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1、第十节第十节 函数的极值与最大最小值函数的极值与最大最小值本节要点本节要点 本节引入函数的极值本节引入函数的极值, 并通过函数的一阶及二阶导函并通过函数的一阶及二阶导函一、函数的极值与求法一、函数的极值与求法二、函数的最大值二、函数的最大值, 最小值及求法最小值及求法三、应用三、应用数的符号去讨论函数的极值情况数的符号去讨论函数的极值情况.一、函数的极值与求法一、函数的极值与求法定义定义 设函数设函数 在点在点 的某个邻域的某个邻域 内有定内有定 或或则称则称 是函数是函数 的一个的一个极大值（极小值）极大值（极小值）, 点点义义, 如果对任意的如果对任意的 有有是是 的一个的一个极大值点（极
2、小值点）极大值点（极小值点）; 极大值和极极大值和极小值通称为小值通称为极值极值; 极大值点和极小值点通称为极大值点和极小值点通称为极值点极值点. 值得注意的是值得注意的是: 函数的极值是一个函数的极值是一个局部性局部性的概念的概念.极小值极小值极大值极大值但是函数的驻点未必是它的极值点但是函数的驻点未必是它的极值点. 例如函数例如函数 在本章的第五节中在本章的第五节中, 费马定理指出费马定理指出: 如果函数如果函数可导可导, 并且点并且点 是它的极值点是它的极值点, 那么点那么点 是它的驻点是它的驻点,驻点驻点是函数的驻点是函数的驻点, 但不是极值点但不是极值点.定理定理1（第一充分条件）（
3、第一充分条件）在点在点 处的某个去心邻域处的某个去心邻域 内可导内可导;若若 时时, 时时 则则 在点在点 处取极大值处取极大值;若若 时时, 若若 时时, 的符号不变的符号不变, 则则 不是不是时时 则则 在点在点 处取极小值处取极小值;的极值点的极值点.设函数设函数 在点在点 处连续处连续,而而而而证证 仅就仅就进行证明进行证明, 其它情况可以相仿地证明其它情况可以相仿地证明. 由函由函而在而在 单调减少单调减少. 又函数在点又函数在点 处连续处连续, 故函故函极大值极大值数的单调性判别法数的单调性判别法, 知函数在知函数在 单调增加单调增加,数在点数在点 处取极大值处取极大值. 根据上面
4、的定理根据上面的定理, 若函数若函数 在定义域内连续在定义域内连续, 除了除了 求出导函数求出导函数 进而求出进而求出 的全部驻点和不的全部驻点和不 根据导数根据导数 在每个驻点和不可导点的左、右邻在每个驻点和不可导点的左、右邻 在极值点求出相应的函数值在极值点求出相应的函数值, 就得到函数的极值就得到函数的极值.某些点外处处可导某些点外处处可导, 则可以按照下面的步骤求出函数的则可以按照下面的步骤求出函数的极值极值: 可导点可导点;近是否变号近是否变号, 确定该点是否为极值点确定该点是否为极值点, 如果是极值点如果是极值点, 进一步确定是极大值还是极小值进一步确定是极大值还是极小值.例例1
5、求函数求函数解解 当当知函数在知函数在 处取极大值处取极大值; 又当又当所以函数在所以函数在 处取极小值处取极小值. 注意到注意到 的极值的极值.即函数的极大值为即函数的极大值为 极小值为极小值为 由判别法由判别法当当 极大值极大值极小值极小值例例2 求函数求函数解解 在上节中在上节中, 我们知道函数我们知道函数当当 时时, 的极值的极值.在在 中连续中连续, 在在中可导中可导, 且且是函数的一个极大值是函数的一个极大值; 当当所以所以 时时,当当 所以所以是函数的一个极小值是函数的一个极小值.极小值极小值极大值极大值定理定理2 （第二充分条件）设函数（第二充分条件）设函数 在点在点 的的某个
6、邻域某个邻域 内有二阶导数内有二阶导数, 且且则函数在点则函数在点 处取极值处取极值, 更有更有: 若若 则则证证 设设为极小值为极小值, 反之为极大值反之为极大值.由导数的定义由导数的定义:由极限的保号性知由极限的保号性知: 存在存在 当当 有有当当 有有再由第一充分条件再由第一充分条件, 知知 为极小值为极小值.同理可证同理可证 的情况的情况.例例3 求函数求函数解解 令令又又所以所以: 为极大值为极大值, 而而 为极小值为极小值.的极值的极值.例例4 做出函数做出函数极小值极小值极大值极大值拐点拐点导函数导函数及导函数和二阶及导函数和二阶的图形的图形, 从从而判断单调区间而判断单调区间,
