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1、桥涵水文工程学院工程学院第三章第三章水文计算中的数理统计法水文计算中的数理统计法v水文统计法系利用水文现象的不重复性和各种水文要素具体数值的出现属于偶然性的特点，运用概率论的原理，对实测水文资料进行统计分析，从而推求出它的规律性,并进一步预估今后发生变化的一种方法v在实用中,不能单纯依靠统计规律来解决复杂的水文问题。为了使水文计算结果更趋于符合客现实际，还应辅以物理成因物理成因的分析。3-1机率和频率机率和频率一、随机事件必然事件：当多次观察自然现象时,就会发现有许多事情在一定条件下必然会发生的。例如河流中的洪水流量，每年汛期必然会出现一次最大的洪峰流量。不可能事件：在一定条件下必然不会发生的
2、事件称之为不可能事件。例如在流域内下了一场暴雨后，要使所属河流水位不变化是不可能的。随机事件：在自然现象中，除了必然事件和不可能事件外，还存在另一种事化即在一定条件下它可能发生也可能不发可能发生也可能不发生生，这种事件称之为随机事件。例如黄河每年都要发洪水，但洪降流量出现的具体时间和数值，年年变化，每年都不相同，称之为随机事件。随机变量:统计学中把这种随机现象的各个不同值称之为随机变量。v随机现象好象是无规律的，但观察了大量的同类随机现象之后，就会发现它还是存在着一定的规律性。例如观察河流的年径流总量便可以发现多年平均年径流总量是一个稳定的数值，这种规律性需要从大量同类随机变量中统计出来。v对
3、水文现象来说，就需要从大量水文实测资料中来推求，实测资料愈多，规律性就愈明显，预估的精确度也就会愈高。系列可以是有限的，也可以是无限的，水文资料一般都是无限系列。例如某河流年最大洪峰流量值所组成的随机变量系列，应包括河流过去的和未来的无限长久年代中所有的每年最大洪峰流量值，所以是一个无限系列。二、频率的含义v机率(概率)是一个具体数值，它表示某随机事件在客观上出现的可能程度即可能性的大小，该数值称之为某随机事件的机率（或称为概率、或然率）。v若试验的可能结果是有限的，而且所有结果出现的可能性都相等，则称之为简单随机事件，其机率可按下式计算：(3.1)v式中P(A)为一定条件下的随机事件A的机率
4、；n为全部试验结果的总次数；m为随机事件A出现的总次数。v例如抛掷一枚硬币的试验是简单随机事件，其可能的结果只有两个，即出现“正面向上”和“反面向上”，对均质硬币而言，其出现任何一种结果的可能性是相等的，因此根据公式(3.1)算得出现“正面向上”这一事件的机率为1/2(50%)。v当事件A在一系列重复的独立试验中,出现次数m与试验总次数n之比值，在水文现象中称之为该事件A在这一系列试验中出现的频率。设以n代表试验的总次数，m代表事件A出现的次数，则事件A出现的频频率率为v与机率计算公式(3.1)完全相同，意义上有所不同。区别区别:v机率机率是随机事件在客观上实际出现的可能程度，是事件固有的客观
5、性质，不随人们试验的情况和次数而变动，是一个常数,是理论值；v频率频率是利用有限的试验结果推求出的一个经验值，将随试验次数的多少而变动，当试验次数达到无限多时，才能稳定到一个常数即等于理论值机率。三、重现期三、重现期指等于和大于(或等于和小于)某水文特征值平均多少年可能出现一次，所以又称呼它为多少年一遇。频率与重现期的关系相当于频率与周期的关系。由于水文特征值并不具备严格的周期循环，重现期仅是在很长年代里的平均情况，也就是说平均多少年出现一次，绝不能说，正好多少年一定出现一次。重现期并非周期，对于洪水和枯水重现期有不同的表示方法。洪水:它们的频率P0时为正偏，曲线的偏左，值愈大，峰愈向左偏.时
