概率统计电子教案

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1、概率统计四川警察学院四川警察学院内容与学时内容与学时第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第五章第五章 数理统计的基本知识数理统计的基本知识第六章第六章 参数估计参数估计(19学学时时)数数理理统统计计(29学学时时)概概 率率 论论第七章第七章 假设检验假设检验 概率论被称为概率论被称为“赌博起家赌博起家”的理论的理论 最早产生与17世纪，是一门比较古老的数学学科，有趣的是，尽管任何一门数学分支的产生和发展不外乎是生产、和科学或数学自身

2、发展推动的，然而概率论的产生，却起始于对赌博的研究，“分赌金问题”如何分比较合理？赌徒求教于帕斯卡，帕斯卡与费尔马共同解决这个问题，从而建立了概率论的第一个基本概念数学期望。 概率论与数理统计的发展简史概率论与数理统计的发展简史1657年惠更斯也给出了一个与他们类似的解法。 在他们之后，对于研究这种随机（或称偶然）现象规律的概率论做出了贡献的是伯努利家族的几位成员，雅各布伯努利雅各布伯努利给出了赌徒输光问题的详尽解法，并证明了被称为“大数定律大数定律”的一个定理（伯努利定理）这是研究偶然事件的古典概率论中极其这是研究偶然事件的古典概率论中极其重要的结果重要的结果，它表明在大量观察中，事件的频率

3、与它表明在大量观察中，事件的频率与概率是极其接近的概率是极其接近的，历史上第一个发表有关概率论论文的人是伯努利，他于1713年发表了一篇关于极限定理的论文。 概率论产生后的很长一段时间内都是将古典概型古典概型作为概率来研究的，直到1812年拉普拉斯年拉普拉斯在他的著作分析概率论分析概率论中给出概率明确的定义，并且还建立了观察误差理论观察误差理论和最小二乘法估计法最小二乘法估计法，从这时开始对概率的研究，实现了从古典概率论向近代概率实现了从古典概率论向近代概率论的转变。论的转变。 概率论在二十世纪再度迅速发展起来，则是由于科学技术发展迫切地需要研究有关一个或多个一个或多个连续变化连续变化着的参变

4、量的随机变数理论即随机过程着的参变量的随机变数理论即随机过程论论，1906年俄国数学家马尔可夫（1856-1922）提出了所谓所谓“马尔可夫链马尔可夫链”的数学模型对发展这一理论做出贡献的还有柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫（俄国）、费费勒（美国）勒（美国）；1934年俄国数学家辛钦辛钦又提出了一种在时间中均匀进行着的平稳过程的理论。随机过程理论在科学技术有着重要的应用，开始建立了马尔可夫过程马尔可夫过程与随机微分方程之间随机微分方程之间的联系。 1960年，卡尔门（1930英国）建立了数字滤波论，进一步发展了随机过程在制导系统中的应用。概率论的公理化体系是概率论的公理化体系是柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫

5、1933年在集合论与测度论的年在集合论与测度论的基础上建立起来的，从而使概率论有了严基础上建立起来的，从而使概率论有了严格的理论基础。格的理论基础。我国概率论发展简介 我国的概率论研究起步较晚，从1957年开始，先驱者是许宝马录许宝马录先生。1957年暑期许老师在北大举办了一个概率统计的讲习班，从此，我国对概率统计的研究有了较大的发展，现在概率与数理统计是数学系各专业的必修课之一，也是工科，经济类学科学生的公共课，许多高校都成立了统计学（特别是财经类高校）。近年来，我国科学家对概率统计也取得了较大的成果。第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率n1 1 随随 机机 事事 件件一、随机现象一、

6、随机现象1.1.必然现象与随机现象必然现象与随机现象必然现象必然现象：在一定条件下，必然出现某种结果的：在一定条件下，必然出现某种结果的 现象。现象。随机现象随机现象：在一定条件下，可能出现某种结果，：在一定条件下，可能出现某种结果， 也可能不出现那种结果的现象。也可能不出现那种结果的现象。 随机现象的结果事先不能预知，初看似乎毫无规律的，然而在大量重复实验中其结果又具有统计规律性。 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科。 对随机现象的统计规律进行研究，就需要对对随机现象的统计规律进行研究，就需要对随随机现象进行重复观察机现象进行重复观察，我们对随机现象的观察就，我们对随机

7、现象的观察就称为称为随机试验随机试验。满足以下三个特点：满足以下三个特点： (1) (1) 在相同条件下可在相同条件下可重复重复进行进行; ; (2) (2) 试验前就能确定试验的试验前就能确定试验的所有所有可能结果可能结果, , 且结果且结果不止一个不止一个； (3) (3) 试验前试验前不能确定不能确定到底会出现哪一种结到底会出现哪一种结果。果。 二、随机试验二、随机试验三、样本空间三、样本空间 定义：定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样样 本空间，本空间，记为S，样本空间的元素，即E每个结 果为基本事件基本事件或样本点。样本点。S=0,1,2,；S=正面，反面；S=(x,y)|

8、T0yxT1；S= x|axb 记录一城市一日中发生交通事故次数 例：一枚硬币抛一次记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y 记录一批产品的寿命x四 随机事件随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件随机事件，简称为事件。当且仅当A所包含的一个样本点出现时，称事件A发生。S0,1,2,；记 A至少有10人候车10,11,12, S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。例：观察89路公交车浙大站候车人数，基本事件的全体全体组成的样本空间；随机事件由若干个基本事件构成基本事件构成,它是样本空间的子集样本空间S包含所有的样本点，则每次试验S总是发生，故又称S为必然事件必然事件。为方便起见，记为不可

9、能事件不可能事件，不包含任何样本点。必然事件必然事件与不可能事件不可能事件都是确定性事件。 注：S0,1,2,；例：观察89路公交车浙大站候车人数， S0,1,2,；例：观察89路公交车浙大站候车人数， S0,1,2,；例：观察89路公交车浙大站候车人数， S0,1,2,；例：观察89路公交车浙大站候车人数，记 A至少有10人候车10,11,12, S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。S0,1,2,；例：观察89路公交车浙大站候车人数， S0,1,2,；例：观察89路公交车浙大站候车人数，例：观察89路公交车浙大站候车人数，SBA如右图：如右图：ABA+B如图所示如图所示:AB如图所示

10、：如图所示：AB也可说成也可说成A与与B都发生。都发生。A-BBA-BABAB=A也称为对偶律也称为对偶律例：设A A= 甲来听课 ，B B= 乙来听课 ，则：甲、乙至少有一人来甲、乙都来甲、乙都不来甲、乙至少有一人不来n2 2 随机事件的概率随机事件的概率一、频率及其性质一、频率及其性质例如：例如：2. 概率：概率：频率的稳定值，记为频率的稳定值，记为p。(probability) 事件事件A发生的概率记为发生的概率记为p(A)=p频 率 稳 定 值 概率 事件发生事件发生的频繁程度的频繁程度事件发生事件发生的可能性的大小的可能性的大小频率的性质概率的公理化定义返回主目录二、概率的公理化定义

11、二、概率的公理化定义概率的定义定义定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 称为事件 A 的概率，要求 满足下列条件： 三、概率的性质三、概率的性质SABSABSA重 要 推 广SBA 生活中有这样一类试验，它们的共同特点是： 样本空间的元素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同。 一 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型） 比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。 我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概 率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。等可能概型&3.古典概型与几何概型古典概型与几何概型 例例 3 将一枚硬币

