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1、当被积函当被积函数数(hnsh)均非负在D上变(shn bin)号时,因此(ync)上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共30页第一页，共31页。说明说明:(1)若积分若积分(jfn)区域既是区域既是X型区域又是型区域又是Y型区域型区域,为计算方便,可选择(xunz)积分序, 必要时还可以交换积分序.则有(2) 若积分域较复杂(fz),可将它分成若干X-型域或Y-型域 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共30页第二页，共31页。例例1.计算计算(jsun)其中(qzhng)D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域(qy).
2、解法1. 将D看作X型区域, 则解法2. 将D看作Y型区域, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共30页第三页，共31页。例例2.计算计算(jsun)其中(qzhng)D 是抛物线所围成的闭区域(qy). 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共30页第四页，共31页。例例3.计算计算(jsun)其中(qzhng)D 是直线 所围成的闭区域(qy).解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共30页
3、第五页，共31页。例例4.交换交换(jiohun)下列积下列积分顺序分顺序解: 积分域由两部分(b fen)组成:视为Y型区域(qy) , 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共30页第六页，共31页。例例5.计算计算(jsun)其中(qzhng)D 由所围成.解: 令(如图所示)显然(xinrn),机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共30页第七页，共31页。对应(duyng)有二、利用二、利用(lyng)极坐标计算二极坐标计算二重积分重积分在极坐标系下, 用同心圆 r =常数(chngsh)则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线 =常数, 分划区域D 为机动
4、 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共30页第八页，共31页。即机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共30页第九页，共31页。设设则特别(tbi), 对机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第10页/共30页第十页，共31页。若 f 1 则可求得D 的面积(min j)思考(sko): 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答: 问 的变化范围(fnwi)是什么?(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共30页第十一页，共31页。例例6.计算计算(jsun)其中(qzhng)解: 在极坐标系下原式的原函数不是(b shi)初等函数
5、 ,故本题无法用直角由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共30页第十二页，共31页。注注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计(sh l tn j)及工程上非常有用的反常积分(jfn)公式事实上, 当D 为 R2 时,利用(lyng)例6的结果, 得故式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共30页第十三页，共31页。例例7.求球体求球体(qit)被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体(lt)的体积. 解: 设由对称性可知(k zh)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共30页第十四页，共31页。定积分换元法*三、二重积分换元法三、二重积分换元
6、法满足(mnz)一阶导数(do sh)连续;雅可比行列式(3) 变换(binhun)则定理:变换:是一一对应的 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共30页第十五页，共31页。证证:根据定理根据定理(dngl)条件可知条件可知变换变换T可逆可逆.用平行(pngxng)于坐标轴的 直线(zhxin)分割区域 任取其中一个小矩形, 其顶点为通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边形, 其对应顶点为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共30页第十六页，共31页。同理得当h, k 充分(chngfn)小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行(pngxng)四 边形, 故
7、其面积(min j)近似为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共30页第十七页，共31页。因此面积元素因此面积元素(yuns)的关系为的关系为从而(cng r)得二重积分的换元公式: 例如, 直角坐标(zh jio zu bio)转化为极坐标时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共30页第十八页，共31页。例例8.计算计算(jsun)其中(qzhng)D 是 x 轴 y 轴和直线所围成的闭域. 解: 令则机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共30页第十九页，共31页。例例9.计算计算(jsun)由由所围成的闭区域(qy) D 的面积 S .解: 令
8、则机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第20页/共30页第二十页，共31页。例例10.试计算试计算(jsun)椭球体椭球体解: 由对称性令则D 的原象为的体积(tj)V.机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第21页/共30页第二十一页，共31页。内容内容(nirng)小结小结(1) 二重积分化为累次积分的方法(fngf)直角坐标(zh jio zu bio)系情形 : 若积分区域为则 若积分区域为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共30页第二十二页，共31页。则(2) 一般(ybn)换元公式且则极坐标系情形极坐标系情形(qngxing):若积分若积分区域为区域为在
9、变换(binhun)下机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共30页第二十三页，共31页。(3)计算计算(jsun)步骤及步骤及注意事项注意事项 画出积分(jfn)域 选择(xunz)坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共30页第二十四页，共31页。思考思考(sko)与与练习练习1. 设且求提示(tsh):交换(jiohun)积分顺序后, x , y互换机动 目录 上页 下页 返回 结束 第
10、25页/共30页第二十五页，共31页。2.交换积分交换积分(jfn)顺序顺序提示(tsh): 积分域如图机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共30页第二十六页，共31页。作业作业(zuy)P95 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11 (2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19( 1); *20 (2) 第三节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第27页/共30页第二十七页，共31页。解：原式备用备用(biyng)题题1. 给定(i dn)改变(gibin)积分的
11、次序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共30页第二十八页，共31页。2.计算计算(jsun)其中(qzhng)D 为由圆所围成的及直线(zhxin)解：平面闭区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共30页第二十九页，共31页。感谢您的欣赏(xnshng)！第30页/共30页第三十页，共31页。内容(nirng)总结当被积函数(hnsh)。X-型域或Y-型域 ,。解法2. 将D看作Y型区域, 则。先对 x 积分不行,。视为Y型区域 , 则。问 的变化范围是什么。曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四。例10. 试计算椭球体。极坐标系情形: 若积分区域为。 确定积分序。 写出积分限。 计算要简便。第29页/共30页。感谢您的欣赏第三十一页，共31页。
