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1、第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 5.1 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述 5.2 5.2 转动定律转动定律 5.3 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 1.1.刚体刚体 -理想模型，特殊质点组，形理想模型，特殊质点组，形状和体积不变化。状和体积不变化。2 2. .定轴转动定轴转动 -刚体上各点作同心圆周运动刚体上各点作同心圆周运动-刚体上各点刚体上各点, w, , w, 相同相同5.1 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述平动和转动可以描述所有质点的运动。平动和转动可以描述所有质点的运动。刚体的定义刚体的定义在任何力的作用下，体积和形状都不发生改变的物体叫做“刚体”(Rigi
2、d body)。 在运动中，刚体在外力的作用下各质元之间的相对位置保持不变。它是力学中的一个科学抽象概念，即理想模型。事实上任何物体受到外力，不可能不改变形状。实际物体都不是真正的刚体。若物体本身的变化不影响整个运动过程，为使被研究的问题简化，可将该物体当作刚体来处理而忽略物体的体积和形状，这样所得结果仍与实际情况相当符合。 例如，物理天平的横梁处于平衡状态，横梁在力的作用下产生的形变很小，各力矩的大小都几乎不变。对于形变，实际是存在的，但可不予考虑。为此在研究天平横梁平衡的问题时，可将横梁当作刚体。 3.3.关于角量关于角量角位置角位置角位移角位移角速度角速度角加速度角加速度 弧度弧度(ra
3、d) 弧度弧度(rad)弧度弧度/秒秒(rad/s)弧度弧度/秒秒2(rad/s2) A A）角量）角量B B）角量与线量的关系）角量与线量的关系dC C）角量的）角量的计算计算匀加速定轴转动匀加速定轴转动刚体上任意点都绕同刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动，且一轴作圆周运动，且 ，都相同。都相同。 O Ov vP P,r rr r定轴定轴刚体刚体 参参考考方方向向z zP158 5.2 P158 5.2 一汽车发动机的转速在一汽车发动机的转速在7.0s7.0s内由内由200r/min200r/min均匀地增加到均匀地增加到3000r/min.3000r/min.求：求：（1 1）初角速度和末角
4、速度以及角加速度；）初角速度和末角速度以及角加速度；（2 2）转过的角度和圈数；）转过的角度和圈数；（3 3）发动机轴上装有一半径为）发动机轴上装有一半径为0.2m0.2m的飞轮，求它边缘上一点在这的飞轮，求它边缘上一点在这第第7.0s7.0s末的切向加速度、法向加速度和总加速度末的切向加速度、法向加速度和总加速度解：解：（1）（2）（3）5.2 5.2 转动定律转动定律刚体刚体质点质点i转动惯量转动惯量J J转动定律转动定律平动平动转动转动5.2 5.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 类似于多质点系类似于多质点系刚体对刚体对 z z 轴的轴的转动惯量转动惯量OFimii定轴定轴刚体刚
5、体vi, ,ririz一、转动惯量和转动定律一、转动惯量和转动定律转动定律转动定律转动惯量到底是什么东西转动惯量到底是什么东西?顾名思义，转动惯量是在转动过程中一个刚体表现出来顾名思义，转动惯量是在转动过程中一个刚体表现出来的惯性，是刚体绕轴转动惯性的度量。一个刚体最简单的转的惯性，是刚体绕轴转动惯性的度量。一个刚体最简单的转动就是绕定轴的转动。因为刚体上的所有的点，都以相同的动就是绕定轴的转动。因为刚体上的所有的点，都以相同的角速度运动；这就同一个刚体作平动运动时的速度相对应。角速度运动；这就同一个刚体作平动运动时的速度相对应。如果把这样的平动与绕定轴的转动对应起来看，更让人如果把这样的平动