12、抛掷三次。设： 事件 A1为“恰有一次出现正面”， 事件 A2为“至少有一次出现正面”， 求 P (A1 ), P (A2 )。 解：解：根据上一节的记号，E2 的样本空间 S=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT, n = 8，即 S中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。 A1为“恰有一次出现正面”， A1=HTT, THT, TTH, 等可能概型 事件 A2为“至少有一次出现正面”，A2=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH 等可能概型 例例 4 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、

13、2 只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式： 放回抽样放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中， 搅匀后再取一球。 不放回抽样不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球 中再取一球。分别就上面两种方式求： 1）取到的两只都是白球的概率； 2）取到的两只球颜色相同的概率； 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。 等可能概型 解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。 设 A= “ 取到的两只都是白球 ”， B= “ 取到的两只球颜色相同 ”， C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。 有放回抽取有放回抽取

14、:等可能概型 无放回抽取无放回抽取:等可能概型 例例 5 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。解：解： 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有而每个盒子中至多放一只球, 共有等可能概型例例 6 6 在 12000 的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概率是多少？解：解：设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”， B 为“取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为：为：6，12，181998 共 333 个，所以能被 6 整除的整数等可能概型AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能

15、被 24 整除”于是所求的概率为：其中 B =8, 16, 2000 , AB = 24, 48 1992 ，等可能概型 例例 8 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是有规定的？ 解：解：假设接待站的接待时间没有规定，各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12 次接待来访者都在周二、周四的概率为: 212/712=0.0000003，即千万分之三。等可能概型 人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断接待站

16、不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。等可能概型二二 几何概型几何概型 简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度的长度(面积面积或体积或体积)成比例，成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为简称为几何概型。几何概型。 古典概型与几何概型的主要区别在于古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限 .首先看下面的例子。 例例 1 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的

17、，且二人互不影响。求二人能会面的概率。几何概型解：解： 以 , y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是 （12点为计算时刻0时） 即 点 M 落在图中的阴影部分。所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果。由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的。0 1 2 3 4 5yx54321.M(X,Y)几何概型x二人会面的条件是： 0 1 2 3 4 5yx54321y-x =1y-x = -1几何概型 一般，设某个区域 D (线段，平面区域，空间区域），具有测 度 mD(长度，面积，体积)。如果随机实验 E 相当于向区域内任意地取点，且取到每一点都是等可能的，则称此类试验为

18、几何概型。 如果试验 E 是向区域内任意取点，事件 A 对应于点落在 D 内的某区域 A，则几何概型n4 4 条件概率条件概率一、条件概率定义一、条件概率定义第第1 1种方式：种方式：每个人抓到奖的概率相同，为每个人抓到奖的概率相同，为1/101/10. .第第2 2种方式：种方式：若第若第1 1个人未中奖，则第个人未中奖，则第2 2人中奖的概人中奖的概率为率为1/91/9。这就是条件概率。这就是条件概率。例例1：箱中有同型的：箱中有同型的7件产品，其中件产品，其中4件正品，件正品，3件次品，无放回地取两次，每次取件次品，无放回地取两次，每次取1件。件。(1)求第求第2次取到次品的概率；次取到

19、次品的概率；(2)已知第已知第1次取到的是正品，求第次取到的是正品，求第2次取到次品次取到次品的概率。的概率。解解:(1) 设设A=“第第1次取到的是正品次取到的是正品” B=“第第2次取到次品次取到次品”(2) 因为已经知道第因为已经知道第1次取到正品，所以剩下的次取到正品，所以剩下的6件产品中有件产品中有3件次品件次品解：设解：设A=“日光灯管能使用到日光灯管能使用到1200小时小时” B=“该日光灯管能使用到该日光灯管能使用到1500小时小时”则：则：B|A=“已使用了已使用了1200小时的日光灯管还能使小时的日光灯管还能使 用到用到1500小时小时”例例2 已知某批日光灯管能使用已知某

20、批日光灯管能使用1200小时的概率为小时的概率为0.9，能使用，能使用1500小时的概率为小时的概率为0.6。求已使用了。求已使用了1200小时的此种灯管能使用到小时的此种灯管能使用到1500小时的概率。小时的概率。二、乘法公式二、乘法公式三、全概率公式三、全概率公式 注：可以将计算一个复杂事情的概率，转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。由此得全概率公式由此得全概率公式:A例例：甲袋中有：甲袋中有2只红球、只红球、2只白球；乙袋中有只白球；乙袋中有3只只红球、红球、1只白球。若从甲袋中任取只白球。若从甲袋中任取2球放入乙袋，球放入乙袋，然后再从乙袋中任取出然后再从乙袋中任取出2球

21、，问最后取出的球，问最后取出的2球全球全为红球的概率？为红球的概率？解：设解：设A=“从乙袋中取出的是从乙袋中取出的是2只红球只红球”由于从甲袋取出的红球数只能是：由于从甲袋取出的红球数只能是：0，1，2三种三种,它们都与从乙袋中取出的红球的概率有关，设：它们都与从乙袋中取出的红球的概率有关，设：0.20.80.90.1由全概率公式即可求解。由全概率公式即可求解。四、贝叶斯公式四、贝叶斯公式定义定义1 设设A，B是两事件，若是两事件，若则称事件则称事件A与与B相互独立相互独立.一、两个事件的独立性一、两个事件的独立性n5 5 事件的独立性事件的独立性例例1：同时抛掷甲、乙两枚硬币，令同时抛掷甲

22、、乙两枚硬币，令A=“甲币出现甲币出现正面正面”, B=“乙币出现正面乙币出现正面”，判断，判断A、B的独立的独立性。性。解解：“甲币出现正面甲币出现正面”不影响不影响“乙币出现正面乙币出现正面”，因此，因此A与与B是相互独立的。事实上，是相互独立的。事实上，独立事件具有如下性质：独立事件具有如下性质：例例2 2：甲、乙二人射击一目标，击中概率分别为甲、乙二人射击一目标，击中概率分别为0.80.8和和0.9,0.9,今个射击一次，求目标被击中的概率。今个射击一次，求目标被击中的概率。解：解：设设A=甲击中目标甲击中目标，B=乙击中目标乙击中目标，则则 A+B=目标被击中目标被击中，且，且A与与

23、B相互独立。相互独立。 p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB) =0.8+0.9-0.72=0.98二、多个事件的独立性二、多个事件的独立性注意注意：前三个等式不能推出第四个等式；这四个：前三个等式不能推出第四个等式；这四个等式必须同时满足，才能保证等式必须同时满足，才能保证A,B,CA,B,C相互独立。相互独立。定义定义：如果从如果从n n个事件中任取个事件中任取k k个事件（个事件（knkn），都，都 相互独立，则称这相互独立，则称这n n个事件相互独立。个事件相互独立。反之反之，如果，如果 n n个事件相互独立，则其中任意个事件相互独立，则其中任意k k个个 事件（事件（knkn）

24、都相互独立。）都相互独立。例例1 1、已知编号为已知编号为1 1、2 2、3 3的三袋小麦种的发芽率的三袋小麦种的发芽率分别为分别为0.70.7、0.80.8、0.90.9，现从每袋中各取一粒进，现从每袋中各取一粒进行试种。在这行试种。在这3 3粒小麦中，求：粒小麦中，求：（1 1）只有）只有2 2粒发芽的概率；粒发芽的概率；（2 2）至少有）至少有1 1粒发芽的概率。粒发芽的概率。例例：设每门炮在一次射击中，击中敌机的概率：设每门炮在一次射击中，击中敌机的概率为为0.4。问至少需配置多少门炮，才能以。问至少需配置多少门炮，才能以99%以以上的把握击中一架来犯敌机？上的把握击中一架来犯敌机？解

