《同济大学微积分第三版第七节课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学微积分第三版第七节课件（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节第七节 定积分的换元法定积分的换元法与分部积分法与分部积分法本节要点本节要点牛顿公式建立了不定积分与定积分之间的关系牛顿公式建立了不定积分与定积分之间的关系, ,本节本节一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法在此基础上建立了定积分的计算方法在此基础上建立了定积分的计算方法: :换元积分法和分换元积分法和分部积分法部积分法. .定理定理 设函数设函数 如果函数如果函数 满足满足: :从从 单调增加地变到单调增加地变到 ;则则公式公式称为称为定积分的换元公式定积分的换元公式. .且当且当 从从 变到变到 时时, ,对应的对应的证证 由条件由条
2、件,式中等式两边的定积分存在式中等式两边的定积分存在, ,且原函数且原函数另外另外,对对 与与 的复合函数的复合函数 求导求导, ,即即 是是 的一个原函数的一个原函数. .所以所以也存在也存在.设设 是是 的一个原函数的一个原函数, ,则则由复合函数求导法则由复合函数求导法则, ,得得故原式成立故原式成立. .当当 时时, ,公式仍然成立公式仍然成立. .注注 在定积分的换元公式中在定积分的换元公式中,要注意当用要注意当用 把把原来的变量换为新变量时原来的变量换为新变量时, ,积分限也要换为相应于新变积分限也要换为相应于新变量所对应的积分限量所对应的积分限. .例例11求积分求积分解解 令令
3、 则则 则则在该例中可以看到在该例中可以看到, ,在定积分的换元积分法中在定积分的换元积分法中, ,用变用变量代换大大简化了积分的计算量代换大大简化了积分的计算. .例例22求积分求积分解解 令令 则则 例例33求积分求积分解解 令令 故故: :例例44求积分求积分解解 令令 则则 例例55设设由此得到由此得到,若若 为偶函数为偶函数, ,则则若若 为奇函数为奇函数, ,则则则则证证 因因又又 故故: :当当 为偶函数为偶函数,即即 则则积分与变量名称无关积分与变量名称无关若若 为奇函数为奇函数, ,则则上述表达式在几何上的意义上述表达式在几何上的意义. .例例66求求解解 奇函数积分奇函数积
4、分例例77设设 证明证明: :证证 设设 则则 设设所以所以: :利用上述结论计算积分利用上述结论计算积分及及故故因因即即例例88设函数设函数求求解解 令令 则则 所以所以例例99设设 证明：证明：证证所以所以例例1010设设 是以是以 为周期的连续函数为周期的连续函数, ,证明证明: :与与 无关无关. .证证 因因又又故原式成立故原式成立. .是一个周期为是一个周期为 的周期函数的周期函数, ,由例由例1010得得, ,积分在每一个积分在每一个例例1111求求解解 因因长度为长度为 上的区间上的积分都相等上的区间上的积分都相等, ,故故平行于不定积分的分部积分法平行于不定积分的分部积分法: :有定积分的分部积分法有定积分的分部积分法. .设设 在区间在区间 上有连续导数上有连续导数, ,则则两边积分两边积分, ,得得移项后即得定积分的移项后即得定积分的分部积分公式分部积分公式: :并注意到并注意到: :例例1212求求解解 例例1313求求解解 例例1414设设解解 因因 故故求求例例1515证明定积分公式证明定积分公式证证 即即: :所以所以: :注意到注意到故当故当 为偶数时为偶数时, ,有有而当而当 为奇数时为奇数时, ,有有例如例如,时时, ,而当而当 时时, ,有有
