例. .答：各边相等的圆内接多边形是正多边形答：各边相等的圆内接多边形是正多边形. .多边形多边形A1A2A3A4An是是 O的内接多边形的内接多边形,且且A1A2=A2A3=A3A4=An1An,多边形多边形A1A2A3A4An是正多边形是正多边形.A1AAAAAAAnO2. 2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗各边相等的圆内接多边形是正多边形吗? ?各角都相等的各角都相等的圆内接多边形呢圆内接多边形呢? ?如果是如果是, ,说明为什么说明为什么; ;如果不是如果不是, ,举出反例举出反例. .答：各角相
4、等的圆内接多边形不一定是正多边形答：各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形. . 3.3.正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角中心角. .O中心角中心角半径半径R边心距边心距r1.1.正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心中心. .2.2.正多边形的正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径半径. . 4.4.中心到正多边形的一边的距离叫中心到正多边形的一边的距离叫 做正多边形的做正多边形的边心距边心距. .EFCD. .O O中心角中心角中心角中心角A AB BG G G
5、G2.边心距把边心距把AOB分成分成两个两个全等的直角三角形全等的直角三角形3.3.设正多边形的边长为设正多边形的边长为a, ,半径为半径为R, ,Ra（它的周长为它的周长为lna.4.4.4.4.正正正正n n n n边形的一个内角的度数是边形的一个内角的度数是边形的一个内角的度数是边形的一个内角的度数是_;_;_;_;中心角是中心角是中心角是中心角是_;_;_;_;5.5.5.5.正多边形的中心角与外角的大小关系正多边形的中心角与外角的大小关系正多边形的中心角与外角的大小关系正多边形的中心角与外角的大小关系是是是是_._._._.相等相等相等相等 6.6.正多边形都是轴对称图形，一个正正多
6、边形都是轴对称图形，一个正n n边形共边形共有有n n条条对称轴对称轴，每条对称轴都通过，每条对称轴都通过n n边形的边形的中心中心。 注意注意： 边边数是数是偶数偶数的正多边形还是的正多边形还是中心中心对称图形对称图形，它的中心就是对称中心。它的中心就是对称中心。例例1. 有一个亭子有一个亭子,它的地基半径为它的地基半径为4m的正六边形的正六边形,求地基的周长和面积求地基的周长和面积(精确到精确到0.1m2).OABCDEFRPr例例1.有一个亭子有一个亭子,它的地基半径为它的地基半径为4m的正六边形的正六边形,求地基求地基的周长和面积的周长和面积(精确到精确到0.1m2).解解: 如图由于
7、如图由于ABCDEF是正六边形是正六边形,所以它的中心角等于所以它的中心角等于 ，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此因此, ,亭子地基的周长亭子地基的周长: :l =46=24(m).在在RtOPC中中,OC=4, PC=由勾股定理由勾股定理, , 得边心距：得边心距：亭子地基的面积：亭子地基的面积：OABCDEFRPr2.分别求出半径为分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积的边长，边心距和面积.ABCDO2.分别求出半径为分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边的圆内接正
8、三角形，正方形的边长，边心距和面积心距和面积.解：作等边解：作等边ABC的的BC边上的高边上的高AD,垂足为垂足为D连接连接OB，则，则OB=R在在RtOBD中中 OBD=30,边心距边心距OD=在在RtABD中中 BAD=30,ABCDO2.分别求出半径为分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积的边长，边心距和面积.ABCDOE解：连接解：连接OB，OC 作作OEBC垂足为垂足为E， OEB=90 OBE= BOE=45在在RtOBE中为等腰直角三角形中为等腰直角三角形ABCDOE1. 1. 矩形是正多边形吗矩形是正多边形吗? ?菱形呢菱形呢? ?
9、正方形呢正方形呢? ?为什么为什么? ?矩形矩形不是正多边形，因为四条边不都相等不是正多边形，因为四条边不都相等; ;菱形菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等; ; 正方形正方形是正多边形因为四条边都相等，四是正多边形因为四条边都相等，四个角都相等个角都相等. .答：答：2.O2.O是正五边形是正五边形ABCDEABCDE的外接圆，弦的外接圆，弦ABAB的弦心距的弦心距OFOF叫正五边叫正五边形形ABCDEABCDE的的_，它是正五边形它是正五边形ABCDEABCDE的的_圆的半圆的半径。径。3.AOB3.AOB叫做正五边形叫做正五边形ABCDEAB
10、CDE的的_，它的度数是，它的度数是_._.边心距边心距内切内切中心角中心角72问题问题1 1：已知：已知O O的半径为的半径为2cm2cm，求作圆的内接正三角，求作圆的内接正三角形形. .120 用量角器度量，使用量角器度量，使AOB=BOC=COA=120 用量角器或用量角器或30角的三角的三角板度量，使角板度量，使BAO=CAO=30 AOCB问题问题2： 你能用以上方法画出正四边形、正五你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？边形、正六边形吗？ABCDOABCDEOOABCDEF907260问题问题3： 你能尺规作出正四你能尺规作出正四边形、正八边形吗？边形、正八边形吗？AB