25、解：设至少需配置：设至少需配置n门炮，并记：门炮，并记： Ai=第第i门炮击中敌机门炮击中敌机，i=1,2,n A=敌机被击中敌机被击中，则：，则：n5 5 独立重复试验概型独立重复试验概型伯努利试验：伯努利试验：随机试验只有两种可能的结果。随机试验只有两种可能的结果。n重伯努利试验：重伯努利试验：伯努利试验在相同条件下独立伯努利试验在相同条件下独立 重复进行重复进行n次。次。n次独立重复试验次独立重复试验：同一试验独立地重复作：同一试验独立地重复作n次次,每次任意事件每次任意事件A发生的概率与其它各次试验的结发生的概率与其它各次试验的结果无关果无关,即即p(A)保持不变。保持不变。与古典概型

26、不同，其基本事件可能不等概。与古典概型不同，其基本事件可能不等概。例例：某射手射击一次，击中目标的概率为：某射手射击一次，击中目标的概率为0.9，他射击他射击4次，问恰好次，问恰好3次击中的概率是多少？次击中的概率是多少？解：此问题可以认为是解：此问题可以认为是4次独立重复试验。次独立重复试验。一般地，有：一般地，有：定理：定理：若在一次试验中，事件若在一次试验中，事件A发生的概率为发生的概率为p，则在则在n次重复试验中，事件次重复试验中，事件A恰好发生恰好发生k次的概率次的概率为：为：例例 袋中有袋中有3个白球个白球,2个红球个红球,有放回地取球有放回地取球 4 次次,每次一只每次一只,求其

27、中恰有求其中恰有2个白球的概率个白球的概率.解解例例：某机床出次品的概率为：某机床出次品的概率为0.01，求生产，求生产100件件产品中产品中: (1) 恰好有恰好有1件次品的概率；件次品的概率； (2) 至少有至少有1件次品的概率。件次品的概率。解：问题可以看成是解：问题可以看成是100次重复试验，每次出次次重复试验，每次出次品的概率都是品的概率都是0.01。例例 设某电子元件的使用寿命在设某电子元件的使用寿命在1000小时以上的概率小时以上的概率为为0.2，当三个电子元件相互独立使用时，求在使用，当三个电子元件相互独立使用时，求在使用了了1000小时的时候，最多只有一个损坏的概率。小时的时

28、候，最多只有一个损坏的概率。解解 设设A表示表示“元件使用元件使用1000小时不坏小时不坏”，则，则 设设B表示表示“三个元件中至多一个损坏三个元件中至多一个损坏”，则，则 概率论概率论 集合论集合论样本空间（必然事件）样本空间（必然事件） 全集全集不可能事件不可能事件 空集空集子事件子事件 ABB 子集子集ABB和事件和事件 ABB 并集并集ABB积事件积事件 ABB 交集交集ABB 差事件差事件 A-B-B 差集差集A-B-B 对立事件对立事件 补集补集 Venn图演示集合的关系与运算事件之间的运算律事件之间的运算律u 交换律交换律 u 结合律结合律 u 分配律分配律 u 摩根律摩根律 设

29、试验结果共有设试验结果共有n个基本事件个基本事件1，2，.，n ，而且这些事件的发生，而且这些事件的发生具有相同的可能性具有相同的可能性古典概型的概率计算古典概型的概率计算u 确定试验的基本事件总数确定试验的基本事件总数事件由其中的事件由其中的m个基本事件组成个基本事件组成u 确定事件确定事件A包含的基本事件数包含的基本事件数几何概型几何概型 Geometric Probabilityu 将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。能性，就得到几何概型。n事件事件A就是所投掷的点落在就是所投掷的点落在S中的可度量图形中的可度量图

30、形A中中 u 几何度量几何度量-指长度、面积或体积指长度、面积或体积 u 特点特点n 有一个可度量的几何图形有一个可度量的几何图形Sn试验试验E看成在看成在S中随机地投掷一点中随机地投掷一点 给定一个随机试验，给定一个随机试验，是它的样本空间，对于是它的样本空间，对于任意一个事件，赋予一个实数任意一个事件，赋予一个实数，如果如果满足下列三条公理足下列三条公理，u非非负性性：u 规范性范性： ()=1 u 可列可加性可列可加性：那么，称 为事件的概率概率的公理概率的公理 化定义化定义()0 两两互不相容时（1 2 ）=（1）+（2）+ 若 A B，则 P (B A) = P(B) P(A) 设，

31、为同一个随机试验中的两个随机事件设，为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且（），且（）， 则称则称为在事件发生的条件下，事件发生的为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率条件概率 n定义定义条件概率条件概率 Conditional Probability乘法法则乘法法则 n推广 设设1 ，2 ，.，n 构成一个完备事件组，构成一个完备事件组，且且(i )0，i1，2，.，n，则对任一随机，则对任一随机事件，有事件，有 全概率公式全概率公式 设设A1，A2，, An构成完备事件组，且诸构成完备事件组，且诸P（Ai）0)B为样本空间的任意事件，为样本空间的任意事件，P（ B） 0 , 则有则有(

32、 k =1 , 2 , , n)证明证明 贝叶斯公式贝叶斯公式 Bayes Theorem 设、为任意两个随机事件，如果设、为任意两个随机事件，如果（）（）（）（）即事件发生的可能性不受事件的影响，则称事件即事件发生的可能性不受事件的影响，则称事件对于事件独立对于事件独立 显然，对于独立，则对于也独立显然，对于独立，则对于也独立，故称故称与相互独立与相互独立 事件的独立性事件的独立性 independencen定义定义事件的独立性事件的独立性 判别判别n事件与事件独立的充分必要条件是事件与事件独立的充分必要条件是证明证明n实际问题中，事件的独立性可根据问题的实实际问题中，事件的独立性可根据问题

33、的实际意义来判断际意义来判断 如甲乙两人射击，如甲乙两人射击，“甲击中甲击中”与与“乙击中乙击中”可以可以认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立 将试验将试验E E重复进行重复进行n n次次, ,若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响, ,则称这则称这n n次试验是相互独立的次试验是相互独立的. 设随机试验设随机试验E E只有两种可能的结果只有两种可能的结果:A:A及及 , ,且且P(A)=p,P(A)=p,在相同的条件下将在相同的条件下将E E重复进行重复进行n n次独次独立试验立试验, ,则称这一串试验为则称这一串试验为n n重贝努利试验

34、重贝努利试验，简简称贝努利试验称贝努利试验( (Bernoulli trialsBernoulli trials).).贝努利试验贝努利试验Bernoulli trialsBernoulli trialsn 相互独立的试验相互独立的试验n 贝努利试验贝努利试验贝努利定理贝努利定理 设在一次试验中事件发生的概率为设在一次试验中事件发生的概率为 p (0p1) ， 则在则在n次贝努里试验中次贝努里试验中恰好发生恰好发生 k k次次的概率为的概率为 ( k 0，1，2，.，n )其中其中 n定理定理第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布n1 1 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变

