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1、二二 次次 函函 数数 复复 习习一、概念一、概念形如形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，是常数，a0) 的的函数叫做二次函数函数叫做二次函数其中二次项为其中二次项为ax2，一次项为，一次项为bx，常数项常数项c二次项的系数为二次项的系数为a，一次项的系数为，一次项的系数为b，常数项，常数项c 1、下列函数中，哪些是二次函数？下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x -2 +x (6)y=x2-x(1+x)2、当m取何值时，函数是取何值时，函数是y= (m+2)x 分别分别 是一次函数？是一
2、次函数？ 反比例函数？反比例函数？ m2-2二次函数？二次函数？二次函数图象及画法二次函数图象及画法顶点坐标顶点坐标与与X轴的交点坐标轴的交点坐标与与Y轴的交点坐标及它轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点关于对称轴的对称点（ ， ）(x1,0) (x2,0)(0, c) ( , c) （ ， ）x1x2Oxyc( , c) 二、平移，配方二、平移，配方向左向左(向右向右)平移平移|m|m|个单位个单位向上向上(向下向下)平移平移|k|k|个单位个单位通过通过配方配方1、将函数、将函数y=x2-4x+5转化成转化成y=a(x+m)2+k的形式的形式2、将函数、将函数y=-2x2-4x+5转化成转化
3、成y=a(x+m)2+k的形式的形式 1.由由y=2x2的图象向左平移两个单位的图象向左平移两个单位,再向下平再向下平 移三个单位移三个单位,得到的图象的函数解析式为得到的图象的函数解析式为 _2.由函数由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移的图象向右平移4个单位个单位,再向上平移再向上平移3个单位个单位,得到的图象的函数解析式得到的图象的函数解析式为为_y=2(x+2)2-3=2x2+8x+5y= - 3(x-1-4)2+2+3=-3x=-3x2 2+30x-70+30x-703.抛物线抛物线y=ax2向左平移一个单位向左平移一个单位,再向下再向下平移平移8个单位且个单位且y=ax2
4、过点过点(1,2).则平移后则平移后的解析式为的解析式为_;y=2(x+1)2-84.将抛物线将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到如何移动才能得到y=x2.逆向思考逆向思考,由由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知知:先向左平移先向左平移3个单位个单位,再向上平移再向上平移5个单位个单位.三、开口方向、对称轴、顶点坐标三、开口方向、对称轴、顶点坐标1.开口方向看开口方向看a的值的值2.求对称轴求对称轴直线直线x=-m 直线直线x=3.求顶点坐标求顶点坐标（-m，k）（ ， ）1、y=x22、y=(x-1)23、y=(x-1)2+34、y=-2(x+1)2-35、y=2x2+36、y=
5、3x2-6x-51、求下列函数的顶点坐标、求下列函数的顶点坐标7、y=-2x2-4x+52、 已知二次函数已知二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标（的顶点坐标（1，-2），求），求b，c的值的值3、 已知二次函数已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在的顶点坐标在x轴轴上，求上，求c的值的值4、 已知二次函数已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在直的顶点坐标在直线线y=2x+1上，求上，求c的值的值求下列函数的最大值（或最小值）和对应的求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值：自变量的值： y=2xy=2x2 28x8x1 1； y=y=3x3x2 25x5x1 1四、如何求二次
6、函数的最值四、如何求二次函数的最值当当x=-m时时y最小（大）最小（大）=k3、y=-2(x+1)2-34、y=2x2+32、 已知二次函数已知二次函数y=x2+4x+c有最小值为有最小值为2，求，求c的值的值3、 已知二次函数已知二次函数y=-2x2+bx+c，当，当x=-2时函时函数有最大值为数有最大值为2，求，求b、c的值的值五、函数的增减性五、函数的增减性当当a0,1、在对称轴的左侧、在对称轴的左侧(x-m或或 ),y随随x的增大而减的增大而减小小2、在对称轴的右侧、在对称轴的右侧(x-m或或 ),y随随x的增大而减的增大而减大大ab2-2、已知抛物线顶点坐标（、已知抛物线顶点坐标（m
