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1、立体几何的向量方法立体几何的向量方法1理解直线的方向向量与平面的法向量理解直线的方向向量与平面的法向量2能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系平面与平面的垂直、平行关系3能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理一些定理(包括三垂线定理包括三垂线定理)4能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用在研究立体几何问题中的应用2在空间中，给定一个
2、点在空间中，给定一个点A和一个向量和一个向量a，那么以向量，那么以向量a为为法向量且经过点法向量且经过点A的平面是的平面是理理要要点点 一、平面的法向量一、平面的法向量1所谓平面的法向量，就是指所在的直线与所谓平面的法向量，就是指所在的直线与的的向量，显然一个平面的法向量有向量，显然一个平面的法向量有多个，它们是多个，它们是向量向量平面垂直平面垂直无数无数共线共线唯一的唯一的二、利用向量求空间角二、利用向量求空间角1两条异面直线所成角的求法两条异面直线所成角的求法设两条异面直线设两条异面直线a，b的方向向量为的方向向量为a，b，其夹角为，其夹角为，则，则cos|cos|(其中其中为异面直线为异
3、面直线a，b所成的角所成的角)2直线和平面所成的角的求法直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线如图所示，设直线l的方向向量为的方向向量为e，平面，平面的法向量为的法向量为n，直线，直线l与平面与平面所成的角为所成的角为，两向量，两向量e与与n的夹角为的夹角为，则有则有sin|cos|.3求二面角的大小求二面角的大小(1)如图如图，AB、CD是二面角是二面角l的两个面内与棱的两个面内与棱l垂垂直的直线，则二面角的大小直的直线，则二面角的大小(2)如图如图，n1，n2分别是二面角分别是二面角l的两个半平的两个半平面面，的法向量，则二面角的小大的法向量，则二面角的小大n1，n2(或或n1，n2)究
4、究疑疑点点如何求一平面的法向量？如何求一平面的法向量？提示：提示：(1)设出平面的法向量为设出平面的法向量为n(x，y，z)；题组自测题组自测1已知向量已知向量a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是()Aac，bcBab，acCac，abD以上都不对以上都不对解析：解析：c(4，6,2)2(2，3,1)，ac.又又ab22(3)0140，ab.答案：答案：C2.如图所示，正方体如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，中， E，F分别是分别是BB1，CD的中点，的中点，M为为AE 上一点上一点(1)求证平面求证平面AED平面平面A1FD1
5、；(2)当当AM与与AE有怎样的数量关系时，有怎样的数量关系时，A1M平面平面DAE?3.如图，已知直三棱柱如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，中，ABC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，BAC90，且，且ABAA1，D、E、F分别为分别为 B1A、C1C、BC的中点求证：的中点求证：(1)DE平面平面ABC；(2)B1F平面平面AEF.证明：证明：如图以如图以A为原点，为原点，AB、AC、AA1为为x、y、z轴建立空间直角坐轴建立空间直角坐标系标系Axyz，令令ABAA14，则则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)(1)取取AB中点
6、为中点为N，则则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，归纳领悟归纳领悟利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直1设直线设直线l1的方向向量为的方向向量为v1(a1，b1，c1)，直线，直线l2的方向的方向向量为向量为v2(a2，b2，c2)，则，则l1l2v1v2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)；l1l2v1v2a1a2b1b2c1c20.2设直线设直线l的方向向量为的方向向量为v(a1，b1，c1)，平面，平面的法向量的法向
7、量为为n(a2，b2，c2)，则，则lvna1a2b1b2c1c20；lvn(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)3设平面设平面的法向量为的法向量为n1(a1，b1，c1)，平面，平面的法向量的法向量为为n2(a2，b2，c2)，则，则n1n2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)；n1n2a1a2b1b2c1c20.题组自测题组自测1长方体长方体ABCDA1B1C1D1中，中，ABAA12，AD1，E为为CC1的中点，则异面直线的中点，则异面直线BC1与与AE所成角的余弦值为所成角的余弦值为_2.如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，中，已知已知BC1
8、，BB12，AB平面平面 BB1C1C.(1)求直线求直线C1B与底面与底面ABC所成角的正切值；所成角的正切值；(2)在棱在棱CC1(不包括端点不包括端点C、C1)上确定一点上确定一点E的位置，使的位置，使 EAEB1(要求说明理由要求说明理由)归纳领悟归纳领悟1求异面直线所成角时注意的问题求异面直线所成角时注意的问题利用向量的夹角来求异面直线的夹角时，注意区别：利用向量的夹角来求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的向量的夹角为锐角或直角时，就是该异当异面直线的向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线所成的角；当异面直线的向量的夹角为钝角时，面直线所成的角；当异面直线的向量的夹角为钝角时
9、，其补角才是异面直线所成的角其补角才是异面直线所成的角2利用向量法求线面角的方法利用向量法求线面角的方法一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角或其补角)；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角和平面所成的角题组自测题组自测1已知两平面的法向量分别为已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1
10、,1)，则两平面所成的二面角为则两平面所成的二面角为()A45B135C45或或135D90答案：答案：C答案：答案：B在本题条件下试求平面在本题条件下试求平面BEF与平面与平面BED夹角的大小夹角的大小归纳领悟归纳领悟1利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别在利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两
11、个半平面的法向量分别为二面角的两个半平面的法向量分别为n1和和n2，则二面角，则二面角的大小等于的大小等于n1，n2(或或n1，n2)2利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角是锐角还是钝角一、把脉考情一、把脉考情从近两年高考试题来看，利用空间向量证明平行或垂从近两年高考试题来看，利用空间向量证明平行或垂直、求空间角是高考的热点内容，题型主要以解答题为主，直、求空间角是高考的热点内容，题型主要以解答题为主，难度中档偏上难度中档偏上此类问题主要考查空间坐标系的建立及空间向量坐标此类问题主要考查空间坐标系的建立及空间向量坐标的运算能
12、力及应用能力，运算能力要求较高预测的运算能力及应用能力，运算能力要求较高预测2012年年仍会考查此热点问题，注意强化复习训练仍会考查此热点问题，注意强化复习训练二、考题诊断二、考题诊断1(2010湖南高考湖南高考)如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中， E是棱是棱DD1的中点的中点(1)求直线求直线BE和平面和平面ABB1A1所成的角的正弦值；所成的角的正弦值；(2)在棱在棱C1D1上是否存在一点上是否存在一点F，使，使B1F平面平面A1BE？证明？证明你的结论你的结论2(2010天津高考天津高考)如图，在长方体如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别是棱分别是棱BC，CC1上的点，上的点，CFAB2CE，AB AD AA11 2 4.(1)求异面直线求异面直线EF与与A1D所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)证明证明AF平面平面A1ED；(3)求二面角求二面角A1EDF的正弦值的正弦值点点击击此此图图片片进进入入“课课时时限限时时检检测测”