11、CDO只要作出已知只要作出已知O O的互的互相垂直的直径即得圆相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与心作各边的垂线与O O相交，或作各中心角相交，或作各中心角的角平分线与的角平分线与O O相交，相交，即得圆接正八边形，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正照此方法依次可作正十六边形、正三十二十六边形、正三十二边形、正六十四边形边形、正六十四边形 问题问题4：用尺规作正六边形、正三角形、正十二边形用尺规作正六边形、正三角形、正十二边形OABCEFD 以半径长在以半径长在圆周上截取六段圆周上截取六段相等的弧，依次相等的弧，依次连结各等分点，连结各等分点，则作出正六边形
12、则作出正六边形. . 先作出正六先作出正六边形，则可作正边形，则可作正三角形，正十二三角形，正十二边形，正二十四边形，正二十四边形边形 ABCDMN1 1 1 1、判断题。、判断题。、判断题。、判断题。各边都相等的多边形是正多边形。各边都相等的多边形是正多边形。各边都相等的多边形是正多边形。各边都相等的多边形是正多边形。 （ ）一个圆有且只有一个内接正多边形。一个圆有且只有一个内接正多边形。一个圆有且只有一个内接正多边形。一个圆有且只有一个内接正多边形。 （ ）2. 2.菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？
13、为什么？菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？3.（2009江苏中考）已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm（结果保留 )）2 4.若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为_.5.如图，有一个圆O和两个正六边形T1,T2 T1 的6个顶点都在圆周上，T2 的6条边都和圆O相切（我们称 T1,T2 分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）.设 T1,T2的边长分别为a、b，圆O的半径为r,求r：a及r：b的值。 解解：连接圆心：连接圆心O O和和T T1 1的的6个顶点个顶点可得可得6个全等的正三角形
14、个全等的正三角形 .所以所以r a=1 1; 连接圆心连接圆心O和和T2相邻相邻的两个顶点，得以圆的两个顶点，得以圆O半半径为高的正三角形，所以径为高的正三角形，所以r b=6. 6.求证：顺次连结正六边形各边中点所得的多求证：顺次连结正六边形各边中点所得的多边形是正六边形。边形是正六边形。ABCDEF如图：圆如图：圆O O中弦中弦ABAB等于半径等于半径R R，则这条弦所对的圆心角是，则这条弦所对的圆心角是, ,圆周角是圆周角是. .600或或15003001.1.填空题填空题前两单元习题前两单元习题已知已知A、B、C三点在圆三点在圆O上，连接上，连接AB、CO，如，如果果AOC=140 ，
15、则，则 B=_平面上一点平面上一点P P到圆到圆O O上一点的上一点的距离最长为距离最长为6cm,6cm,最短为最短为2cm,2cm,则则圆圆O O的半径为的半径为. .D2cm2cm或或4cm4cm110 如图：如图：ABAB是圆是圆O O的直径，的直径，BDBD是圆是圆O O的弦，延长的弦，延长BDBD到点到点C C，AC=ABAC=AB，BDBD与与CDCD的大小是的大小是_._.拓展：拓展：若若B=70 B=70 , ,则则DOE=DOE=E40 相等相等如图，如图，I I是是ABCABC的内切圆，与的内切圆，与ABAB、BCBC、CACA分别相切于点分别相切于点D D、E E、F F
16、，DEFDEF5050，则，则A=_.A=_.80 2.2.怎样要将一个如图所示的怎样要将一个如图所示的破镜重圆破镜重圆？ABCP3.3.如图，如图，ABAB是是O O的任意一条弦，的任意一条弦，OCABOCAB，垂足为垂足为P P，若若CP=7cmCP=7cm，AB=28cmAB=28cm，你能求出这面镜子的半径吗？，你能求出这面镜子的半径吗？O7144.如如图，ABCABC是是 O的内接三角形，的内接三角形，AC=BC，D为 O中中AB上一点，延上一点，延长DA至点至点E，使，使CE=CD（1）求）求证：AE=BD；（2）若）若ACBCCBC，求，求证：AD+BD=CD5.5.如图，如图，
17、ABAB是是O O的弦，的弦，OCOAOCOA交交ABAB于点于点C C，过点，过点B B的直线的直线交交OCOC的延长线于点的延长线于点E E，当，当CE=BECE=BE时，直线时，直线BEBE与与O O有怎样的有怎样的位置关系？并证明你的结论位置关系？并证明你的结论6.已知：如已知：如图，A是是O O上一点，半径上一点，半径OC的延的延长线与与过点点A的直的直线交于交于B点，点，OC=BC，求求证：AB是是O O的切的切线；若若ACD=45，OC=2，求弦，求弦CD的的长ABOCD7.7.如图如图,AB,AB是圆是圆O O的直径的直径, ,圆圆O O过过ACAC的中点的中点D,DED,DE
18、BCBC于于E E求证求证:DE:DE是圆是圆O O的切线的切线. .ABCDEO.8.8.如如图，O O是是CAECAE平平分分线上上的的一一点点，以以点点O O为圆心心的的圆和和CAECAE的两的两边分分别交于点交于点B B、C C和和D D、E E，连结BDBD、CE.CE.求证：求证：(1)BC=DE (2)AC=AE (3)DBCE.【解析解析】(1)(1)要要证弧相等，即要弧相等，即要证弦相等或弦心距离相等，弦相等或弦心距离相等，又已知又已知OAOA是是CAECAE的平分的平分线，联想到角平分想到角平分线性性质，故故过O O分分别作作OGACOGAC于于G G，OHAEOHAE于于H H，OG=OHOG=OHBC=DEBC=DE(2)(2)由垂径定理知：由垂径定理知：BC=DEBC=DE，G G、H H分分别是是BCBC、DEDE的中点的中点. .再由再由AOGAOHAOGAOHAG=AHAG=AHAB=AD AC=AE.AB=AD AC=AE.(3)AC=AE(3)AC=AEC=EC=E，再根据再根据圆的内接四的内接四边形的形的性性质定理知定理知C=ADBC=ADBE=ADBE=ADBBDCE.BDCE.
