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1、圆的基本性质圆的基本性质2024/7/241余金耀圆心圆心半径半径2.不在同一直线上的不在同一直线上的三个三个点确定一个圆。点确定一个圆。圆圆 确定位置确定位置 确定大小确定大小1.圆的确定圆的确定2024/7/242余金耀点与圆的位置关系点与圆的位置关系你发现你发现点与圆的位置关系点与圆的位置关系是由什么是由什么来决定的呢？来决定的呢？如果圆的半径为如果圆的半径为r，点到圆心的距离为点到圆心的距离为d，则：，则： 点在圆上点在圆上 d=r 点在圆内点在圆内 dr2024/7/243余金耀OABC点与圆的位置确定点与圆的位置确定点在圆外点在圆外BPCBAC点在圆上点在圆上BPC=BAC2024
2、/7/244余金耀经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的外心外心，三角形叫做圆的，三角形叫做圆的内接三角形内接三角形。问题问题1：如何作三角形的外接：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？圆？如何找三角形的外心？问题问题2：三角形的外心一定：三角形的外心一定在三角形内吗？在三角形内吗？C90ABC是锐角三角形是锐角三角形ABC是钝角三角形是钝角三角形2024/7/245余金耀垂直于弦的直径垂直于弦的直径及其推及其推及其推及其推论论论论2024/7/246余金耀 圆是轴对称图形，每一条圆是轴对称
3、图形，每一条 都是它的都是它的对称轴对称轴. .直径所在的直线直径所在的直线圆是圆是中心对称图形中心对称图形, ,圆还具有圆还具有旋转不变性旋转不变性. .圆的对称性圆的对称性2024/7/247余金耀从特殊到一般想一想想一想：将一个圆沿着任一条直径对：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？折，两侧半圆会有什么关系？性质：性质：圆是圆是轴对称图形轴对称图形，任何一条，任何一条直直径径所在的直线都是它的所在的直线都是它的对称轴对称轴。观察右图，有什么等量关系？观察右图，有什么等量关系？OCDABOCDABOBCDAEAO=BO=CO=DO，弧AD弧BD，弧AC弧BC, AEBE 。A
4、O=BO=CO=DO，弧AD弧BC=弧AC弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC，弧AC弧BD。垂直于垂直于弦的直弦的直径径2024/7/248余金耀垂径定理垂径定理垂径定理垂直于弦的直径垂直于弦的直径平平分分这条这条弦弦，并且，并且平分平分弦所对弦所对的两条的两条弧弧。2024/7/249余金耀判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不（直径，垂直于弦）缺一不可！可！定理辨析2024/7/2410余金耀练习OABE若圆心到弦的距离用若圆心到弦的距离用d表示，半径用表示，半径用r表示，表示，弦长用弦
5、长用a表示，这三者表示，这三者之间有怎样的关系？之间有怎样的关系？2024/7/2411余金耀变式变式1 1：AC、BD有什么关系？有什么关系？变式变式2 2：ACBD依然成依然成立吗立吗？变式变式3 3：EA_, EC=_。FDFB变式变式4 4：_ AC=BD.OA=OB变式变式5 5：_ AC=BD.OC=OD变式练习2024/7/2412余金耀如图，如图，P为为O的弦的弦BA延长线上延长线上一点，一点，PAAB2，PO5，求，求O的半径。的半径。MAPBO辅助线关于弦的问题，常关于弦的问题，常常需要常需要过圆心作弦过圆心作弦的垂线段的垂线段，这是一，这是一条非常重要的条非常重要的辅助辅
6、助线线。圆心到弦的距离、圆心到弦的距离、半径、弦长半径、弦长构成构成直直角三角形角三角形，便将问，便将问题转化为直角三角题转化为直角三角形的问题。形的问题。2024/7/2413余金耀画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。题设题设结论结论直线直线CD经过圆心经过圆心O直线直线CD垂直弦垂直弦AB直线直线CD平分弦平分弦AB直线直线CD平分弧平分弧ACB直线直线CD平分弧平分弧AB想一想：如果将题设和想一想：如果将题设和结论中的结论中的5 5个条件适当互个条件适当互换，情况会怎样？换，情况会怎样？ OBCDAE2024/7/2414余金耀（1）平分弦
7、平分弦（不是直径）（不是直径）的直径的直径垂直于弦垂直于弦，并且，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧；（2 2）弦的垂直平分线弦的垂直平分线经过圆心经过圆心，并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧；（3 3）平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦垂直平分弦并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧。推论12024/7/2415余金耀如图如图，CD为为O的直径的直径，AB CD，EF CD，你能得到什么结论？你能得到什么结论？推论2弧弧AE弧弧BF圆的两条圆的两条平行弦平行弦所夹的弧相等所夹的弧相等。FOBAECD2024/7/2416余金耀圆心角、弧、弦
8、、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系弦心距之间的关系2024/7/2417余金耀圆的性质圆的性质圆是轴对称图形，每一条直径所圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。在的直线都是对称轴。圆是以圆心为对称中心的圆是以圆心为对称中心的中心对中心对称图形。称图形。圆还具有圆还具有旋转不变性旋转不变性，即圆绕圆，即圆绕圆心旋转任意一个角度心旋转任意一个角度，都能与，都能与原来的图形重合。原来的图形重合。2024/7/2418余金耀猜想与证明如图，如图，AOBAOB，OC AB，OC AB。猜想：猜想：弧弧AB与弧与弧AB，AB与与AB，OC与与OC之间的关系，并证明你的猜想。之间的关系，并证明你的