7、, k），），通常设通常设抛物线解析式为抛物线解析式为_3、已知抛物线与、已知抛物线与x 轴的两个交点轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为通常设解析式为_1、已知抛物线上的三点、已知抛物线上的三点，通常设解析式为通常设解析式为_y=ax2+bx+c(a0)y=a(x-m)2+k(a0)y=a(x-x1)(x-x2) (a0)六、求抛物线解析式常用的三种方法六、求抛物线解析式常用的三种方法一般式一般式顶点式顶点式交点式或两根式交点式或两根式1.1.已知一个二次函数的图象经过点已知一个二次函数的图象经过点（0 0，0 0），（），（1 1，33），（），（2 2，88）。）。求
8、下列条件下的二次函数的解析式求下列条件下的二次函数的解析式:3.3.已知二次函数的图象的对称轴是直线已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3,x=3,并且经过点并且经过点(6,0),(6,0),和和(2,12)(2,12)2.2.已知二次函数的图象的顶点坐标为已知二次函数的图象的顶点坐标为（2 2，3 3），且图象过点（），且图象过点（3 3，2 2）。）。七、判别七、判别a、b、c、b2-4ac，2a+b，a+b+c的符号的符号（1）a的符号：的符号：由抛物线的开口方向确定由抛物线的开口方向确定开口向上开口向上a0开口向下开口向下a0交点在交点在x轴下方轴下方c0与与x轴有一个交点轴有一个交点
9、b2-4ac=0与与x轴无交点轴无交点b2-4ac0,y=0,y00x1x2xy当当x=x1或或x=x2时时,y=0当当xx2时时,y0当当x1x0xyx1x2Oxyx1x2当当x=x1或或x=x2时时,y=0当当xx2时时,y0当当x1xx2时时,y0,y=0,y0,y=0,y 0-4ac 0有一个交点有一个交点有两个相等的实数根有两个相等的实数根b b2 2-4ac = 0-4ac = 0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b b2 2-4ac 0-4ac 0利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 1、根据下列表格的对应值：、根据下列表格的对应值：
10、判断方程判断方程ax2+bx+c=0（a0,a、b、c为常数）一个为常数）一个解的范围是（）解的范围是（） 、3x3.23 、3.23x3.24 、3.24x3.25 、3.25x3.26x x3.23 3.23 3.243.243.253.253.263.26y=ay=ax2+bx+c+bx+c-0.06-0.06-0.02-0.020.030.030.090.09例例1.已知一抛物线的顶点坐标为已知一抛物线的顶点坐标为(-1,2),且过点且过点(1,-2),求该抛物线的解析式求该抛物线的解析式.例例2.已知抛物线已知抛物线(1)将函数化为将函数化为 的形式的形式.(2)说出该函数图象可由抛
11、物线说出该函数图象可由抛物线 如何平移得到如何平移得到?(3)说出该函数的对称轴说出该函数的对称轴,顶点坐标顶点坐标,最值情况最值情况.例例2.已知二次函数已知二次函数 (1)当当k为何值时，函数图象经过原点？为何值时，函数图象经过原点？(2)当当k在什么范围取值时，图象的顶点在第四象限？在什么范围取值时，图象的顶点在第四象限？例例3 3、已知抛物线、已知抛物线y=xy=x2 2-2x-8-2x-8，（1 1）求证：该抛物线与）求证：该抛物线与x x轴一定有两个交点；轴一定有两个交点；（2 2）若该抛物线与）若该抛物线与x x轴的两个交点分别为轴的两个交点分别为A A、B B，且它的顶点为且它
12、的顶点为P P，求，求ABPABP的面积。的面积。1、已知二次函数、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。的图象如图。(1)、当、当x为何值时，为何值时，y随随x的增大而增大的增大而增大;(2)、当、当x为何值时，为何值时，yb 0），），今在四边上分别选取今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？园，如何设计，可使花园面积最大？DCABGHFEab b2 2、如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为2424米的篱笆，围成中间隔有米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽二
13、道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽ABAB为为x x米，面积为米，面积为S S平方米。平方米。(1)(1)求求S S与与x x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)(2)当当x x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8 8米，则求围成花圃的最大面积。米，则求围成花圃的最大面积。 ABCD解：解： (1) (1) AB AB为为x x米、篱笆长为米、篱笆长为2424米米 花圃宽为（花圃宽为（24244x4x）米米 (3) 墙的可用长度为墙的可用长度为8米米(2)当当