35、量及其概率分布一、随机变量一、随机变量(Random Variable) 2 X X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件随机变量的特点随机变量的特点: 1 X X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的 反之反之，具有以上性质的，具有以上性质的pk，一定可以作为某个一定可以作为某个离散型随机变量的分布律。离散型随机变量的分布律。 例例2 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号灯号灯,每盏信号灯禁止汽车通过的概率为每盏信号灯禁止汽车通过的概率为p,以以X表示表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数汽车首次停下时已通过信号灯的盏数

36、,求求X的分布律的分布律. 例例3 3、若离散型随机变量若离散型随机变量X X的分布律为的分布律为试求常数试求常数a？.三、几种常见的离散型分布三、几种常见的离散型分布2. 2. 二项分布二项分布三三、Poisson 分布分布若若r.vr.v.X.X的分布律为的分布律为: : 则称则称X X服从参数为服从参数为的泊淞的泊淞( (Poisson)分布分布记为记为 XP()例如：电话局单位时间内的电话次数，车流量，车例如：电话局单位时间内的电话次数，车流量，车站单位时间内到达的乘客数，商店的顾客等都服从站单位时间内到达的乘客数，商店的顾客等都服从Poisson分布分布2 2 随机变量的分布函数随机

37、变量的分布函数一、分布函数一、分布函数1、定义：设、定义：设X为为r.v， x任意实数，称函数任意实数，称函数 F(x)=PX x，(-xa=1-pXa=1-F(a) 只要知道只要知道r.v.X的分布函数，就能算出的分布函数，就能算出X在任意区间的概率，所以分布函数能完整在任意区间的概率，所以分布函数能完整的描述的描述r.v.2 2、性质：、性质：(1) 0F(1) 0F(x)1 , (-x+)1 , (-x+)(2) F(x)(2) F(x)是是x的单调不减函数的单调不减函数. . 分布函数是一个普通的函数，它完整的分布函数是一个普通的函数，它完整的描述了随机变量的统计规律。通过它，我们描述

38、了随机变量的统计规律。通过它，我们可以用数学分析的工具来全面研究随机变量可以用数学分析的工具来全面研究随机变量.3、离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数它是单调不减的阶梯状函数它是单调不减的阶梯状函数xx1xkxi注意右连续注意右连续分布函数图分布函数图画画 分布函分布函数图数图 不难看出，不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形，的图形是阶梯状的图形，在在 x=-1，2，3 处有跳跃，其跃度分别等于处有跳跃，其跃度分别等于 PX=-1 , PX=2 , PX=2.分布函数图分布函数图画画 分布函分布函数图数图注 意 点 (1) 对对离散随机变量的离散随机变量的分布函数分布函数应注

39、意应注意： (1) F(x)是递增的是递增的阶梯函数阶梯函数阶梯函数阶梯函数; ; (2) 其间断点均为其间断点均为右连续的右连续的右连续的右连续的; ; (3) 其间断点其间断点其间断点其间断点即为即为X的可能取值点的可能取值点; ; (4) 其间断点的其间断点的跳跃高度跳跃高度跳跃高度跳跃高度是对应是对应的概率的概率的概率的概率值值.例2已知 X 的分布律如下：X 0 1 2P 1/4 1/2 1/4求求 X 的分布函数的分布函数. .解：解：X 0 1 2P 0.4 0.4 0.2解：解：例3已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布律. 连续型随机变量连续型随机变量X所有所有可能取值充满

40、可能取值充满一个区间一个区间, 对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, 不不能能像离散型随机变量那样像离散型随机变量那样, 以指定它取以指定它取每个值概率的方式每个值概率的方式, 去给出其概率分布去给出其概率分布, 而是通过而是通过给出所谓给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方的方式式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法的描述方法.3 3 连续型随机变量连续型随机变量 设设F(x)是随机变量是随机变量X的分布函数，若存在的分布函数，若存在一个非负的函数一个非负的函数f(x),对任何实数对任何实数x，有，有 则称则称X为为连续型随机变量连续型随机变

41、量，同时称，同时称f(x)为为X的概的概率密度函数，简称率密度函数，简称概率密度。概率密度。 f (x)xoy1. 连续型随机变量、概率密度定义连续型随机变量、概率密度定义概率密度函数的性质概率密度函数的性质1.2.这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.vX的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件.o f (x)xy3 f (x)xoyx1x24. 若若f(x)的在点的在点x处处连续，有连续，有 由此由此 F(x)与与f(x)可以互推。可以互推。 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上

42、的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度相当于线密度. 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：=f(x)5. 对对 f(x)的进一步理解的进一步理解: 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f (x)在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，这但是，这个高度越大，则个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度映了概率集中在该点附近

43、的程度. f (x)xo若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有： 它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似.连续型连续型r.v取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为0.即：即：(a为为任一指定值任一指定值)这是因为这是因为注：注：需要指出的是需要指出的是:由于连续型随机变量的分布函数是连续函数，由于连续型随机变量的分布函数是连续函数， 从而从而P( X = a )=0. P( X = a )=0的充分必要条件是的充分必要条件是

44、F( x )是是连续函数。连续函数。任意任意aR。由此得由此得，1) 对连续型对连续型 r.v X,有有2) 由由P(X=a)=0 可推知可推知而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件称称A为为几乎不可能事件几乎不可能事件，B为为几乎必然事件几乎必然事件.可见，可见，由由P(A)=0, 不能推出不能推出由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S例例1、设设r.v.X的密度函数为的密度函数为求：求：(1)(1)常数常数c c (2)F( ) (2)F( ) (2)P0.3X0.7 (2)P0.3X0.7 (3) P-0.5X0.5 (3) P-0.5X0.5 由于由于

45、f(x)是分段是分段表达的，求表达的，求F(x)时时注意分段求注意分段求. 对连续型对连续型r.v，若已知若已知F(x)，我们通过求导我们通过求导也可求出也可求出 f (x)，请看下例请看下例.连续型连续型1.密度函数密度函数 X f(x) ( 不唯一不唯一 )2.4. PX=a = 0离散型离散型1.分布律分布律: pn = PX=xn ( 唯一唯一 ) 2. F(x) = 3. F(a+0) = F(a); Pa0 为常数，为常数，则称则称X服从参数为服从参数为的指数分的指数分布。它满足布。它满足 应该具有的性质。如图。应该具有的性质。如图。0x。指数分布密度函数也满足两条性质：指数分布密

46、度函数也满足两条性质： 在实践中，动植物及元件的使用寿命，服务系在实践中，动植物及元件的使用寿命，服务系统的服务时间等等，都可能指数分布来描述。统的服务时间等等，都可能指数分布来描述。 例例3、设打一次电话所用的时间、设打一次电话所用的时间(单位：分单位：分)服从服从参数参数=0.1的指数分布。若某人刚好在你前面走进的指数分布。若某人刚好在你前面走进电话亭，求你将等待下列时间才能走进此电话亭电话亭，求你将等待下列时间才能走进此电话亭打电话的概率：打电话的概率：（1）超过）超过10分钟；分钟；（2）5分钟到分钟到10分钟之间。分钟之间。3 3、正态分布、正态分布若随机变量若随机变量X X的概率密

