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1、第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 第二节第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件 课课前学案前学案 基基础诊础诊断断 课课堂学案堂学案 考点通关考点通关 高考模高考模拟拟 备备考套餐考套餐 1.理解命题的概念。 考 纲 2.了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，导 学 会分析四种命题的相互关系。 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义。 课前学案课前学案 基础诊断基础诊断 夯基固本夯基固本 基础自测基础自测 1命题的概念 判断真假 的陈述句叫做命题。1_在数学中用语言、符号或式子表达的，可以2_3_判断为真 的语句叫
2、真命题，判断为假 的语句叫假命题。 其中 2四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 若 q，则 p 若綈 p, 则綈 q 若綈 q, 则綈 p (2)四种命题的真假关系 7相同两个命题互为逆否命题，它们有_ 的真假性； 无关 8_两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性。 3充分条件与必要条件 充分条件 ，q 是 p 的9_10_必要条件 。 (1)如果 p? q，那么 p是 q 的充要条件 。 11_(2)如果 p? q，q? p，那么 p是 q的 1个区别“A是 B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是 B”的区别 “A 是 B 的充分不必要条件”中，A 是条件，B 是结论；
3、“A的充分不必要条件是 B”中，B 是条件，A是结论。在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别。 2 条规律四种命题间关系的两条规律 (1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假。 (2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假。同时要关注“特例法”的应用。 3 种方法判断充分条件和必要条件的方法 (1)定义法；(2)集合法；(3)等价转化法。 1下列命题是真命题的为( ) 11A若xy，则 xy B若 x21，则 x1 C若 xy，则 x y D若 xy，则 x2y2 11解析：由 得 xy，A 正确，易知 B、C、D 错误， xy故选 A
4、。 答案：A 2命题“若 4，则 tan1”的逆否命题是( ) A若 4，则 tan1 B若 4，则 tan1 C若 tan1，则 4 D若 tan1，则 4 解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若4，则 tan1”的逆否命题是“若 tan1，则 4”，故选 C。 答案：C 3设集合 A，B，则“A? B”是“ABA”成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：由 A? B，得 ABA；反过来，由 ABA，且(AB)? B，得 A? B，因此，“A? B”是“ABA”成立的充要条件，故选 C。 答案：C 4已知集合
5、 A1，a，B1,2,3，则“a3”是“A? B”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析：当 a3 时 A1,3显然是 B的子集，但 A? B 时，a3或者 a2，故为充分不必要条件。 答案：A 5给定两个命题 p，q，若綈 p是 q的必要而不充分条件， 则 p是綈 q的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：由 q? 綈 p 且綈 pA? / q 可得 p? 綈 q 且綈 qA? / p，所以 p 是綈 q 的充分不必要条件。 答案：A 课堂学案课堂学案 考点通关考点通关 考点例析考点例析
6、通关特训通关特训 考点一 四种命题间的关系 【例 1】 (1)命题“若 x1，则 x0”的否命题是( ) A若 x1，则 x0 B若 x1，则 x0 C若 x1，则 x0 D若 x1，则 x0 (2)命题“若 x，y都是偶数，则 xy 也是偶数”的逆否命题是( ) A若 xy 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 B若 xy是偶数，则 x与 y 都不是偶数 C若 xy不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 D若 xy 不是偶数，则 x 与 y都不是偶数 解析：(1)因为“x1”的否定为“x1”，“x0”的否定为“x0”，所以命题“若 x1，则 x0”的否命题为：“若 x1，则 x0”。 (2)由于
7、“x，y 都是偶数”的否定表达是“x，y 不都是偶数”，“xy 是偶数”的否定表达是“xy 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若 xy 不是偶数，则 x与 y不都是偶数”。 答案：(1)C (2)C ?名师点拨 判断四种命题间关系的方法 (1)由原命题写出其他三种命题， 关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题。 (2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用。 通关特训 1 对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是( ) A逆命题为“周期函数不是单调函数” B否命
8、题“单调函数是周期函数” C逆否命题“周期函数是单调函数” D以上三者都不正确 解析：将原命题改写成“若 p 则 q”的形式为“若一个函数是单调函数，则这个函数不是周期函数”。其逆命题为“若一个函数不是周期函数，则这个函数是单调函数”，故 A 错；否命题为“若一个函数不是单调函数，则这个函数是周期函数”，故B 错；逆否命题为“若一个函数是周期函数，则这个函数不是单调函数”，故 C错，故选 D。 答案：D 考点二 m1”，则下列结论正确的是( ) 命题的真假判断 【例 2】 (1)已知命题“若函数 f(x)exmx 在(0，)上是增函数，则A否命题“若函数 f(x)exmx在(0，)上是减函数，
9、则 m1”是真命题 B逆命题“若 m1，则函数 f(x)exmx在(0，)上是增函数”是假命题 C逆否命题“若 m1，则函数 f(x)exmx在(0，)上是减函数”是真命题 D逆否命题“若 m1，则函数 f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题 (2)下列命题中为真命题的是( ) A命题“若 xy，则 x|y|”的逆命题 B命题“若 x1，则 x21”的否命题 C命题“若 x1，则 x2x20”的否命题 D命题“若 x20，则 x1”的逆否命题 解析：(1)命题“若函数 f(x)exmx在(0，)上是增函数，则 m1”是真命题，所以其逆否命题“若 m1，则函数 f(x)exmx 在(0