7、 凹凸区间凹凸区间, 极值点和拐点极值点和拐点.例例5 求函数求函数解解 注意到函数是偶函数注意到函数是偶函数, 的单调区间的单调区间, 凹凸区间凹凸区间, 极极值值和对应曲线的拐点和对应曲线的拐点.所以所以 为极大值为极大值, 曲线的拐点为曲线的拐点为 渐进线渐进线 1.水平与垂直渐进线水平与垂直渐进线 设曲线设曲线 方程方程 若若 则曲线有则曲线有若若 则曲线有垂直渐进线则曲线有垂直渐进线:水平渐进线水平渐进线:例例6 设曲线设曲线 方程为方程为故曲线有水平渐进线故曲线有水平渐进线:又又故曲线又有垂直渐进线故曲线又有垂直渐进线: 垂直渐垂直渐进线进线 水平渐水平渐进线进线例例7 设曲线设曲
8、线 方程为方程为所以曲线有两条水平渐进线所以曲线有两条水平渐进线因为因为 水平渐水平渐进线进线注注: 垂直渐进线很多时候出现在分母为零的时候垂直渐进线很多时候出现在分母为零的时候, 但分但分母为零时母为零时 不一定构成垂直渐进线不一定构成垂直渐进线. 2.斜渐进线斜渐进线 设曲线设曲线 方程方程 若若则曲线有斜渐进线则曲线有斜渐进线:例例8 设曲线设曲线 方程为方程为故曲线有斜渐进线故曲线有斜渐进线:因为因为例例9 设曲线设曲线 方程为方程为解解 因因所以曲线有水平渐进线所以曲线有水平渐进线又又:所以曲线有垂直渐进线所以曲线有垂直渐进线:求渐进线求渐进线.例例10 设曲线方程为设曲线方程为则曲
9、线的渐进线则曲线的渐进线有有 根根.而曲线没有斜渐进线而曲线没有斜渐进线, 所以该曲线的渐进线根数为所以该曲线的渐进线根数为3. 函数作图函数作图 问题问题 设曲线设曲线 方程方程 作出函数的图形作出函数的图形.确定函数的定义域确定函数的定义域;求出函数的一阶和二阶导数求出函数的一阶和二阶导数: ;求出一阶和二阶导函数的零点及导数不存在的点求出一阶和二阶导函数的零点及导数不存在的点;划分区间划分区间, 确定在每个区间上函数的单调性和凹凸性确定在每个区间上函数的单调性和凹凸性;求出渐进线求出渐进线;求出极值和拐点求出极值和拐点;描绘出函数的大致图形描绘出函数的大致图形.例例11 作出函数作出函数
10、解解 函数的定义域为函数的定义域为 在定义域内在定义域内, 有有相应的区间为相应的区间为的大致图形的大致图形.斜渐进线斜渐进线:垂直渐进线垂直渐进线:斜渐进线斜渐进线垂直渐进线垂直渐进线例例 做出函数做出函数的大致图形的大致图形.二、最大值与最小值问题二、最大值与最小值问题 在上一目中我们讨论了函数的极值及求法在上一目中我们讨论了函数的极值及求法, 在这一目在这一目中我们讨论函数在区间中的最大值和最小值及相应的求中我们讨论函数在区间中的最大值和最小值及相应的求法法. 由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理, 我们我们知道若函数在闭区间知道若函数在闭区间 上
11、连续上连续, 则函数一定可以取到则函数一定可以取到相应的最大值和最小值相应的最大值和最小值, 但并没有给出具体的方法但并没有给出具体的方法. 这这里我们给出在一定的条件下求最大值和最小值的方法里我们给出在一定的条件下求最大值和最小值的方法. 设函数设函数 在区间在区间 上连续上连续, 除了有限个点之外除了有限个点之外,点和驻点为点和驻点为 函数函数 在区间在区间 上上 的最大值和最小值分别为的最大值和最小值分别为 则则函数可导函数可导, 并且只有有限个驻点并且只有有限个驻点. 进一步地设这些不可进一步地设这些不可导导例例12 求函数求函数 在区间在区间 上的最值上的最值.解解 显然函数显然函数
12、 在所给区间上连续在所给区间上连续, 可导可导. 又又所以所以 即函数在区间有唯一的驻点即函数在区间有唯一的驻点.因因 由此得到由此得到所以所以例例13 求函数求函数 在区间在区间 上的最大值上的最大值解解 显然函数显然函数 在所给区间上连续在所给区间上连续. 又又即在即在 内，内， 是驻点，是驻点， 是不可导点，是不可导点，和最小值和最小值.故故 是最小值是最小值, 是最大值是最大值. 例例14 将边长为将边长为 的正三角形剪去三个全等的四边形（如的正三角形剪去三个全等的四边形（如解解 盒子的高为盒子的高为 底面面积为底面面积为图所示）图所示）,当图中的当图中的 取何值时取何值时, 该盒子的