47、度为的概率密度为其中其中、 ( 0 )是两个常数，则称是两个常数，则称X服从参数为服从参数为、 的正态分布，记为的正态分布，记为0x这是正态分布密度函数图这是正态分布密度函数图解释图形：解释图形：(1) 正态曲线为钟形曲线正态曲线为钟形曲线;(2) 关于关于 对称；对称；(3) 以以轴为渐近线。轴为渐近线。=正态分布密度函数也满足两条性质：正态分布密度函数也满足两条性质：正态分布概率计算正态分布概率计算标准正态分布的分布函数：标准正态分布的分布函数：f(x)0x x (x) 的计算的计算(1) x 0 时时, 查标准正态分布函数表查标准正态分布函数表.(2) x a) =1 (a); (3)

48、P(aXb) = (b)(a); (4) 若若a 0, 则则 P(|X|a) = P( aX1/2, 所以所以 b 0, 反查表反查表得得: (1.66) = 0.9515, 故故 b = 1.66而而 (a) = 0.0495 1/2,所以所以 a 0, ( a) = 0.9505, 反查表反查表得得: (1.65) = 0.9505, 故故 a = 1.65例例一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化定理定理 设设 X N( , 2),则则 Y N(0, 1).推论推论: 若若 X N( , 2), 则则若若 X N( , 2), 则则 P(Xa) = 例、已知例、已知 X N ( 1.5

49、 , 4 ) ，试求试求 P 2.5 X 3.5 , P |X| 3 正态分布的正态分布的 3 原则原则设设 X N( , 2), 则则 P( | X | ) = 0.6826. P( | X | 2 ) = 0.9544. P( | X | 3 ) = 0.9974.定义：定义： 如果存在一个函数如果存在一个函数g(X),使得随机变量使得随机变量X，Y满足：满足： Yg(X)则称随机变量则称随机变量Y是随机变量是随机变量X的函数。的函数。1 1、离散型离散型RV.RV.函数的分布函数的分布(1)若若X为离散型，则为离散型，则Y=f(X)也是离散型也是离散型(2)已知已知X的分布律，求的分布律

50、，求Y=f(X)的分布律：的分布律：4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布2、连续型、连续型r.v.函数函数Y=f(X)的分布的分布离散型离散型连续型连续型 分布列分布列密度函数密度函数 我们已介绍了两类重要的随机变量我们已介绍了两类重要的随机变量: 分布函数分布函数F( (X) )= P( (X x) ) 其图形是右连续的阶梯曲线其图形是右连续的阶梯曲线 其图形是连续曲线其图形是连续曲线 f (x) 常见的分布常见的分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布离散型离散型连续型连续型两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布 1 二维随机变量二维随机变量 2 边缘分布边缘分布

51、 3 条件分布条件分布 4 相互独立的随机变量相互独立的随机变量 5 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布第三章第三章 多维多维随机变量及其分布随机变量及其分布1 二二 维维 随随 机机 变变 量量 二维随机变量二维随机变量 联合分布函数联合分布函数 联合分布律联合分布律 联合概率密度联合概率密度第三章第三章 多维多维随机变量及其分布随机变量及其分布 从其中随机抽取从其中随机抽取一个学生，分别以一个学生，分别以X 和和Y 表示其体重和身高表示其体重和身高. 体重体重X 身高身高Y很多随机现象需要用多个随机变量来描述很多随机现象需要用多个随机变量来描述. . 飞机的重心在空中的位置是

52、由飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量三个随机变量( (三个坐标三个坐标) )来确定的来确定的. 类似多元函数微积分类似多元函数微积分, 从二维推广到多维从二维推广到多维无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量 . 完全类似于上章中对一维随机变量的研究完全类似于上章中对一维随机变量的研究, 我们将研究我们将研究 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布. 多维随机变量多维随机变量作为一个整体的分布作为一个整体的分布平行于一维的结论平行于一维的结论特有内容特有内容: 变量之间的边缘分布、条件分布、独立性等变量之间的边缘分布、条件分布、独立性等检察某大学的

53、全体学生的身体状况检察某大学的全体学生的身体状况, ,类比类比转化转化它是上一章内容的推广它是上一章内容的推广.1）定义：）定义： 设设 E 是一个随机试验，它的样本空间是一个随机试验，它的样本空间是是 S=e,设设 X=X(e) 和和 Y=Y(e) 是定是定义在义在 S 上的随机变量。由它们构成的一上的随机变量。由它们构成的一个向量个向量 (X, Y) ，叫做二维随机向量，或叫做二维随机向量，或二维随二维随机变量机变量。一、一、二维随机变量二维随机变量1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布注注 意意 事事 项项1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布2 2）二维随机变量的例子）二维

54、随机变量的例子1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布二、二、联合分布函数联合分布函数1 二维随机变量1）定定 义义第三章 多维随机变量及其分布2 2）二元分布函数的几何意义）二元分布函数的几何意义yo(x, y)(X, Y )1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布3 3）一个重要的公式）一个重要的公式yxox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布4）边缘分布）边缘分布 marginal distribution 设二维随机变量设二维随机变量 的分布函数为的分布函数为 ， 依次称

55、为二维随机变量依次称为二维随机变量关于关于和关于和关于的边缘分布函数的边缘分布函数4）分布函数具有以下的基本性质：）分布函数具有以下的基本性质：（1）F (x , y )是变量是变量 x , y 的不减函数的不减函数，即，即对于任意固定的对于任意固定的 y , 当当 x1 x2时，时， 对于任意固定的对于任意固定的 y , 且且1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布对于任意固定的对于任意固定的 x , 当当 y1 y2时，时， 对于任意固定的对于任意固定的 x , （3 3） F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即即 F (x , y )

56、关于关于 x 右连续，关于右连续，关于 y 也右连续也右连续.yxox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布说说 明明上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一个二元函数更进一步地，我们还可以证明：如果某一个二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的

57、分布函数。量的分布函数。1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布三、二维离散型随机变量三、二维离散型随机变量1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布1）定义：）定义：2）二维离散型随机变量的联合分布律及其性质）二维离散型随机变量的联合分布律及其性质如果二维离散型随机变量（如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为的联合分布律为 即即 YXy1y2y3x1p11p12p13x2p21p22p23x3p31p32p331 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布 YXy1y2y3Pi.x1p11p12p13P1.x2p21p2

58、2p23P2.x3p31p32p33P3.p.jp.1p.2p.33）二维离散型随机变量的边缘分布）二维离散型随机变量的边缘分布关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布第第j列之和列之和Xx1x2x3概率P1.P2.P3.第第i行之和行之和Yy1y2y3概率P.1P.2P.3例例 11 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布例例21 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布4）联合分布函数）联合分布

59、函数1）定义：）定义：对于二维随机变量对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数分布函数 F (x , y )，如如果存在非负函数果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的使得对于任意的 x，y有：有：则称则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y )称为二维随机变量称为二维随机变量 ( X,Y )的的概率密度概率密度，或称为，或称为 X 和和 Y 的的联合概率密度联合概率密度。 四、二维连续型随机变量四、二维连续型随机变量1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布2) 概率密度概率密度的的性质：性质： 40 设设 G 是平面上

60、的一个区域，点是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在落在 G 内内 的概率为：的概率为：1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布这个公式非常重要！这个公式非常重要！ 在几何上在几何上 z = f (x , y) 表示空间的一个曲面，上式表示空间的一个曲面，上式即表示即表示 P(X,Y) G的值等于以的值等于以 G 为底，以曲面为底，以曲面 z = f (x , y)为顶的柱体体积为顶的柱体体积.1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布3）边缘分布函数及边缘密度）边缘分布函数及边缘密度n关于关于X的边缘概率密度为的边缘概率密度为 n关于关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为 的边缘分