6、为负偏曲线的峰偏右，值愈小，峰愈向右偏；两侧对称，曲线的峰居中间例如年最大流量系列的越是大于零，属正偏三、统计参数与频率分布曲线的关系三、统计参数与频率分布曲线的关系均值的影响均值影响曲线位置的高低若及值不变，则值愈大分布曲线位置愈高，反之愈低。纵坐标与的大小成正比。如下页图所示v变异系数的影响v值影响曲线的陡坦程度。愈大，分布曲线愈陡；由于无负值，曲线总是左高右低；当，曲线将成为一条水平横线，即纵坐标，如图39所示v偏差系数的影响：v值影响曲线曲率的大小若及值不变，在时，值愈大，曲线上端愈陡下端愈平缓;时,曲线下端趋向水平；=0时，为正态分布，分布曲线在海森机率格纸上将成为一条直线；v=即v
7、所以，在水文物理性质上符合PIII型曲线的值必须在下列范围之内，即v当时，从公式(325)中得知,从图312可看出，当时，曲线就不会呈铃形而为“乙”字形，众值趋于无穷大，这也不符合水文现象的一般规律。因此，只有才能应用PIII型曲线但在实际工作中，由于很难确定一般都借助于经验频率曲线位置来估定故都没有深究上述这些情况v在水文统计法中，所需求的就是计算指定为某一频率P所对应的变量,或其一变量x的频率这就需要借用PIII型曲线.PIII型曲经公式经过一定的演算后用统计参数来表达，就可应用这个公式推求频率曲线纵坐标的值公式为:水文计算中，一般需要求出随机变量取值大于等水文计算中，一般需要求出随机变量
8、取值大于等于于xp的频率的频率P（xxp)，也就是通过对密度曲线进，也就是通过对密度曲线进行积分，即行积分，即:直接由公式计算直接由公式计算P值非常麻烦，实际做法是通过变值非常麻烦，实际做法是通过变量转换，变换成下面的积分形式量转换，变换成下面的积分形式:皮尔逊皮尔逊型频率曲线的离均系数型频率曲线的离均系数值表（摘录）值表（摘录）P（%）Cs0.115205080959999.90.03.092.331.640.840.000.841.642.333.090.13.231.672.00.840.020.851.622.252.950.23.382.471.700.830.030.851.592
9、.182.810.33.522.541.730.820.050.851.552.102.670.43.672.621.750.820.070.851.522.032.540.53.812.681.770.810.080.851.401.962.400.63.962.751.800.800.100.851.451.882.270.74.102.821.820.790.120.851.421.812.140.84.242.891.840.780.130.851.381.742.020.94.392.961.860.770.150.851.351.661.904.533.021.880.760.16
10、0.851.321.591.79v式中：v频率为P的随机变量；v离均系数，是频率P和偏差系数的函数，可由附录一附表12查取；v模比系数，（二）KM曲线当时，PIII型曲线下端出现负值；当时，曲线就不会呈铃形而为“乙”字形都不符合水文现象的规律，已如前述克里茨基与闵凯里为了要修正这两个缺点v即要防止负值的出现和适应于值较大的情况，提出了用的PIII型曲线为转换基础，修改制定成KM曲线上述pIII型曲线可用另一形式写成。v式中：函数v令新旧变数服从下列关系：vv式中：ab常数vKM频率曲线方程为v或写成v(3.28)x的变化范围为0用数理统计中的方法可求得因此，从实测资料中求得后则可按第2式和第三
11、式用试算法求a、b，随之用第一式可决定a值，式(328)KM曲线形式也随之可确定下来注：试算法较烦，已制成表格，使用时根据的比值、和规定的P值，查得模比系数,并根据式,求出值v(三三)耿贝尔曲线耿贝尔曲线v耿贝尔曲线是根据极值定理导出的当有n年年最大流量值就有n个最大项，组成一个分布，因最大项是极值因此其分布称为极值分布理论上极值分布有三种，耿贝尔应用第I型极值分布来分析洪水频率。按第I型极值分布律对于年最大流量值而言，大于或等于某一给定变量x值的频率为(3.32)v式中变量及参数：v（3.33）（3.34）v（3.35）（3.36）v（3.37）（3.38）vv（3.39）式(3.32)可改