9、猜想。定理定理相等的圆心角相等的圆心角所对的所对的弧弧相等，所对的相等，所对的弦弦相相等，所对的弦的等，所对的弦的弦心弦心距距相等。相等。在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，OABCABC2024/7/2419余金耀圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弧相等， 圆心角圆心角所对的弦相等，所对的弦相等， 圆心角圆心角所对弦的弦心距相等。所对弦的弦心距相等。推论推论在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等的其余各组量都分别相等。题设题设结论结
10、论在在同同圆圆或或等等圆圆中中( (前前提提) )圆圆心心角角相相等等（条条件件）定理推论2024/7/2420余金耀1圆心角圆心角1弧弧CDn圆心角圆心角n弧弧把顶点在圆心的周角等分成把顶点在圆心的周角等分成360360份时，份时，每一份的圆心角是每一份的圆心角是11的角。的角。11的圆的圆心角所对的弧叫做心角所对的弧叫做11的弧。的弧。圆心角的度数圆心角的度数和它所对的弧和它所对的弧的度数相等。的度数相等。一般地，一般地，nn的的圆心角对着圆心角对着nn的弧。的弧。弧的度数2024/7/2421余金耀圆周角圆周角2024/7/2422余金耀圆周角：圆周角：顶点在圆上顶点在圆上，并且，并且两
11、两边都和圆相交边都和圆相交的角。的角。圆心角圆心角:顶点在圆心顶点在圆心的角的角.看清看清要点要点2024/7/2423余金耀一条弧所对的圆周角等于它一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半所对的圆心角的一半定理化化归归化化归归圆周角定理分类讨论分类讨论完全归纳法完全归纳法数学数学思想思想2024/7/2424余金耀1、已知、已知 AOB75，求：，求： ACB2、已知、已知 AOB120，求：求： ACB3、已知、已知 ACD30，求：，求： AOB4、已知、已知 AOB110，求：，求： ACB2024/7/2425余金耀推论推论 定理：一条弧所对的圆周角等于它所定理：一条弧所对的圆周角
12、等于它所定理：一条弧所对的圆周角等于它所定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。对的圆心角的一半。对的圆心角的一半。对的圆心角的一半。 也可以理解为：一条弧所对的圆心角也可以理解为：一条弧所对的圆心角也可以理解为：一条弧所对的圆心角也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；是它所对的圆周角的二倍；是它所对的圆周角的二倍；是它所对的圆周角的二倍；圆周角的圆周角的圆周角的圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半度数等于它所对的弧的度数的一半度数等于它所对的弧的度数的一半度数等于它所对的弧的度数的一半。 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？弧相等
13、，圆周角是否相等？反过来呢？弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ 什么时候圆周角是直角？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什么性质？反过直角三角形斜边中线有什么性质？反过直角三角形斜边中线有什么性质？反过直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？来呢？来呢？来呢？2024/7/2426余金耀OBADEC如图，比较如图，比较ACBACB、ADBADB、AEBAEB的大小的大小同弧所对的圆同弧所对的圆周角相等周角相等如图，如果弧如图，如果弧ABAB弧弧CDCD，那么，那么E E和和F F是什么关系？反过来呢？
14、是什么关系？反过来呢？DCEBFAO等弧所对的圆周角相等；在等弧所对的圆周角相等；在同圆中，相等的圆周角所对同圆中，相等的圆周角所对的弧也相等的弧也相等DCEO1BFAO2如图，如图，O O1 1和和O O2 2是是等圆，如果弧等圆，如果弧ABAB弧弧CDCD，那么，那么E E和和F F是是什么关系？反过来呢什么关系？反过来呢？等圆也成立等圆也成立2024/7/2427余金耀推论推论1 1同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中，相等的圆周角所对的同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。弧相等。思考：思考：1 1、“同圆或等圆同圆或等圆”的条件能否去掉？的条件能否去掉？
15、2 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。其余各组量也相等。FED2024/7/2428余金耀关于等积式的证明关于等积式的证明如图，已知如图，已知ABAB是是O O的弦，半径的弦，半径OPABOPAB，弦，弦PDPD交交ABAB于于C C，求证：求证：PAPA2 2PCPDPCPDCDPBAO经验：经验：证明等积式，通常利用相似；证明等积式，通常利用相似；找角相等，要有找同弧或等弧所找角