61、布函数为的边缘分布函数为 关于关于 的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 例例1 1 设（设（X, Y）的联合密度为的联合密度为求求k值和两个边缘分布密度函数值和两个边缘分布密度函数解解由由 得得 当当 时时 关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 113113解解所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 当当 时时 当当 时时 当当 时时 关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 例例 21 二维随机变量1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布x+y=11 二维随

62、机变量第三章 多维随机变量及其分布4）二维均匀分布）二维均匀分布1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布二维均匀分布几何意义二维均匀分布几何意义Dyx1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布 若二维随机变量（若二维随机变量（X,Y）具有概率密度具有概率密度记作（记作（ X,Y）N( )则称（则称（ X,Y）服从参数为服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.其中其中均为常数均为常数,且且5）二维正态分布）二维正态分布五、随机变量的相互独立性五、随机变量的相互独立性n 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于分别等价于 n n定义定义

63、定义定义 设（设（设（设（X X X X，Y Y Y Y）的联合分布函数为）的联合分布函数为）的联合分布函数为）的联合分布函数为F(x,yF(x,yF(x,yF(x,y) ) ) )，两个，两个，两个，两个边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为F F F FX X X X(x),F(x),F(x),F(x),FY Y Y Y(y(y(y(y) ) ) )，如果对于，如果对于，如果对于，如果对于任意的任意的任意的任意的x,yx,yx,yx,y都有都有都有都有F(x,yF(x,y)= )= F FX X(x(x) ) F FY Y(y(y) )，则称随机变量则称随

64、机变量则称随机变量则称随机变量X X，Y Y相互独立相互独立相互独立相互独立。对任意对任意i,j 对任意对任意x,y 在实际问题或应用中，当在实际问题或应用中，当X X的取值与的取值与Y Y的取值互的取值互不影响时，不影响时，我们就认为我们就认为X X与与Y Y是是相互独立的，进而相互独立的，进而把上述定义式当公式运用把上述定义式当公式运用. . 在在X X与与Y Y是是相互独立的前提下相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！边缘分布可确定联合分布！边缘分布可确定联合分布！边缘分布可确定联合分布！n n实际意义实际意义实际意义实际意义n n补充说明补充说明补充说明补充说明设（设（X，Y）的概

65、率分布（律）为的概率分布（律）为证明：证明：X、Y相互独立相互独立。例例1 1 2/5 1/5 2/5 p .j 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 pi. 2 0 -1yx逐个验证等式逐个验证等式 证证 X与与Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为X X、Y Y相互独立相互独立 2/5 1/5 2/5 p.i 2 0 -1 X 2/4 1/4 1/4 Pj. 2 1 1/2 Y例例2 2 设（设（X X，Y)Y)的概率密度为的概率密度为求求 (1) P(1) P（0X1 0X1 ，0Y10Y1） (

66、2) (X,Y)(2) (X,Y)的边缘密度，的边缘密度， （3 3）判断）判断X X、Y Y是否独立。是否独立。解解 设设A=A=（x x，y y）：）：0x1 0x1 ，0y10y1） 11 边缘密度函数边缘密度函数分别分别为为当当 时时当当 时时所以，所以， 同理可得同理可得 所以所以 X X 与与 Y Y 相互独立。相互独立。 设（设（设（设（X,Y)X,Y)X,Y)X,Y)服从矩形域服从矩形域服从矩形域服从矩形域上的均匀分布，求证上的均匀分布，求证上的均匀分布，求证上的均匀分布，求证 X X X X 与与与与 Y Y Y Y 独立。独立。独立。独立。例例3 3 时时时时解解于是于是同

67、理同理同理同理所以所以所以所以即即即即 X X X X 与与与与 Y Y Y Y 独立。独立。独立。独立。 时时时时1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布小结：小结： 1 1 二维离散型随机变量的联合分布率的二维离散型随机变量的联合分布率的定义及性质定义及性质。 2 2 联合分布函数的联合分布函数的定义及性质定义及性质。 3 3 二维连续型随机变量的联合概率密度的二维连续型随机变量的联合概率密度的定义及性定义及性 质，质，特别是特别是 4 4 二维均匀分布和二维正态分布。二维均匀分布和二维正态分布。第四章第四章 随机变量的数字随机变量的数字特征特征 预备知识预备知识概率分布：概率分布：

68、离散型离散型 分布律分布律 随机变量随机变量 分布函数分布函数 连续型连续型 概率密度概率密度 特点：描述了该随机变量取值的概率分布的特点：描述了该随机变量取值的概率分布的全貌全貌。 分布函数分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性能够完整地描述随机变量的统计特性. 但在一些实际问题中但在一些实际问题中, 不需要去全面考虑随机变量不需要去全面考虑随机变量的变化情况的变化情况, 而只需知道随机变量的某些特征而只需知道随机变量的某些特征, 随机变量的数字特征：随机变量的数字特征： 由随机变量的概率分布所决定的常数，它能够由随机变量的概率分布所决定的常数，它能够反映随机变量某些方面的重要特征，故称为

69、反映随机变量某些方面的重要特征，故称为随机变随机变量的数字特征。量的数字特征。随机变量的常用的数字特征棉花质量棉花质量 平均长度；纤维长度与平均长度之间的偏离程度，平均长度越大，偏离程度越小，则质量就较好。数学期望（平均值）数学期望（平均值） 1.决策方案问题：投资方案；面试方案 2.生产和销售利润问题； 3.彩票问题：中奖概率，彩票中奖的期望值 4.医疗问题方差：方差：反映了一组数据与其平均值的偏离程度。相关系数：相关系数：反映两个变量的相互关系4.1 4.1 数学期望数学期望一、离散型随机变量的期望一、离散型随机变量的期望引例、引例、 若要考察一个班（若要考察一个班（1010人）的数学学习

70、成绩，进人）的数学学习成绩，进行一次测验，结果行一次测验，结果6060分的有分的有3 3个，个，8080分的有分的有5 5个，个，9090分的有分的有2 2个。个。平均成绩为：平均成绩为：不能写成：不能写成： 注：注：每个分数出现的频率不同每个分数出现的频率不同平均成绩还可以表示为：平均成绩还可以表示为：得得60分的频率分的频率(权权重重)得得60分分加权加权平均数平均数X608090p3/105/102/10 如果把分数看成随机变量如果把分数看成随机变量X的取值，而这里频率的取值，而这里频率就是概率，则就是概率，则X的的概率分布概率分布可表示为：可表示为：则加权平均数就是：则加权平均数就是：

71、X的取值与概率乘积的取值与概率乘积,再求和。再求和。由此推广：如果随机变量由此推广：如果随机变量X的分布为的分布为X x1 x2 xk p p1 p2 pk 则则X的加权平均数为：的加权平均数为：这就是这就是X的的数学期望数学期望.定义：定义：设离散型随机变量设离散型随机变量X X的分布律为的分布律为 p X= =xk k=pk k , k=1,2, , k=1,2,则称和数则称和数 为为X X的的数学期望数学期望，简称期望或，简称期望或均值，记为均值，记为EXEX，即即expectationEX是对是对X的取值的平均数的取值的平均数的描述，是一个常数。的描述，是一个常数。例例1、已知某工人每

