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1、第六章 误差理论的基本知识 61观测误差1、什么是误差误差（Error)（真误差）： 观测值L与真值X的差值。 = L X真值X：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。 2、观测误差产生的原因：人-观测者感觉器官的鉴别力的局限仪器-测量仪器与测量方法给观测结果带来误差客观环境-客观环境给观测结果带来的影响观测条件： 人、仪器、客观环境总称观测条件，它们是引起观测误差的主要因素。多余观测(redundant observation )：观测的个数多于未知量的个数观测的个数多于未知量的个数3、误差的分类粗差(Appreciable Arror) ： 由测量人员粗心大意或仪器故障所造成的差错，称为粗差
2、。系统误差(Regular Error) ： 在相同的观测条件下，对某一量进行多次的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。偶然误差(Irregular Error) ： 在相同的观测条件下，对某一量进行多次的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”。62偶然误差的特性 在相同的观测条件下，独立地观测了817个三角形的全部内角。由于观测结果中存在着偶然误差，三角形的三个内角观测值之和不等于其内角和的理论值（真值）。设三角形内角和的真值为X，观测值为Li，则其真误差（或简称误差）为 i =Li
3、-X（i一1，2，n） 对于每个三角形来说，i是每个三角形内角和的真误差，Li是每个三角形三个内均观测值之和，X为180。现将817个真误差按每0.5为一区间，以误差值的大小及其正负号，分别统计出在各误差区间内的个数v，及相对个数v817。 i = Li - X ( i = 1,2,n) 现将817个真误差按每0.5为一区间，以误差值的大小及其正负号，分别统计出在各误差区间内的个数v，及相对个数v817。 i = Li - X ( i = 1,2,n) 偶然误差的特性有界性：聚中性：对称性：抵偿性： 实践表明，对于在相同条件下独立进行的一组观测来说，不论其观测条件如何，也不论是对一个量还是对多
4、个量进行观测，这组观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数n愈大时，这种特性就表现得愈明显。偶然误差的这种特性，又称为统计规律性统计规律性。 偶然误差的概率分布偶然误差分布曲线2:方差:标准差 Standard Error横坐标表示误差的大小与正负，纵坐标代表误差出现于各区间的频率除以区间间隔 当观测次数愈来愈多，误差出现在各个区间的相对个数的变动幅度就愈来愈小。当n足够大时，误差在各个区间出现的相对个数就趋于稳定。当观测次数足够多时，如果把误差的区间间隔无限缩小，则图中各长方形顶边所形成的折线将变成一条光滑曲线，称为误差分布曲线。其方程（称概率密度）为 式中参数 是观测误差的标准差（
5、方根差或均方根差） 对偶然误差分布曲线形状的影响f()O0.6830.683 愈小，曲线顶点愈高，误差分布比较密集；反之较离散。 1f ()是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的f（）相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。 2，愈小，f（）愈大。当=0时，f（）有最大值：，反之，愈大，f（）愈小。当时，f（）0。所以，横轴是曲线的渐近线。由于f（）随着的增大而较快地减小，所以当到达某值，而f（）已较小，实际上可以看作零时，这样的可作为误差的限值。这就是偶然误差的第一和第二特性。63评定精度的指标 在一定的观测条件下进行一组观测，其误差分布的集中或离散程度即精度。如果该组误差
6、值总的说来偏小些，即误差分布比较密集，则表示该组观测质量好些，这时标准差的值也较小；反之，即误差分布比较分散，则表示该组观测质量差些，这时标准差的值也就较大。因此，一组观测误差所对应的标准差值的大小，反映了该组观测结果的精度。 所以在评定观测精度时，可用该组误差所对应的标准差的值。1、中误差、中误差求值要求观测个数n，但这实际是不可能的。 在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用中误差m，其公式为：式中方括号表示总和，i（i=l，2n）为一组同精度观测的真误差。标准差跟中误差m的差别在观测个数n上： 标准差表征了一组同精度观测在n时误差分布的扩散特性，即理论上的观测精度指标；
