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1、14.1 白噪声白噪声4.2 高斯随机过程高斯随机过程4.3 高斯随机过程的线性变换高斯随机过程的线性变换4.4 常用时间序列模型常用时间序列模型第四章第四章 白噪声与高斯随机过程白噪声与高斯随机过程 4.2.2平稳高斯过程的分布特性平稳高斯过程的分布特性平稳高斯随机过程X(t)的一维概率密度函数和特征函数表示为： 定义4.4 设X(t)是高斯随机过程，如果它的均值为常数，相关函数为时间差的函数，即则称X(t)为平稳高斯随机过程。对于任意两个时刻t1和t2，随机变量X(t1)和X(t2)的协方差矩阵为：而r为相关系数矩阵：于是可以得到平稳高斯过程的二维概率密度为：同理可以得到平稳高斯过程的二维
2、特征函数为：类似于二维分布，可得X(t)的n维概率密度表示为： 其中：同理可以得到平稳高斯过程的n维特征函数：注意：从上述n维概率密度函数和特性函数表达式可以看出：高斯过程的统计特性只取决于它的一、二阶矩（均值和方差），如果它满足广义平稳，即它的均值为常数，而相关函数只与时间差有关，那么它的n为概率密度也只与时间差有关，而与时间的起始点无关，即满足狭义平稳的条件。因此，对于高斯过程而言，广义平稳与狭义平稳的概念是等价的。定义4.5 若平稳高斯随机过程具有均匀的功率谱密度，则称此过程为平稳高斯白噪声，也叫 相关高斯态过程。在实际应用中经常遇到平稳高斯白噪声N(t)与有用信号S(t)之和的随机过程
3、X(t)，即设N(t)的均值为0，方差为 ，则X(t)的一维概率密度表示式要从随机过程N(t)的角度来写，即从上式可以看出，X(t)任为高斯过程，但此时的一维概率密度依赖于时间t。因此，一般平稳高斯噪声与信号之和是非平稳的高斯过程。高斯随机高斯随机过程的性程的性质10例题例题1：设平稳高斯随机过程设平稳高斯随机过程X(t)的均值为的均值为0，自，自相关函数为相关函数为 。求。求t1=0，t2=1/2，t3=1时的三维概率密度。时的三维概率密度。解：略。解：略。例题例题2：值4.3.1 高斯过程通过线性系统高斯过程通过线性系统设随机过程设随机过程X(t)通过冲激响应通过冲激响应h(t)的线性系统
4、，输出过程为的线性系统，输出过程为Y(t),那么有：那么有：由此可见由此可见Y(t)在任意时刻是由许多随机变量线性组合而成的。对在任意时刻是由许多随机变量线性组合而成的。对于任意于任意n个时刻个时刻t1,t2,tn，设，设Yk=Y(tk)，Xk=X(k)，则上述方程可，则上述方程可以用多元线性方程组来表示：以用多元线性方程组来表示：用矩阵表示为：用矩阵表示为：那么那么X也可以用也可以用Y来表示：来表示：那么随机变矢量那么随机变矢量Y的概率密度为：的概率密度为：该式就是高斯随机过程通过线性变换后概率密度的一般表示式。该式就是高斯随机过程通过线性变换后概率密度的一般表示式。式中的式中的J为雅克比行
5、列式为雅克比行列式高斯随机过程通过线性系统之后，其输出任然为高斯随机过程高斯随机过程通过线性系统之后，其输出任然为高斯随机过程。输入过程与输出过程为联合高斯分布对于高斯随机过程，。输入过程与输出过程为联合高斯分布对于高斯随机过程，我们只要确定其均值和相关函数就能够确定其分布。我们只要确定其均值和相关函数就能够确定其分布。设设X(t)为均值是零的高斯随机过程，则有：为均值是零的高斯随机过程，则有：4.3.2 随机过程的高斯化随机过程的高斯化定义定义4.7随机过程的高斯化是指非高斯随机过程通过线性系统随机过程的高斯化是指非高斯随机过程通过线性系统后，变换为高斯过程。后，变换为高斯过程。就随机变量而言，根据中心极限定理，大量独立同分布的随机变量就随机变量而言，根据中心极限定理，大量独立同分布的随机变量之和，其分布趋于高斯分布。因此，即使线性系统的输入过程之和，其分布趋于高斯分布。因此，即使线性系统的输入过程X(t)是非高斯，根据公式是非高斯，根据公式系统输出系统输出Y(t)是许多随机变量之和，因此输出过程仍有可能逼近是许多随机变量之和，因此输出过程仍有可能逼近高斯分布。高斯分布。
