构造函数利用导数解决函数问题

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1、构造函数解决不等式问题构造函数解决不等式问题例：例：2011辽宁卷函数 f(x)的定义域为 R R，f(1)2，对任意 xR R，f(x)2，则 f(x)2x4 的解集为()A(1,1)B(1，)C(，1)D(，)【解析】构造函数G(x)f(x)2x4，所以G(x)f(x)2，由于对任意xR R，f(x)2，所以 G(x)f(x)20 恒成立，所以 G(x)f(x)2x4 是 R R 上的增函数，又由于 G(1)f(1)2(1)40，所以 G(x)f(x)2x40，即 f(x)2x4 的解集为(1，)，故选 B.训练：训练：1.已知函数y f (x)的图象关于 y 轴对称,且当x(,0), f

2、 (x) xf (x) 0成立a 20.2f (20.2)，b log3 f (log3)，c log39 f (log39),则 a,b,c 的大小关系是C.c b a D.a c b( ) A.b a cB.c a b解 ：因 为 函 数y f (x)关 于y轴 对 称 , 所 以 函 数y xf (x)为 奇 函 数 . 因 为xf (x) f (x) xf (x), 所 以 当x(,0)时 ,xf (x) f (x) xf (x) 0, 函 数y xf (x)单 调 递 减 , 当x(0,)时 , 函 数y xf (x)单 调 递 减 . 因 为1 20.2 2,01og31,1og3

3、9 2,所以0 1og3 20.21og39,所以b a c,选A.2. 2. 已知f (x)为R上的可导函数，且xR，均有f (x) f (x)，则有AeBeCe2013f (2013) f (0)，f (2013) e2013f (0)f (2013) f (0)，f (2013) e2013f (0)f (2013) f (0)，f (2013) e2013f (0)f (2013) f (0)，f (2013) e2013f (0)20132013De2013f (x)ex (ex)f (x)f (x) f (x)f (x)解：构造函数g(x) x,则g(x) ，x2x(e )ee因为

4、xR R,均有f (x) f (x)，并且ex 0，所以g(x) 0，故函数g(x) 调递减，所以g(2013) g(0)，g(2013) g(0)，即f (x)在 R R 上单exf (2013)f (2013) f (0)， f (0)，e2013e2013也就是e2013f (2013) f (0)，f (2013) e2013f (0)，故选 D6. 6. 已知函数f (x)(xR)满足f (1) 1，且f (x)的导函数f (x) 1x1，则f (x) 的222解集为（）A.x 1 x 1B.x x 1C.x x 1或x 1D.x x 11解：构造新函数F(x) f (x)(),则F

5、(1) f (1)() 11 0，x212121211，对任意xR，有F (x) f (x) 0，即函数F(x)在 R 上单调递22x1减，则F(x) 0的解集为(1,)，即f (x) 的解集为(1,)，选 D.22F (x) f (x)3.2013绥化一模 已知函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，且当x(，0)0.30.3时，f(x)xf(x)bc Bcab Ccba Dacb解：因为函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)关于(0，0)中心对称为奇函数，所以函数 g(x)=xf(x)为偶函数又当x(，0)时，f(x)xf(x)3log30，所以cab.9例：巳知函数

6、 f（x）=191912ax bx1nx，其中 a，bR。 （I）当 a=3，b=-1 时，求函数 f（x）3的最小值； （）若曲线 y=f（x）在点（e，f(e） ）处的切线方程为 2x3ye=0（e=2.71828为自然对数的底数） ，求 a，b 的值；（）当 a0，且 a 为常数时，若函数 h（x）=xf（x）+1nx对任意的 x1x24，总有h(x1)h(x2) 1成立，试用 a 表示出 b 的取值范围；x1 x2【知识点】导数的综合应用解：因为fx x xlnx,x0,，所以f x 2x1212x1x1，xx令f x 0,得x 1 11上单调递增，或1，所以 f(x)在0，上单调递减

7、，在，222 1 3fln2；24则 f(x)在x 1处取得最小值为2（）因为f x21212axb,所以f eaeb，3x3e3又因为切点(e，f(e)在直线 2x3ye=0 上，所以切点为e,，所以fee312e11ae be1，联立解得a ,b .33eehx1 x1hx2 x2 0成立，（）由题意，对于任意x1 x2 4，总有x1 x22令px hx x 213)上单调递增，ax bx2 x,x4,， 则函数 p(x)在 x4，3所以px ax 2bx10在x4,上恒成立.构造函数1ax211，Fx axa 0,x0,，则F x a22xxx所以 F(x)在0,aaa上单调递减,在,a