7、中误差则是一组同精度观测在n为有限个数时求得的观测精度指标。所以中误差实际上是标准差的近似值（估值）；随着n的增大，m将趋近于。 在相同的观测条件下进行的一组观测，得出的每一个观测值都称为同同精精度度观观测测值值。由于它们对应着一个误差分布，即对应着一个标准差，而标准差的估值即为中误差。因此，同精度观测值具有相同的中误差。但是，同精度观测值的真误差却彼此并不相等，有的差别还比较大，这是由于真误差具有偶然误差性质的缘故。中误差可以突出地反映误差集中和离散的程度。在计算m值时注意取23位有效数字，并在数值前冠以“士”号，数值后写上“单位”。 例 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观
8、测，试求这两组观测值的中误差。 2、平均误差和或然误差在测量工作中，对于评定一组同精度观测值的精度来说，为了计算上的方便或别的原因，在某些精度评定时也采用下述精度指标：称为平均误差平均误差，它是误差绝对值的平均值。 在某些国家，也有将一组误差按其绝对值的大小顺序排列，取居中的一个误差值作为精度指标，并称为或或然然误误差差，以表示，在误差理论中可以证明，对于同一组观测误差来说，当n时，求得的中中误误差差m、平均误差和或然误差之间都有一定的数量关系。即根据理论知道，大于中误差的真误差，其出现的可能性约为31.7%。大于两倍中误差的真误差，其出现的可能性约为4.6，大于三倍中误差的真误差，其出现的可
9、能性只占3左右。因此测量中常取两倍中误差作为误差的限值，也就是在测量中规定的容许误差（或称限差）。即容=2m在有的测量规范中也有取三倍中误差作为容许误差的。 3、容许误差4、相对误差有时利用中误差还不能反映测量的精度。例如丈量两条直线，一条长100m，另一条长20m，它们的中误差都是10mm，那么，能不能说两者测量精度相同呢？不能！而是前者优于后者。为此，利用中误差与观测值的比值，即miLi来评定精度，通常称此比值为相相对对中中误误差差。相对中误差都要求写成分子为1的分式，即1N。上例为即前者的精度比后者高。 有时，求得真误差和容许误差后，也用相对误差来表示。例如，在导线测量中，假设起算数据没
10、有误差时，求出的全长相对闭合差也就是相对真误差；而规范中规定全长相对闭合差不能超过12000或115000，它就是相对容许误差。 与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。 6-4误差传播定律 在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB，是由起始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而得来的观测高差h1hn求和得出的。这时未知点B的高程HB是各独立观测值的函数。阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律误差传播定律。 一、倍数函数设有函数：Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中
11、误差为mx，求Z的中误差mZ。设x和z的真误差分别为x和z则 若对x 共观测了n次，则将上式平方，得求和，并除以n，得即，观观测测值值与与常常数数乘乘积积的的中中误误差差，等于观测值中误差乘常数。等于观测值中误差乘常数。 例 在1：500比例尺地形图上，量得A、 B两点间 的 距 离 SAB=23.4mm， 其 中 误 差 msab=土0.2mm，求A、B间的实地距离SAB及其中误差msAB。 解： SAB=500*Sab=500X23.4=11700mm=11.7m 得 msAB500*mSab500*（士0.2） =土100mm0.1m 最后答案为SAB=11.7m士0.1m 二、和或差的
12、函数设有函数：Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误差为mx、my，求Z的中误差mZ。设x、y和z的真误差分别为x、y和z则 若对x、y 均观测了n次，则将上式平方，得 由于x、y均为偶然误差，其符号为正或负的机会相同，因为x、y为独立误差，它们出现的正、负号互不相关，所以其乘积xy也具有正负机会相同的性质，在求xy时其正值与负值有互相抵消的可能；当n愈大时，上式中最后一项xy/n将趋近于零，即求和，并除以n，得 满足上式的误差x、y称为互相独立的误差，简称独独立立误误差差，相应的观测值称为独独立立观观测值测值。对 于 独 立 观 测 值 来 说 ， 即 使 n是 有 限 量
13、 ， 由 于 式 残存的值不大，一般就忽视它的影响。根据中误差定义，得即，两两观观测测值值代代数数和和的的中中误误差差平平方方，等于两观测值中误差的平方之和。等于两观测值中误差的平方之和。当z是一组观测值X1、X2Xn代数和（差）的函数时，即可以得出函数Z的中误差平方为 式中mxi是观测值xi的中误差。n n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n n个观测值中误差平方之和个观测值中误差平方之和。当诸观测值xi为同精度观测值时，设其中误差为m，即 mx1=mx2=mxn=m则为这就是说，在在同同精精度度观观测测时时，观观测测值值代代数数和和（差差）的的中中