72、天制造的产品中出现次品数已知某工人每天制造的产品中出现次品数X的的分分布律为：布律为：X 0 1 2 3p 0.2 0.4 0.3 0.1问他平均一天出几件次品？问他平均一天出几件次品？注：注：当当X的取值有无穷多个时，要求级数绝对收敛的取值有无穷多个时，要求级数绝对收敛解：解：这工人平均一天出的次品数为：这工人平均一天出的次品数为：例例2：设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为求求EX.解：解：随机变量随机变量X的期望为的期望为几种常见的离散型随机变量的期望：几种常见的离散型随机变量的期望：（1）两点分布）两点分布设设X服从参数为服从参数为p(0p1)的两点分布，即有分布律的两点分布，即

73、有分布律X 0 1p 1-p p则则X的期望为的期望为（2）二项分布）二项分布设设X服从参数为服从参数为(n,p)的的二项分布，即有分布律二项分布，即有分布律则则X的期望为的期望为取取值值对应概率对应概率p+q=1（3）Poisson 分布分布设设X服从参数为服从参数为的的Poisson分布，即有分布律分布，即有分布律则则X的期望为的期望为泰勒公泰勒公式式二、连续型随机变量的期望通过把通过把“连续的问题离散化的思想连续的问题离散化的思想”，得到，得到定义：定义：设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x)，如果，如果 绝对收敛绝对收敛,定义定义X的数学期望为的数学期望为和

74、离散型的一样，它同样反映了随机变量所有可和离散型的一样，它同样反映了随机变量所有可能取值的平均值能取值的平均值例例1、设设X的概率密度函数为：的概率密度函数为：求求EX例例2、X的密度函数为的密度函数为求求EX几种常见的连续型随机变量的期望：几种常见的连续型随机变量的期望：（1）均匀分布）均匀分布（2）指数分布）指数分布（3）正态分布）正态分布三、期望的性质：三、期望的性质：（1）Ec=c （4） E(kX+b)=kEX+b （2）E(kX)=kEX （5）E(X+Y)=EX+EY（3）E(X+b)=EX+b （6）E(XY)=EX.EY（独立）独立）四、随机变量函数的期望四、随机变量函数的期

75、望 在在X X的概率分布已知的情况下，求的概率分布已知的情况下，求X X的某一函的某一函数数f(x)f(x)的期望的期望Ef(xEf(x).).（1 1）离散型）离散型设离散型随机变量设离散型随机变量X X的分布律为的分布律为 pX=X=x xk k=pk k , k=1,2, , k=1,2,（2）连续型）连续型设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为P(x)P(x)例例2、已知已知XB ( 3, 0.4 ), 求求Y = X2-2X的期望的期望例例1、设设X的概率密度函数为：的概率密度函数为：求求E(X)和和E(4X-1)方差反映了随机变量取值与其均值的偏离程度方差反

76、映了随机变量取值与其均值的偏离程度引例引例、以下、以下X1，X2表示某种测量的误差表示某种测量的误差X1 -1 0 1p 0.2 0.6 0.2X2 -2 -1 1 2p 0.3 0.2 0.2 0.3期望不能确切的表现出两种测量的精确程度期望不能确切的表现出两种测量的精确程度4.24.2方差方差 定义定义：设：设X X为随机变量，若为随机变量，若E(X-EX)E(X-EX)2 2存在，存在，则称为则称为X X的方差，记为的方差，记为DXDX，即即方差反映了变量取值的偏离程度，同样是一个常数方差反映了变量取值的偏离程度，同样是一个常数当当X X为离散型时，即有分布律为离散型时，即有分布律 pX

77、=X=x xk k=pk k , k=1,2,3 , k=1,2,3，方差的计算：方差的计算：当当X为连续型时，概率密度函数为为连续型时，概率密度函数为p(x)，则则 例例2、例例1、设设X的分布律为的分布律为X 0 1 2p2/9 6/9 1/9求求DX.求求DXk阶原点矩阶原点矩 ： vk=EXk ，k=1,2, k阶中心矩阶中心矩 ：Mk=E(X-EX)k ，k=1,2, 标准差标准差：由于：由于DX和和X的量纲不同，有时也用的量纲不同，有时也用来描述来描述X的离散程度，称为的离散程度，称为标准差标准差或者或者均方差均方差。重要定理重要定理：例例3、显然：显然：v1就是期望就是期望EX，

78、M2就是方差就是方差DX.几种常见的随机变量的方差：几种常见的随机变量的方差：（1）两点分布）两点分布设设X服从参数为服从参数为p(0p0，DY0，则称数值则称数值为为X与与Y的相关系数，记为的相关系数，记为XY.所以，相关系数也叫做标准协方差所以，相关系数也叫做标准协方差例、例、XP(2)，Z=3X-2，求，求EZ，DZ，XZ.定义：若相关系数定义：若相关系数XY=0=0，则称，则称X X与与Y Y不相关。不相关。独立一定不相关，不相关不一定独立。（例独立一定不相关，不相关不一定独立。（例5 5）定理定理：|XY|1 |1 （证明略）证明略）| |XY|=1|=1的充要条件是存在常数的充要条

79、件是存在常数a a、b b，使得使得即：即：X,YX,Y存在线性关系存在线性关系第五章第五章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念5.1 5.1 样本与统计量样本与统计量一、总体和样本一、总体和样本研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体，总体，可用变量可用变量X描述描述总体中的每个元素称为总体中的每个元素称为个体个体 从总体中抽取一个个体从总体中抽取一个个体,该个体是一个该个体是一个随机变随机变量量 Xk ,我们认定我们认定 Xk 的分布函数和数字特征与总体的分布函数和数字特征与总体的分布函数和数字特征相同的分布函数和数字特征相同, 总体总体RV.X称为总体称为总体X. 即即总体与个体具有相

80、同的分布。总体与个体具有相同的分布。 从从总总体体中中抽抽取取一一部部分分个个体体,被被抽抽的的这这一一部部分分个个体体称为称为(该总体的该总体的)一个一个样本样本.定定义义 从从总总体体X中中抽抽取取了了一一个个共共有有n个个个个体体的的样样本本,这这个个个个体体依依次次记记为为：X1,X2 , ,Xn ,若若这这n个个随随机机变变量量独独立立且且同同分分布布，则则称称为为从从总总体体X中中得得到到的的一一个个简简单单随随机样本，机样本，简称简称样本样本, n称为称为样本容量样本容量. 通通过过样样本本可可以以得得到到n个个观观测测值值 x1 x2 xn称称为为样样本本观测值，观测值，简称简

81、称样本值样本值。二、统计量二、统计量定定义义 设设 X1,X2 , ,Xn 是是来来自自总总体体X的的一一个个样样本本， g(X1,X2 , ,Xn) 是是 X1,X2 , ,Xn 的的函函数数，且且此此函函数数中中不不含含任任何何未未知知参参数数，则则称称g(X1,X2 , ,Xn) 是是一个一个统计量统计量。设设 X1,X2 , ,Xn 是是来来自自总总体体X的的一一个个样样本本，则则x1 x2 xn 是是该样本的观察值，该样本的观察值， 几种常用的统计量几种常用的统计量定义定义 1、样本均值、样本均值 总体均值总体均值 总体标准差总体标准差 2、样本方差、样本方差 总体方差总体方差 3、

