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1、第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率随机事件随机事件事件的概率事件的概率条件概率条件概率事件的独立性事件的独立性 1 加法公式：对恣意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 该公式可推行到恣意n个事件A1,A2,An的情形. 2乘法公式：设A、B，PA0,那么 P(AB)P(A)P(B|A)上式就称为事件A、B的概率乘法公式。上式上式还可推行到三个事件的情形：可推行到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) 普通地，有以下公式：普通地，有以下公式： P(A1A2An)(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1)设A1，, An是是的一个划分，的
2、一个划分，且且P(Ai)0，(i1，n)，那么那么对任何事件任何事件B 有有 3全概率公式：全概率公式：4贝叶斯公式：叶斯公式：设A1，, An是是的一个划分的一个划分,且且P(Ai) 0，(i1,n)，那么，那么对任何事件任何事件B ,有有 设事事件件A中中所所含含样本本点点个个数数为nA,以以n记样本本空空间中中样本点本点总数，那么有数，那么有第二章第二章 随机随机变量量 随机随机变量的概念量的概念 离散型随机离散型随机变量及其分布量及其分布分布函数分布函数延延续型随机型随机变量及其分布量及其分布 随机随机变量函数的分布量函数的分布随机随机实验的的结果数量化随机果数量化随机变量量数学方法概
3、率数学方法概率问题随机随机实验结果的概率研果的概率研讨问题随机随机变量的概率分布量的概率分布问题随机变量引入的意义 关于随机变量(及向量)的研讨，是概率论的中心内容这是由于，对于一个随机实验，我们所关怀的往往是与所研讨的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观念来研讨随机景象，而随机变量那么是一种动态的观念，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的根底概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念开展为一个更高的实际体系，其根底概念是随机变量随机实验的结果数量化 定定义. 设=是是实验的的样本空本空间，假，假设量量X是是定定义在在
4、上的一个上的一个单值实函数，即函数，即对于每一个于每一个 ，有一，有一实数数X=X()与之与之对应，那么称，那么称 X=X()为随机随机变量。随机量。随机变量常用量常用X、Y、Z 等表示。等表示。变异性和随机性异性和随机性随机随机变量的特点量的特点: 1. X的全部能的全部能够取取值是互斥且完是互斥且完备的的2 .X的部分能的部分能够取取值描画随机事件描画随机事件随机随机变量的分量的分类：随机随机变量量离散型随机变量离散型随机变量(P43)(P43)定定义 假假设随机随机变量量X X取取值x1, x2, , x1, x2, , xn, xn, 且取且取这些些值的概率依次的概率依次为p1, p2
5、, , p1, p2, , pn, , pn, , 那么称那么称X X为离散型随机离散型随机变量，而称量，而称PX=xk=pk, (k=1, 2, ) PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为X X的分布律或概率分布。可表的分布律或概率分布。可表为 X X PX=xk=pk, PX=xk=pk, (k=1, 2, )(k=1, 2, )，或或 (1) pk 0, k1, 2, ;(2) 几个常用的离散型随机变量几个常用的离散型随机变量1. 两点分布两点分布 XB1，p 假假设以以X表示表示进展一次展一次实验事件事件A发生的次数，生的次数，那么称那么称X服从两点分布服从两点分布(01)分布分