14、误误差差，与与观观测测值值个个数数n的的平平方方根根成成正比。正比。 例设用长为L的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每尺段量距的中误差都为m，求全长S的中误差ms。解：因为全长S=LLL（式中共有n个L）。而L的中误差为m。量距的中误差与丈量段数量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比的平方根成正比。例如以 30m长的钢尺丈量 90m的距离，当每尺段量距的中误差为5mm时，全长的中误差为 当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为mL，则每公里长度的量距中误差mKm也是相等的。当对长度为S公里的距离丈量时，全长的真误差将是S个一公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中误差为式中，S的单位是公
15、里。即：在在距距离离丈丈量量中中，距距离离S的的量量距距中中误误差差与与长长度度S的平方根成正比。的平方根成正比。例 为了求得A、B两水准点间的高差，今自A点开始进行水准测量，经n站后测完。已知每站高差的中误差均为m站，求A、B两点间高差的中误差。解：因为A、B两点间高差hAB等于各站的观测高差hi（i=l，2n）之和，即hAB=HB-HA=h1+h2+.+hn 即，水水准准测测量量高高差差的的中中误误差差，与与测测站站数数n的的平平方方根根成成正比正比。 在不同的水准路线上，即使两点间的路线长度相同，设站数不同时，则两点间高差的中误差也不同。但是，当水准路线通过平坦地区时，每公里的水准测量高
16、差的中误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两点间的水准路线为S公里时，A、B点间高差的中误差为即，水准测量高差的中误差与距离水准测量高差的中误差与距离S的平方根成正比的平方根成正比。 或例如，已知用某种仪器，按某种操作方法进行水准测量时，每公里高差的中误差为20mm，则按这种水准测量进行了25km后，测得高差的中误差为 在水准测量作业时， 对于地形起伏不大的地区或平坦地区，可用式计算高差的中误差； 对于起伏较大的地区，则用 式计算高差的中误差。 在一个观测量中，常常同时存在几个无函数关系的误差，如在水准测量中进行后视或前视读数时，有水准管气泡不精确居中所引起的视线不严格水平而产生的误差，有估
17、读毫米值的估读误差等。这些误差在观测成果中是相加的关系。如只考虑读尺误差的影响，由于则一个测站高差h=a-b,则其中误差为三、线性函救设有线性函数：则有例 设有线性函救观测量的中误差分别为，求Z的中误差 四、一般函数式中xi(i=1，2n)为独立观测值，已知其中误差为mi(i=1 2n)，求z的中误差。 当xi具有真误差时，函数Z相应地产生真误差z。这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。式中 （i=l，2n）是函数对各个变量所取的偏导数，以观测值代入所算出的数值，它们是常数，因此上式是线性函数可为： 例 设有某函数z=Ssin
18、式 中 S=150.11m， 其 中 误 差 ms=士 005m； =1194500，其中误差m=20.6；求z的中误差mz。解：因为z=Ssin，所以z是S及a的一般函数。求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步： 1）按问题的要求写出函数式： 2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中， 是用观测值代入求得的值。3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式： 例如，设有函数z=xy，而y=3x，此时， 。因为x与y不是独立观测值，因为不论n值多少，恒有因此，应把Z化成独立观测值的函数，即z=x+3x=4x上式中X与3X两项是由同一个观测值X组成的，必须先并项为z=
19、4x 而后求其中误差，即mz= 4mx6-5算术平均值及其中误差 设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为L1、L2Ln，现在要根据这n个观测值确定出该未知量的最或然值。 设未知量的真值为X，写出观测值的真误差公式为i= Li-X (i=1,2n)将上式相加得或故设以x表示上式右边第一项的观测值的算术平均值，即以X表示算术平均值的真误差，即代入上式，则得由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，X趋近于零，即也就是说，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。现在来推导算术平均值的中误差公式。因为式中，1n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。现以mx表示算术平均值的中误