14、x 时，时，S最大值最大值 36（平方米）（平方米） S Sx x（24244x4x） 4x4x2 224 x 24 x （0x60x6） 0244x 8 4x6当当x4m时，时，S最大值最大值32 平方米平方米3 3、某企业投资、某企业投资100100万元引进一条产品加工生产线，若万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利3333万。万。该生产线投产后，从第该生产线投产后，从第1 1年到第年到第x x年的维修、保养费用年的维修、保养费用累计为累计为y(y(万元万元) )，且，且y=axy=ax2 2+bx,+bx,若第若第1
15、 1年的维修、保养年的维修、保养 费用为费用为2 2万元，到第万元，到第2 2年为年为6 6万元。万元。（1 1）求）求y y的解析式；的解析式；（2 2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？解解:（1）由）由题意，意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6,分分别代入代入y=ax2+bx,得得a+b=2,4a+2b=6,解得解得:a=1,b=1, y=x2+x.（2）设g33x-100-x2-x,则g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156.由于当由于当1x16时，g随随x的增大而增大，故当的增大而增大，故当x=4时，即第，即第4年可年
16、可收回投收回投资。问题问题问题问题4 4：某商场将进价某商场将进价某商场将进价某商场将进价4040元一个的某种商品按元一个的某种商品按元一个的某种商品按元一个的某种商品按5050元一个元一个元一个元一个售出时，能卖出售出时，能卖出售出时，能卖出售出时，能卖出500500个，已知这种商品每个涨价一元，个，已知这种商品每个涨价一元，个，已知这种商品每个涨价一元，个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少销量减少销量减少销量减少1010个，为赚得最大利润，售价定为多少？最个，为赚得最大利润，售价定为多少？最个，为赚得最大利润，售价定为多少？最个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？大利润是多少
17、？大利润是多少？大利润是多少？分析分析分析分析：利润：利润= =（每件商品所获利润）（每件商品所获利润） （销售件数）（销售件数）设每个涨价设每个涨价x x元，元， 那么那么（3）销售量可以表示为）销售量可以表示为（1）销售价可以表示为）销售价可以表示为（50+x）元元（x 0x 0，且且为整数）为整数）(500-10x)(500-10x) 个（2）一个商品所获利）一个商品所获利润润润润可以表示为可以表示为（50+x-40）元元（4）共获利）共获利润润润润可以表示为可以表示为(50+x-40)(500-10x)(50+x-40)(500-10x)元元元元温馨提示：同桌交对，温馨提示：同桌交对，
18、互相帮助！互相帮助！知识拓展知识拓展： 心理学家研究发现：一般情心理学家研究发现：一般情况下，学生的注意力随着教师讲况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力时，学生的注意力y随时间随时间t的变的变化规律有如下关系式：化规律有如下关系式：（1）讲课开始后第）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第分钟时与讲课开始后第25分钟时比分钟时比较，何时学生的注意力更集中？较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？续多少分钟？（3）一道数学难题，需要讲解）一道
19、数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 已知二次函数已知二次函数 y=0.5x+bx+c 的图象经过点的图象经过点A(c，-2)， 求证：这个二次函数图象的对称轴是直线求证：这个二次函数图象的对称轴是直线 x3。 题目中的黑色部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。题目中的黑色部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数的图象。数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数的图象。若不能，请说明理由。若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的黑色部分添加一个适当）请你根据已有的信息，在原题中的黑色部分添加一个适当的条件，把原题补充完整。的条件，把原题补充完整。国家基础教育课程改革青海省潢中县实验区国家基础教育课程改革青海省潢中县实验区2004年升中试题年升中试题
