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1、 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY二第二类换元法Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法基本思路基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设可导,
2、 则有 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.则有换元公式(也称配元法配元法即, 凑微分法凑微分法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例1. 求解解: 令则故原式原式 =注注: 当时机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU U
3、NIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例2. 求解解:令则想到公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例3. 求想到解解:(直接配元)机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例4. 求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 类
4、似 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例5. 求解解: 原式原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY常用的几种配元形式常用的几种配元形式: 万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZH
5、OU UNIVERSITY例例6. 求解解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例7. 求解解: 原式 =例例8. 求解解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例9. 求解法解法1解法解法2 两法结果一样机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNI
6、VERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例10. 求解法解法1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY解法解法 2 同样可证或(P196 例16 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例11.
7、求解解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例12 . 求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例13. 求解解:原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERS
8、ITYYANGZHOU UNIVERSITY例例14. 求解解: 原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析分析: YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例15. 求解解: 原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY小结小结常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方
9、法(4) 巧妙换元或配元万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY思考与练习思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同?机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY2. 求提示提示:法法1法法2法法3作业 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZ
10、HOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY二、第二类换元法二、第二类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法 .难求， YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定理定理2 . 设是单调可导函数 , 且具有原函数 ,证证:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式 YANGZHOU UNIVERSITY
11、 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例16. 求解解: 令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例17. 求解解: 令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例18. 求解解:令则 原式机动
12、 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY令于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY说明说明:被积函数含有时, 除采用采用双曲代换消去根式 ,所得结果一致 . ( 参考书上 P201-P202 )或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换外, 还可利用公式 YANGZHOU UNIVERSI
13、TY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY原式例例19. 求解解: 令则原式当 x 0 时, 类似可得同样结果 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY小结小结:1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: 令令令或令或令或机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节讲 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZH
14、OU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用基本积分公式的补充 (P203)(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换倒代换 令 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY解解: 原式(P203 公式 (20) )机动 目录
15、上页 下页 返回 结束 例例20. 求例例21. 求解解:(P203 公式 (23) ) YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例22. 求解解: 原式 =(P203 公式 (22) )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例23. 求解解: 原式(P203 公式 (22) ) YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例24. 求解解: 令得原式机动 目录 上
16、页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例25. 求解解: 原式令例例16例16 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY思考与练习思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?令令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZ
17、HOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY2. 已知求解解: 两边求导, 得则(代回原变量代回原变量) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY作业作业P2042 (4) , (5) , (8) , (9) , (11) , (16) , (18) , (19) , (21) , (25) , (28) , (29) , (30) , (32) , (33) , (35) , (36) , (40)第三节 目录 上页 下
18、页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY备用题备用题 1. 求下列积分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY2. 求不定积分解：解：利用凑微分法 ,原式 =令得机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY分子分母同除以3.求不定积分解解: 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束