16、相等，要有找同弧或等弧所对的圆周角的意识；对的圆周角的意识；2024/7/2429余金耀推论推论2 2半圆（或直径）所对的圆周角半圆（或直径）所对的圆周角是是9090；9090的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。推论推论3 3如果三角形一边上的中线等于如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。角三角形。 什么时候圆周角是直角什么时候圆周角是直角什么时候圆周角是直角什么时候圆周角是直角？反过来呢？反过来呢？反过来呢？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有直角三角形斜边中线有直角三角形斜边中线有直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？
17、什么性质？反过来呢？什么性质？反过来呢？什么性质？反过来呢？2024/7/2430余金耀ABC的三个顶点在半径为的三个顶点在半径为2cm的圆上，的圆上，BC=2cm，求求A的度数。的度数。ODA圆中圆中多解多解问题问题2024/7/2431余金耀半径为半径为2.52.5的的OO中，直径中，直径ABAB的不同侧有的不同侧有定点定点C C和动点和动点P P已知已知BC BC ：CACA4 : 34 : 3，点点P P在上运动，过点在上运动，过点C C作作CPCP的垂线，与的垂线，与PBPB的延长线交于点的延长线交于点O O( (l l) )当点当点P P与点与点C C关于关于ABAB对称时，求对称
18、时，求CQCQ的长；的长；(3）当点）当点P运动到什么位置时，运动到什么位置时，CQ取到取到最大值？求此时最大值？求此时CQ的长的长(2）当点）当点P运动到弧运动到弧AB的中点时，求的中点时，求CQ的长；的长； 2024/7/2432余金耀如图，弦如图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD是是ACB的平分线的平分线问题（问题（1）：你能找）：你能找出图中相等的圆周出图中相等的圆周角和相等的线段吗角和相等的线段吗?问题（问题（2）：图中有哪些）：图中有哪些相似的三角形？相似的三角形？问题（问题（3）：若点）：若点C在在圆上上运动（不和圆上上运动（不和A，B重合），在此运重合），在此运动过程中，
19、哪些线段动过程中，哪些线段是不变的，哪些线段是不变的，哪些线段发生了改变？发生了改变？OPDCBA2024/7/2433余金耀 如图，弦如图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD是是ACB的平分线的平分线问题（问题（4）：若弦）：若弦AB= , BAD=30, 在点在点C运动的过程中运动的过程中,四边形四边形ADBC的最大面积为的最大面积为多少多少?此时此时CAD等等于多少度于多少度?OPDCBA2024/7/2434余金耀如图，弦如图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD是是ACB的平分线的平分线（5）：若弦）：若弦AB= , BAD=30, 在点在点C运运动的过程中动的过程中, 当当C
20、AD等于多少度时等于多少度时,四边形四边形ADBC是梯形是梯形?证明你证明你的理由的理由OPDCBA2024/7/2435余金耀2 2、如图，在、如图，在ABCABC中，中，A A4040 O是是ABCABC的外心，则的外心，则 BOCBOC . .8080如果如果O为内心，为内心，BOCBOC110110C CA AB BO O1、判断：三点确定一个圆（）、判断：三点确定一个圆（）练习练习2024/7/2436余金耀例题讲解例题讲解例例1 1、如如图图，已已知知在在O O中中，弦弦ABAB的的长长为为8 8厘厘米米，圆圆心心O O到到ABAB的的距距离离为为3 3厘厘米米，求求O O的半径。
21、的半径。COBA2024/7/2437余金耀例例2 2、如图，在、如图，在O O中，中，AC=BDAC=BD， (1)(1)图中有哪些相等关系？图中有哪些相等关系？(2)(2)如果如果1=451=45，求，求2 2的度数的度数。(3)(3)如果如果ADAD是是O O的直径，的直径，1=451=45求求BDABDA的度数的度数2024/7/2438余金耀只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于
22、足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于“我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出
23、来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年
24、的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没
25、有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼朦胧
26、又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，
27、你终于能懂得：谁会在乎你？你又何必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来，我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千
28、般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿
29、一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里，故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑
30、的童年，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。没有了幻想和冲动，日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了许多：人生路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，谁会和你牵手相伴一生，