6、布) X PX kpk(1p)1k, (0p1) k0，1或或两点分布来自于伯努利两点分布来自于伯努利实验，所以两点分布又称，所以两点分布又称为伯努利分布，它是最伯努利分布，它是最简单的离散型分布。的离散型分布。 假假设以以X X表示表示n n重伯努利重伯努利实验事件事件A A发生的生的次数，那么称次数，那么称X X服从参数服从参数为n,pn,p的二的二项分布。分布。记作作XBXBn,p) ,n,p) ,其分布律其分布律为： 2.二二项分布分布 二项分布是概率统计中重要的离散型分布之一，它涉及的是n重伯努利实验。也就是说各次实验是独立的，且各次实验条件是稳定的。现实生活中的许多景象程度不同地符
7、合这个条件。如产品的质量检验，从N个产品中有放回地取出n个，其中所含的次品数X就服从二项分布。例例3.3.从某大学到火从某大学到火车站途中有站途中有6 6个交通个交通岗, ,假假设在在各个交通各个交通岗能否遇到能否遇到红灯相互独立灯相互独立, ,并且遇到并且遇到红灯灯的概率都是的概率都是1/3.1/3.(1)(1)设X X为汽汽车行行驶途中遇到的途中遇到的红灯数灯数, ,求求X X的分布的分布律律. .(2)(2)求汽求汽车行行驶途中至少遇到途中至少遇到5 5次次红灯的概率灯的概率. .解解:(1):(1)由由题意意,XB(6,1/3),XB(6,1/3),于是于是,X,X的分布律的分布律为:
8、 :例例4. 某人射击的命中率为某人射击的命中率为0.02，他独立射击，他独立射击400次，试求其命中次数不少于次，试求其命中次数不少于2的概率。的概率。解：解：设X X表示表示400400次独立射次独立射击中命中的次数，中命中的次数，那么那么X XB(400, 0.02)B(400, 0.02)，故，故PXPX221 1 PX PX00P XP X111 10.984000.98400(400)(0.02)(0.98399)(400)(0.02)(0.98399)=？不能不能轻视小概率事件：一个事件小概率事件：一个事件虽然它在一然它在一次次实验中中发生的概率很小，但只需生的概率很小，但只需实
9、验次数次数足足够多，而且多，而且实验是独立是独立进展的，那么展的，那么这一一事件的事件的发生几乎是一定的。生几乎是一定的。3. 超几何分布超几何分布定义2.6 随机变量XH(n,M,N),假设随机变量X的分布律为 , k=0,1,2,l,其中l=minM,n;MN;nN, 那么称随机变量X服从超几何分布,记作XH(n,M,N).超几何分布产生于不放回抽样实验，常见于产品检验中。留留意意：超超几几何何分分布布中中，在在取取n个个产品品时，采采用用的的是是不不放放回回抽抽样方方式式，因因此此每每次次抽抽取取时，优质品品率率都都不不一一样。假假设采采用用的的是是放放回回抽抽样方方式式，那那么么每每次
10、次抽抽取取时，优质品品率率都都一一样，同同为M/N，这是是抽抽取取的的n个个产品品中中所所含含优质品品数数X就服从以就服从以n,M/N为参数的二参数的二项分布，其分布率分布，其分布率为由由此此可可见，按按有有放放回回与与不不放放回回两两种种不不同同的的抽抽取取方方式式，所所得得的的概概率率不不一一样。但但从从直直观上上分分析析，当当产品品总数数N很很大大而而抽抽取取数数n又又不不大大时，采采取取放放回回抽抽样与与不不放放回回抽抽样，每每次次抽得抽得优质品的概率相差不大。品的概率相差不大。现实上，可以上，可以证明：明：因此，当因此，当N很大而很大而n相相对于于N又又较小小时普通需普通需n/N ，
11、可可以以用用二二项分分布布近近似似替替代代超超几几何何分分布布，即：即：其其中中pM/N，q1-p，这时，可可把把不不放放回回抽抽样当当做做放回抽放回抽样处置。置。例5 某种子公司声称其运营的水稻种子的良种率高达98%.一供销人员随即表示假设恣意抽取的100粒稻种中劣种不超越1粒那么购买之,求供销人员买此稻种的概率.解 此时应进展不放回抽样.假设令X表示抽到的100粒稻种中的劣种数,那么X应服从超几何分布.但由于种子公司稻种的总数N显然很大,相比之下,100粒的抽取数是微乎其微的.从而可以为X近似地服从二项分布B(100,0.02),于是供销人员购买此稻种的概率为4. 泊松泊松(Poisson