13、容积最大？该盒子的容积最大？然后将其折起然后将其折起, 做成一个无盖的正三棱柱盒子做成一个无盖的正三棱柱盒子,故相应的体积为故相应的体积为求导后并令其为零求导后并令其为零, 得得所以所以再注意到再注意到,即函数在该点取极大值即函数在该点取极大值, 又因驻点唯一又因驻点唯一, 故该点一定是故该点一定是最大值点最大值点.例例15 求椭圆求椭圆 中内接的最大矩形中内接的最大矩形, 并求相并求相应应的面积的面积.解解 设内接矩形的顶点在第一象限的坐标为设内接矩形的顶点在第一象限的坐标为 则则相应的面积为相应的面积为令令则则由由故最大矩形的最大面积为故最大矩形的最大面积为例例16 设足球门宽为设足球门宽
14、为4 在离右门柱在离右门柱6 处处, 一球员沿一球员沿解解 设问题如图所示设问题如图所示, 张角为张角为 则则 又又则则垂直于底线的方向垂直向前垂直于底线的方向垂直向前, 问他在离底线多远时可获问他在离底线多远时可获得的张角最大得的张角最大.令令: 则则由由 即当运动员离底线即当运动员离底线 时时,运动员所获得的张角为最大运动员所获得的张角为最大.例例17 设设 是两个正数是两个正数, 满足条件满足条件的最大值的最大值, 其中其中 解解 设设 在开区间在开区间 中间的最大值中间的最大值. 求导后得求导后得可知可知 是函数是函数 在区间在区间 内唯一的驻内唯一的驻是常数）是常数）, 求求（由题意
15、由题意, 需求需求点点. 显然当显然当内单调减少内单调减少, 因而因而 是函数是函数 在区间在区间 所以函数在区间所以函数在区间内的最大值内的最大值. 此时此时 而当而当 内单调增加内单调增加, 在在 通过这题的解题通过这题的解题, 我们看到我们看到, 更一般的情况是更一般的情况是: 设函数设函数 在区间在区间 （开或闭（开或闭, 有限或无限）内连有限或无限）内连续、可导（或至多在续、可导（或至多在 处不可导）处不可导）, 为为 在在 内内 若若 时时, 而而 时时,则则 为为 在区间在区间 内的最小值内的最小值. 若若 时时, 而而 时时, 则则 为为 在区间在区间 内的最大值内的最大值.的
16、一个驻点（或不可导点）的一个驻点（或不可导点）. 具有上述性质的函数在区间具有上述性质的函数在区间 内只有一个内只有一个“峰峰”或则或则一一极大值极大值极小值极小值个个“谷谷”, 这类函数在极值问题的讨论中经常出现这类函数在极值问题的讨论中经常出现.例例18 建造一个容积为建造一个容积为 的无盖圆柱形发酵池的无盖圆柱形发酵池, 解解 设圆柱体的底半径为设圆柱体的底半径为 高为高为 则面积为则面积为故总费用为故总费用为由已知条件由已知条件:已知池底每平方米造价为已知池底每平方米造价为30元元, 池壁每平方米造价为池壁每平方米造价为20元元, 问应该如何设计问应该如何设计, 能使总费用为最低能使总
17、费用为最低?代入上式得代入上式得:所以所以令其为零令其为零, 得得 又又即函数在该点取极小值即函数在该点取极小值. 也就是当也就是当 相应的造价为最小相应的造价为最小.例例19 光的折射定律光的折射定律 设在设在 轴的上下两侧有两种不同轴的上下两侧有两种不同别为别为 又设点又设点 在在内内, 点点 在在内内, 要使光线从点要使光线从点 到点到点 传播的时间最短传播的时间最短, 问光线应该通过怎样的路径问光线应该通过怎样的路径?解解 如右图所示如右图所示, 设点设点 到到 轴的距离分别为轴的距离分别为的长度为的长度为 轴的交点）轴的交点）, 由于在同一介质中由于在同一介质中, 的介质的介质和和,
18、 光在介质光在介质和介质和介质之间的传播速度分之间的传播速度分的长度为的长度为 （ 为光径路线与为光径路线与光径的最速路线为直线光径的最速路线为直线, 因此光因此光线线从从 到到 的传播路径必为折线的传播路径必为折线 其所需要的总时间其所需要的总时间 下面确定下面确定 满足什么条件时满足什么条件时, 取得最小值取得最小值. 为为此此先求先求 的导数的导数:由于由于由此可知函数由此可知函数 在在 中的零点必为函数中的零点必为函数 的极的极知知 在在 上有唯一的零点上有唯一的零点 所以所以 必是必是在在 上的极小值点上的极小值点 从而是从而是 在在 上的最小值上的最小值 小值点小值点, 而又由于而又由于 在在 上连续上连续, 及及点点, 又由于又由于 必须满足必须满足 即即记记 则有则有 其中其中 分别是光线的入射角和反射角分别是光线的入射角和反射角, 这就是著名的这就是著名的折射定律折射定律. 特别地特别地, 当当 时时, 有有