12、写成(3.40)从式(3.40)可见y仅与频率P有关因此及也仅与P关，也就是项数n的函数所以当n确定后，耿贝尔y由公式列出了及关系值见附录之8附表120由式(3.33)和式(3.40)得（3.41）将式(3.34)和式(3.35)代入式(341)得则（3.42）上式称为第I型极值分析样。v二、二、“理论理论”频率曲线绘制频率曲线绘制“理论”频率曲线绘制是以实测水文资料的经验频率点据为依据，选配一条具有一定线型的理论”频率曲线使该曲线能最佳地反映经验频率点群的趋势，也就是说必须与实测资料配合得最好配线的具体方法有多种，目前在工程设计中常用的是适线法适线法的要点是：1.根据实测资料计算经验频率在机
13、率格纸上点出经验频率点据绘出经验频率曲线2选定频率曲线线型，估算统计参数和，在绘有经验频率曲线的同一机率格纸上绘出“理论”频率曲线3检查“理论”频率曲线与经验频率点群的符合程度，如符合较差，应适当调整统计参数值曲线上端偏左而下端偏低时可适当增大值。曲线上端偏左而下端偏高时，可适当增大值；曲线普遍偏低时，可适当增大值。调整时要注意照顾全部点据，不要机械地通过最大点据在桥渡水文计算中主要是利用曲线上端部分的外延来推求频率较小的变量，故更要注意曲线的上瑞部分，直至曲线与经验频率点群符合到最佳为止案例案例 推求设计洪峰、洪量（1）在频率格纸上点绘经验点据；在频率格纸上点绘经验点据；（2）选定频率分布线
14、型（一般选用选定频率分布线型（一般选用P型）；型）；（3）参数估计参数估计x 、CvCv、 CsCs；（4 4）根据根据 x、CvCv、CsCs，查查附表附表1 1或或附表附表2 2，计算，计算x xp p值，以值，以x xp p为纵坐标，为纵坐标，p p为横坐标，即可得到频为横坐标，即可得到频率曲线；率曲线；（5 5）根据频率曲线与经验点据的配合情况，从根据频率曲线与经验点据的配合情况，从中选择一条与经验点据配合较好的曲线作为采中选择一条与经验点据配合较好的曲线作为采用曲线；用曲线；（6 6）求指定频率的水文变量设计值。求指定频率的水文变量设计值。取取Cv=0.7=0.7，令，令Cs=3=3
15、Cv。查附表查附表2 2，得不同频率，得不同频率P的的Kp值。则值。则Qp= =KpQ或查附表或查附表1，得不同频率得不同频率P的的值，用式（值，用式（7-447-44）计算）计算Qp。求求200年一遇的洪峰流量？年一遇的洪峰流量？P=0.5%，Cv=0.8，Cs=3.5Cv=2.8查附表查附表2，得，得Kp=4.87Q0.5%=4.87587=2859m3/s或或查附表查附表1，得，得=4.84，代入代入有有 Q0.5%=587（1+0.84.84）= 2859m3/s 思考题及习题思考题及习题1什么叫做事件?必然事件、不可能事件有何不同?2何谓频率？何为概率？二者关系如何？3何谓频率分布?
16、何为概率分布?水文分布是要求说明什么问题?4什么叫做随机变量？试列举出水文现象中哪些是属于随机变量?5何谓总体?何谓样本？水文样本是什么性质的样本?用水文样本去估计水文总体的规律对样本有哪些要求?6水文系列的分布可用哪几个参数表示其分布特征?试述其物理意义并写出常用的计算公式。7若Q1%3800m3s，Q90%500m3s。试根据其频率P求出重现期？，并说明它们的含义。8经验频率曲线的作用是什么?为什么要配以“理论”频率曲线?并分别说明用皮尔逊型曲线、克一门曲线、耿贝尔曲线绘制“理论”频率曲线的方法步骤。9什么叫相关关系?试述相关系数的意义。10我国某河，有甲、乙两相邻水文站，甲站有24年流量观测资料，乙站仅有14年的流量资料，试应用甲站资料延长乙站系列长度并用延长后的乙站资料配合一条适合的“理论”频率曲线。