8、上单调递增.aa1a 4即0 a 时，F(x)在4,(1)当a上单调递减，在a,上单调递增.a16所以 F(x)的最小值为Faa 2 a,所以2b 2 a,得b a；(2)当a111 4即a 时 F(x)在(4，)上单调递增，2b F4 4a,即b 2a，a1648111时b ,a，当a 时，b,2a81616综上，当0 a 【思路点拨】 本题主要考查的是利用导数求函数的最值及利用导数研究曲线的切线， 利用导数求最值一般先判断函数的单调性， 再结合单调性确定最值位置， 对于由不等式恒成立求参数参数范围问题通常转化为函数的最值问题解答.变式练习：变式练习：2（ 1, f (1)处的1.函数f (

9、x) ax (a2)xln x.（）当a 1时，求曲线y f (x)在点切线方程； （） 当a 0时， 若f (x)在区间1,e上的最小值为-2， 求a的取值范围；（）若对任意x1,x2(0,),x1 x2，且f (x1)2x1 f (x2)2x2恒成立，求a的取值范围.解： （）当a 1时，f (x) x23xln x, f (x) 2x31.2 分x因为f (1) 0, f (1) 2.所以切线方程是y 2.4 分（）函数f (x) 2ax (a 2)xln x的定义域是.5 分（0， ）12ax2(a 2)x1(x 0)当a 0时，f (x) 2ax (a 2)xx32ax2(a 2)x

10、1(2x1)(ax 1) 0，令f (x) 0，即f (x) xx所以x 当0 11或x .7 分2a11，即a 1时，f (x)在1，e上单调递增，a所以f (x)在1，e上的最小值是f (1) 2；当1当11 e时，f (x)在1，e上的最小值是f ( ) f (1) 2，不合题意；aa1 e时，f (x)在（1，e）上单调递减，a所以f (x)在1，e上的最小值是f (e) f (1) 2，不合题意9 分2（）设g(x) f (x) 2x，则g(x) ax ax ln x，只要g(x)在上单调递增即可.10 分（0， ）12ax2ax 1而g(x) 2ax axx当a 0时，g(x) 1

11、上单调递增；11 分（0， ） 0，此时g(x)在x2当a 0时， 只需g(x) 0在上恒成立， 因为x(0,)， 只要2ax ax1 0，（0， ）2则需要a 0，对于函数y 2ax ax 1，过定点（ 0，1） ，对称轴x 1 0，只需4 a28a 0，即0 a 8.综上0 a 8.14 分mx，mR（1）求函数的极值； （2）讨论g(x) f (x)的零点的x3f (b) f (a)个数； （3）对b a 0,1恒成立，求m的取值范围。ba2. 函数f (x) ln x解：f (x)=ln x+m1mx-m, f (x)=-2=2,x0,mRxxxx4(1)当m e时，f (x) f (

12、x)单调递增；x -e,x 0.解f (x) 0得x e,2x同理，当0 x e时，f (x) 0, f (x)单调递减. f (x)只有极小值ef (e) lne 2.所以，f (x)的极小值为2.exx - mxx3x32(2) g (x) f (x) - 0, m x -，令 h(x) x -, x 0, m R,则 h(1) 233333x2h(x) 1 - x2 (1 x)(1 - x).令 h(x) 0解得 0 x 1, h(x)在区间上递增，值域为(0,).32同理，令h(x) 0解得 x 1, g (x)在区间上递减，值域为(-,)3大致画出函数g (x)的图像，则由图知22当

13、 m 0，或 m 时， g (x)只有一个零点；当0 m 时， g (x)有 2个零点；332当 m 时， g (x)没有零点；3f (b)- f (a)x-m(3)当b a 0时，1,即f (x) 1在(0, )上恒成立.21m x- x2b-ax111当x 0时，二次函数x- x2-,m 所以，当m( ,) 时，满足题意.4443.已知函数f(x)=lnx（1）若直线 y=x+m 与函数f(x)=lnx的图像相切，求实数 m 的值。（2）证明函数f(x)=lnx与曲线y x1有唯一的交点。 （3）设0a4,求证：当ab0 时,有2；a2b2x1x2(3)若函数f(x)有两个零点x1,x2(

14、x1x2),且x0,求证：f(x0)b0,设函数g(x)f(x)2xxmx2lnx,2则有g(x)2xm .x由于x0,且m4,2g(x)2xm 2x22x m4m0,故g(x)在(0,)上递增,xg(a)g(b),f(a)2af(b)2b,22f (a) f (b) 222a b22lnx1mx1x10，(3)由x1,x2(x1x10,则有t(0,1).2进而可得（2 x1 x2)xx(ln x2(t 1)1ln x2) lnt12t 1设函数h(t) 2(t 1)t 1lnt,t(0,1)则有h(t) (t 1)2t(t 1)2 0故函数h(t)在区间(0,1)上递减,从而可得h(t)h(1)0.于是有（2 x1 x2)2x(ln x1ln x2) 0而0,1 x2x1x2因此f(x0)0.7