20、差，则可得算术平均值的中误差算术平均值的中误差为故 即算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍。 66同精度观测值的中误差 同精度观测值中误差的计算公式为而 这是利用观测值真误差求观测值中误差的定义公式，由于未知量的真值往往是不知道的，真误差也就不知道了。所以，一般不能直接利用上式求观测值的中误差。但是未知量的最或然值是可以求得的，它和观测值的差数也可以求得，即因n为有限值，故在实用上可以用x的中误差近似地代替x的真误差，即 为用改正数来求观测值中误差的公式，称为白塞尔公式。用改正数计算最或然值中误差的公式为 67广义算术平均值及权 一、广义算术平均值如果对某个未知量进行n次同精度观测，则其最
21、或然值即为n次观测量的算术平均值：在相同条件下对某段长度进行两组丈量：在相同条件下对某段长度进行两组丈量：第一组第一组：第二组第二组： 算术平均值分别为算术平均值分别为其中误差分别为：其中误差分别为：全部同精度观测值的最或然值为全部同精度观测值的最或然值为：在在值的大小体现了值的大小体现了中比重的大小，中比重的大小，称称为为的权。的权。令令若有不同精度观测值若有不同精度观测值其权分别为其权分别为该量的最或然值可扩充为该量的最或然值可扩充为：称之为称之为广义算术平均值广义算术平均值。当各观测值精度相同时当各观测值精度相同时二二 权权1、定、定权的权的基本公式基本公式：称为称为中误差中误差，为为单
22、位权观测值单位权观测值，当观测值当观测值称为称为单位权单位权，单位权中误差单位权中误差。习惯上取一次观测、一测回、一千米线路、一米长的测量误差为单位权中误差。2、权的特性、权的特性1 反映了观测值的相互精度关系。反映了观测值的相互精度关系。 3 不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系 。值的值的 大小，对大小，对X值毫无影响。值毫无影响。24 若若是同类量的观测值，此时，权无单位。若是同类量的观测值，此时，权无单位。若是不同类量的观测值，权是否有单位不能是不同类量的观测值，权是否有单位不能一概而论，而视具体情况而定。一概而论，而视具体情况而定。
23、例：已知例：已知的中误差分别为：的中误差分别为：设设若设若设1 水准路线观测高差的权水准路线观测高差的权例：例：常用定权公式常用定权公式当各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测当各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的权与测站数成反比。高差的权与测站数成反比。四条水准路线分别观测了四条水准路线分别观测了3, 4, 6, 5 测站。测站。令令c=3,令令c=4, 水准路线的长分别为水准路线的长分别为设每公里水准测量观测的中误差为设每公里水准测量观测的中误差为当每公里水准测量的精度相同时，水准路线当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观测的权与路线长度成反比。观测的权与路线长度成反比。当当
24、S=C=10公里公里 的水准路线的观测高差为单位的水准路线的观测高差为单位权观测。权观测。每测站观测高差精度相同时：每测站观测高差精度相同时：每公里观测高差精度相同时：每公里观测高差精度相同时：例例 对某角作三组同精度观测：对某角作三组同精度观测： 第一组测第一组测4测回，算术平均值测回，算术平均值为 第二组测第二组测6测回，算术平均值为测回，算术平均值为 第三组测第三组测8测回，算术平均值为测回，算术平均值为2 不同个数的同精度观测值求得的算术平均不同个数的同精度观测值求得的算术平均 值的权。值的权。由不同个数的同精度观测值求得的算术平均值，其权由不同个数的同精度观测值求得的算术平均值，其权
25、与观测值个数成正比。与观测值个数成正比。令68单位权中误差的计算公式 在同精度观测中，观测值的精度是相同的，因此可用来计算观测值的中误差。在不同精度观测中，每个观测值的精度不同，就必须先求出单位权中误差，然后根据 求出各观测值的中误差。 以推导计算单位权中误差的公式为 69由真误差计算中误差对于一组同精度或不同精度观测值来说，如果已经知道它们的真误差，则可按式 计算观测值的中误差；用 式计算单位权中误差。一、由三角形闭合差求测角中误差上式就是由三角形闭合差计算的测角中误差的公式，名为菲列罗菲列罗公式。在三角测量中，通常用它来初步评定测角精度。 二、由同精度双观测值的差数来观测值中误差 在测量工作中，常常对一系列被观测量各进行两次观测。这种观测称为双观测。对一个未知量进行的两次观测，称为一个观测对一个观测对。 设观测值的中误差为m，得 610等权代替法平差一、基本概念设有一个结点的水准网如图。为了求定E点的高程，则先定各观测值的权而后用带权平均值求E的最或然值。即用一条虚拟路线Z12代替水准路线Z1和Z2，由虚拟路线求得的E点高程HE（1，2），虚拟路线的权为P（1，2），虚拟路线的距离为。通过虚拟路线Z12和Z3求得E点的高程HE。