82、样本标准差、样本标准差 4、样本、样本k阶原点矩阶原点矩 总体总体k阶原点矩阶原点矩5、样本、样本k阶中心矩阶中心矩总体总体k阶中心矩阶中心矩它们的观察值分别为它们的观察值分别为几种常用的统计量的分布几种常用的统计量的分布 1 1、正态样本均值的分布、正态样本均值的分布服从自由度为服从自由度为n的的设设 X1,X2 , ,Xn 是来自标准正态总体是来自标准正态总体X的一个样本，的一个样本，则称则称定理定理1 1：则则统计量统计量服从自由度为服从自由度为n-1的的3、t分布分布且且X与与Y相互独立，则称统计量相互独立，则称统计量服从自由度为服从自由度为n的的t分布，记为分布，记为定理定理2：设设

83、(X1,X2,X3)是取自正态总体是取自正态总体XN(,2)的样本，则统计量的样本，则统计量5.2 5.2 直方图直方图一、直方图的定义一、直方图的定义二、绘制直方图的一般步骤二、绘制直方图的一般步骤三、直方图的作用三、直方图的作用四、直方图的优缺点四、直方图的优缺点第六章 参数估计 设设总总体体X的的分分布布类类型型（形形式式）为为已已知知，但但其其分分布布类类型型中中包包含含未未知知的的参参数数，通通过过对对总总体体X抽抽取取的的一一个个样样本本对对未未知知参参数数进进行行估估计计，估估计计的的形形式式有有两两种种，一一种种是是对对未未知知参参数数作作出出点点估估计计，另另一一种种是是对对

84、未知参数作出未知参数作出区间估计区间估计，以下分别讨论。，以下分别讨论。主要内容：主要内容：6.1 6.1 点估计点估计设总体设总体X的某个未知参数为的某个未知参数为，称为待估参数；，称为待估参数；是总体是总体X的一个样本，的一个样本，是相应的一个样本值。是相应的一个样本值。今要构造一个适当的统计量今要构造一个适当的统计量用其观察值来估计用其观察值来估计, 并称并称为为的的估计量估计量，而称，而称为为的的估计值。估计值。二、矩估计法二、矩估计法矩估计法就是用样本的一阶原点矩矩估计法就是用样本的一阶原点矩去估计总体的一阶原点矩去估计总体的一阶原点矩用样本的二阶原点矩用样本的二阶原点矩去估计总体的

85、二阶原点矩去估计总体的二阶原点矩例例2 2：设总体：设总体X X的密度函数为的密度函数为 X1,X2,X1,X2,XnXn为其样本为其样本, ,求参数求参数 的矩阵估的矩阵估计量计量. .，满足：，满足：6.2 6.2 区间估计区间估计则称区间则称区间 1,2 是是的的置信度置信度为为(1-)(1-)的的双侧双侧置信区间置信区间设总体设总体X的未知参数为的未知参数为 为样本为样本. .对于给定数对于给定数，若由样本及，若由样本及计算出计算出1 1，2 2分别称为双侧置信区间的分别称为双侧置信区间的置信上限和置信上限和置信下限，置信下限，一、正态总体均值一、正态总体均值的区间估计的区间估计(a)

86、 设总体设总体2为已知为已知，设，设 是来自是来自X的样本，的样本，求求期望期望的置信度的置信度(1-)为的为的置信区间置信区间。解：解：统计量：统计量：于是的于是的置信度为置信度为(1-)(1-)的置信区间为的置信区间为反查正态分布表，从而有反查正态分布表，从而有 使得使得得得的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间为的置信区间为如果取如果取(b) (b) 设总体设总体2 2为为未知，设未知，设是来自是来自X X的样本，的样本，求总体期望求总体期望的置信度为的置信度为(1-)(1-)的置信区间。的置信区间。解：统计量解：统计量于是得于是得的置信度为的置信度为(1-)(1-)的置信区间为

87、的置信区间为反查反查t t分布表，从而有分布表，从而有 使得使得例例1 、 有有一一大大批批糖糖果果，现现从从中中任任取取16袋袋，称称得得重重量量（以克计）如下：（以克计）如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设设重重量量近近似似地地服服从从正正态态分分布布，求求总总体体均均值值的的置置信信度为度为0.95的置信区间。的置信区间。二、正态总体方差二、正态总体方差2 2的区间估计的区间估计标准差标准差的置信度为的置信度为(1-)(1-)的置信区间为的置信区间为例例2 2、求例求例1 1中的置信度为中

88、的置信度为0.950.95的置信区间。的置信区间。 第七章第七章 假设检验假设检验 7.1 7.1 假设检验假设检验假设检验的基本思想是先提出假设，在此假设下，假设检验的基本思想是先提出假设，在此假设下，作一次随机抽样试验，确定抽样结果是正常的还是作一次随机抽样试验，确定抽样结果是正常的还是异常的，且认为产生异常是异常的，且认为产生异常是“小概率小概率”。“小概率原理小概率原理”：概率很小的事件在一次试验中通：概率很小的事件在一次试验中通常认为是不会发生的。常认为是不会发生的。例例1 1、某包装机包装葡萄糖，已知袋装糖重量服从某包装机包装葡萄糖，已知袋装糖重量服从正态分布，当机器正常时，其均值

89、为正态分布，当机器正常时，其均值为0.50.5公斤，标公斤，标准差为准差为0.0150.015公斤，某日开工后为检验包装机是否公斤，某日开工后为检验包装机是否正常，随机抽取它所包装的糖正常，随机抽取它所包装的糖9 9袋，其重量为：袋，其重量为： 0.4970.506 0.518 0.524 0.498 0.4970.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 0.511 0.520 0.515 0.512问机器是否正常？问机器是否正常？假设检验的基本步骤：假设检验的基本步骤：1 1、根据实际问题的需要，提出假设、根据实际问题的需要，提出假设H H

90、0 02 2、选取适当的统计量，确定出统计量的分布。、选取适当的统计量，确定出统计量的分布。3 3、在检验水平、在检验水平下，给出接受域和拒绝域下，给出接受域和拒绝域( (或小概率事件或小概率事件) )。4 4、根据样本值计算统计量的具体值。、根据样本值计算统计量的具体值。5 5、比较具体值（实际值）所属区域。、比较具体值（实际值）所属区域。 7.2 7.2 正态总体的假设检验正态总体的假设检验一、正态总体均值一、正态总体均值的假设检验的假设检验1. 1. 设总体设总体2 2为已知，在水平为已知，在水平(2) 如果如果H0成立，则统计量：成立，则统计量：下，检验假设下，检验假设 H H0 0：

91、解解: :(1)(1)提出假设提出假设 H H0 0：其中：由其中：由 反查标准正态分布表反查标准正态分布表(5)(5)若若U U0 0在接受域内，则假设在接受域内，则假设H H0 0成立；否则成立；否则H H0 0不成立不成立2. 2. 设总体设总体2 2为未知，在水平为未知，在水平下，检验假设下，检验假设 H H0 0：解解: :(1)(1)提出假设提出假设 H H0 0：(2) 如果如果H0成立，则统计量：成立，则统计量：其中：由其中：由 反查反查t分布临界值表分布临界值表(5)(5)若若T T0 0在接受域内，则假设在接受域内，则假设H H0 0成立；否则成立；否则H H0 0不成立不成立二、正态总体方差二、正态总体方差2 2的的假设检验假设检验检验假设检验假设 H H0 0：解解: :(1)(1)提出假设提出假设 H H0 0：(2) 如果如果H0成立，则统计量：成立，则统计量：1. 1. 设总体设总体在水平在水平下，下，(5)(5)若若K K0 0在接受域内，则假设在接受域内，则假设H H0 0成立；否则成立；否则H H0 0不成立不成立查查 分布临界值表分布临界值表其中：由其中：由 例：见书例：见书