6、与绕定轴的转动对应起来看，更让人相信：相信：转动惯量转动惯量是刚体在转动过程中起着是刚体在转动过程中起着“与平动运动中的与平动运动中的质量质量”相当的作用。相当的作用。我们有理由认为我们有理由认为转动惯量转动惯量是转动中表现出来的惯性。不是转动中表现出来的惯性。不过转动惯量，当然与刚体的总质量有关外，更重要的是还与过转动惯量，当然与刚体的总质量有关外，更重要的是还与组成刚体各个部分质量相对转轴的分布有关。组成刚体各个部分质量相对转轴的分布有关。 平动平动转动转动例例5.8静静止止释释放放m下下落落并并带带动动刚刚体体旋转。求旋转。求m下落下落h时的时的a和和v。mhTJ， R例例1 1 已知：
7、已知： t t v vR R =0.2=0.2m m，m m =1=1kgkg，o o=0=0 ，h h =1.5=1.5m m，绳轮无相对滑动，绳，绳轮无相对滑动，绳不可伸长，下落时间不可伸长，下落时间 =3=3s s。求：轮对求：轮对O O轴轴J J= =？解：动力学关系：解：动力学关系：对轮：对轮：TRJ= =a a(1),对对：mmg T ma- - = =(2)定轴定轴O OR Rt th hm mv v0 0=0=0绳绳TGRNmgT = - T ma运动学关系：运动学关系：a a= =aR(3)hat= =122(4)(1)(4)联立解得：联立解得：JgthmR= =- -()2
8、221= = - - = =(.).9832151102114222kg m例例2.2.滑轮是刚体滑轮是刚体, ,已知已知J,R,mJ,R,m1 1 m m2 2。求系统的求系统的加速度和拉力。加速度和拉力。解解: :J例例3已知：重物已知：重物m1,m2，滑轮滑轮M1 M2，R1 ,R2。 T1T2aT1T2J=J1+J2二根绳子，不同a,一个滑轮，相同aM2R2M1R1aT3T2T1例例4.4.求系统的求系统的加速度和拉力加速度和拉力 J只与质量大小、质量分布、转轴位只与质量大小、质量分布、转轴位置有关置有关, ,是刚体转动惯性的量度。是刚体转动惯性的量度。ri-转轴到转轴到mi的垂直距离
9、的垂直距离(1)m不连续不连续分布分布(Kg.m2)定义定义5.3 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算体分布体分布dm=(2)m连续连续分布分布r-转轴到转轴到dm的垂直距离的垂直距离线分布线分布面分布面分布r例例. .求圆环求圆环m, m, R,R,对中垂轴的对中垂轴的J J。解：解：解解:例例. .求求均匀细棒均匀细棒m,L,m,L,对中心对中心( (或一端或一端) )并与棒垂直的轴的转动惯量并与棒垂直的轴的转动惯量? ?xox可以看出转轴不同，转动惯量也不同可以看出转轴不同，转动惯量也不同xox对一端轴对中心轴例例. .求薄圆盘求薄圆盘m,R,m,R,对中垂轴的对中垂轴的J J。解：解
10、：例例. .求圆球求圆球m,Rm,R对中心轴的对中心轴的J J。方法一方法一解：解：yxzOqrj球坐标系球坐标系：球坐标是一种三维坐标。球坐标是一种三维坐标。设设P（x，y，z）为空间内一点，则点）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序也可用这样三个有次序的数的数r，来确定，其中来确定，其中r为原点为原点O与点与点P间的距离，间的距离，为有向线段为有向线段与与z轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，为从正为从正z轴来看自轴来看自x轴按逆时针方向转到有向轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里线段的角，这里M为点为点P在在xOy面上的投影。这样的三个数面上的投影。这样的三个数r，叫做点叫做点P的球面坐标，这里的球面坐标，这里r，的变化范围为的变化范围为0r+,02,0.r=常数，即以原点为心的球面；常数，即以原点为心的球面；=常数，即以原点为顶点、常数，即以原点为顶点、以以z轴为轴的圆锥面；轴为轴的圆锥面；=常数，即过常数，即过z轴的半平面。轴的半平面。其中其中x=rsincosy=rsinsinz=rcosyrdyRy方法二方法二作业作业5.105.10、5.115.11