10、，)上不是增函数”是真命题。 (2)A 中逆命题为“若 x|y|，则 xy”是真命题； B 中否命题为“若 x1，则 x21”是假命题； C 中否命题为“若 x1，则 x2x20”是假命题； D 中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题。 答案：(1)D (2)A ?名师点拨 命题的真假判断方法 (1)给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可。 (2)由于原命题与其逆否命题为等价命题， 有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假。 通关特训 2 下列命题： “全等三角形的面积相等”的逆命题； “若 ab0，则 a0”的否命题； “正三角形的三
11、个角均为 60”的逆否命题； “若 x3，则 x2x60”的否命题； “若 a2b20，a，bR，则 ab0”的逆否命题。 其中真命题的序号是_( 把所有真命题的序号填在横线上)。 解析：“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；“若 ab0，则a0”的否命题为“若 ab0，则a0”，而由 ab0 可得 a，b都不为零，故 a0，所以该命题是真命题；由于原命题“正三角形的三个角均为 60”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题；易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假；逆否命题为“a，bR，若 a0 或 b0，则a2b20”为真命题。 答案： 考点三 充分
12、条件、必要条件的判断 【例 3】 (1)2014 湖北设 U 为全集，A，B是集合，则“存在集合 C 使得 A? C，B?UC”是“AB?”的( ) A充分不必要的条件 B必要不充分的条件 C充要条件 D既不充分也不必要的条件 (2)设 a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：(1)“存在集合 C 使得 A? C，B?UC”? “AB?”。选 C。 (2)构造函数 f(x)x|x|， 则 f(x)在定义域 R 上为奇函数。 ?x2，x0，因为 f(x)?2 ?x ，xb? f(a)f(b)? a|a|b|
13、b|。选 C。 答案：(1)C (2)C ?名师点拨 充要条件问题的常见类型及解题策略 (1)判断指定条件与结论之间的关系。 解决此类问题应分三步： 确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推结论，从结论推条件；确定条件和结论是什么关系。 (2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件。解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性。 (3)充要条件与命题真假性的交汇问题。依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可。 通关特训 3 (1)“x0”是“ln(x1)0”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 (
14、2)“”是“曲线 ysin(2x)过坐标原点的”( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 ab(3)设 a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是( ) |a|b|Aab Ca2b Bab Dab且|a|b| 解析：(1)ln(x1)0? 0x11? 1x0，而(1,0)是(，0)的真子集，所以“x0”是“ln(x1)0”的必要不充分条件。 (2)当 时，ysin(2x)sin(2x)sin2x，过原点，当2也满足题意，故答案为充分不必要条件。 abab(3)，分别是与 a，b同方向的单位向量，由，得 a 与 b的方向相同。|a|b|a|b
15、|而 ab时，a 与 b的方向还可能相反。故选 C。 答案：(1)B (2)A (3)C 考点四 充分条件、必要条件的应用 1【例 4】 (1)已知 p：1，q：x2(a1)xa0，若 p 是 q 的充分不必x1要条件，则实数 a的取值范围是( ) A(2，1 C3,1 B2，1 D2，) 4(2)已知条件 p：1，条件 q：x2xa2a，且綈 q的一个充分不必要x1条件是綈 p，则 a的取值范围是_ 。 x211解析：(1)不等式1等价于10，即0，解得 x2 或 x1，所以 px1x1x1为(，1)(2，)。不等式 x2(a1)xa0 可以化为(x1)(xa)0，当a1时，解得 x1 或
16、xa，即 q 为(，a)(1，)，此时 a1；当a1 时，不等式(x1)(xa)0 的解集是(，1)(a，)，此时a2，即2a1。综上可知 a的取值范围为(2，1。 4(2)由1，得3x1. x1由 x2xa2a，得(xa)x(a1)0， 1当 a1a，即 a 时，不等式的解为 1axa； 21当 a1a，即 a2时，不等式的解为 ?； 1当 a1a，即 a2时，不等式的解为 ax1a。 由綈 q的一个充分不必要条件是綈 p，可知綈 p是綈 q 的充分不必要条件，即 p 为 q的一个必要不充分条件， 即条件 q对应的 x取值集合是条件 p对应的 x取值集合的真子集。 ?31a，11当 a2时，
17、由x|1axax|3x1，得?解得2a1； ?1a， 1当 a 时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件； 2?3a，11当 a 时，由x|ax1ax|3x1，得?解得 0a 。 22?11a， 综上，a 的取值范围是0,1。 答案：(1)A (2)0,1 ?名师点拨 集合法与等价转化法的应用 (1)利用集合间的关系判断充要条件的方法 记法 关系 结论 条件 p、q 对应的集合分别为 A、B A? B B? A A B B A AB Ap是 q的充要条件 B且 BA p是q的 p是 q件 条件 p是 q的p是 q的要条件 分条件 p 是 q的既不充分也不必要条件 充分条的必要充分不
18、必 必要不充(2)条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假。 p、q 之间的关系 p是 q的充分不必要条件 p是 q的必要不充分条件 p 是 q的充要条件 綈 p 和綈 q之间的关系 綈 p 是綈 q的必要不充分条件 綈 p 是綈 q的充分不必要条件 綈 p 是綈 q的充要条件 p 是 q的既不充分也不必要条件 綈 p是綈 q的既不充分也不必要条件 通关特训 4 已知 p： 2x11，q：(xa)(xa1)0。若p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是( ) ?1?1?A.?0，2? B.?0，2? ?1?1?C(，0)?2，? D(，0)?2，? ? 1解析： 令Ax| 2x11， 得Ax| x1， 令Bx|(xa)(xa1)0，21?a2，1得Bx|axa1， 若p是q的充分不必要条件，则A B， 需? 0a2，?a11故选A。 答案：A