12、)分布分布 XPXk , k0, 1, 2, (0)泊松定理泊松定理 设随机随机变量量XnB(n, p), (n0, 1, 2,), 且且n很大，很大，p很小，很小，记 =np，那么，那么 泊松定理泊松定理阐明，泊松分布是二明，泊松分布是二项分布的极限分布，分布的极限分布，当当n很大，很大，p很小很小时，二，二项分布就可近似地看成是分布就可近似地看成是参数参数 =np的泊松分布的泊松分布 而泊松分布的概率而泊松分布的概率计算算问题可可经过查泊松泊松分布表分布表见附表附表1完成。完成。 例例4. 某人射击的命中率为某人射击的命中率为0.02，他独立射击，他独立射击400次，试求其命中次数不少于次
13、，试求其命中次数不少于2的概率。的概率。解解 设X X表示表示400400次独立射次独立射击中命中的次数，中命中的次数，那么那么X XB(400, 0.02)B(400, 0.02)，故，故PXPX221 1 PX PX00P XP X111 10.984000.98400(400)(0.02)(0.98399)=(400)(0.02)(0.98399)=上题用泊松定理上题用泊松定理 取取 =np(400)(0.02)8, 故故近似地有近似地有 解解:由由题意意,X服从参数是服从参数是 的泊松分布的泊松分布例例7. 7. 某某储蓄蓄所所开开有有10001000个个资金金账户，每每户资金金101
14、0万万元元。假假设每每日日每每个个资金金账户到到储蓄蓄所所提提取取2020现金金的的概概率率为0.0060.006，问该储蓄蓄所所每每日日至至少少要要预备多多少少现金金才才干干以以9595以以上上的的概概率率满足足客客户提款的需求？提款的需求？解解 设每每日日提提取取现金金的的账户数数为X X，于于是是每每日日提提取取现金金的的总数数为2X2X万万元元。又又设储蓄蓄所所预备的的现金数金数为x x万元，由万元，由题设，应求最小的求最小的x x，使得，使得而而X X B(1000,0.006),B(1000,0.006),有有由由泊泊松松定定理理，留留意意到到 。上上述述不不等等式式可可近近似表示
15、似表示为查 的泊松分布表，得的泊松分布表，得 。即即 ，故，故储蓄所每日至少蓄所每日至少应预备2020万元万元现金。金。泊泊松松分分布布主主要要用用来来描描画画大大量量反反复复实验中中稀稀有有事事件即概率件即概率较小的事件出小的事件出现的次数。的次数。 泊泊松松分分布布是是概概率率论中中最最重重要要的的分分布布之之一一。在在实践践运运用用泊泊松松分分布布主主要要用用来来描描画画大大量量反反复复实验中中稀稀有有事事件件即即概概率率较小小的的事事件件出出现的的次次数数。如如某某时间段段中中来来到到公公用用设备前前要要求求提提供供效效力力的的人人数数、某某时间段段内内系系统发生生缺缺点点的的次次数数
16、、商商店店里里每每天天卖出出的的贵重重商商品品的的件件数数、书籍籍中中出出现的的印印刷刷错误个个数数等等。此此外外，在在管管文文科科学学中中，泊松分布也具有非常重要的位置。泊松分布也具有非常重要的位置。引例引例 什么是什么是33原那么？原那么？什么是六西格什么是六西格玛sixsigmasixsigma？2.3 分布函数分布函数 一、定义 设X是随机变量，对恣意实数x，事件Xx的概率PXx称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即 F(x)P Xx. 易知，对恣意实数a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a).分布函数完好地描画了随机变量的统计规律性二、分布函数的性二、分布函
17、数的性质 1、单调不减性：假设x1x2, 那么F(x1)F(x2); 2、归一 性：对恣意实数x，0F(x)1，且 3、右延续性：对恣意实数x，反之，具有上述三个性反之，具有上述三个性质的的实函数，必是某个函数，必是某个随机随机变量的分布函数。故量的分布函数。故该三个性三个性质是分布函是分布函数的充分必要性数的充分必要性质。普通地，普通地，对离散型随机离散型随机变量量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数其分布函数为 解解X012P0.1 0.60.3试求出求出X的分布函数。的分布函数。 例例2 向向0,1区区间随机抛一随机抛一质点，以点，以x表示表示质点坐点坐标.假定假定质点落在点
18、落在0,1区区间内任一子区内任一子区间内的概率内的概率与区与区间长成正比，求成正比，求X的分布函数的分布函数解：解： F(x)=PXx 当x1时,F(x)=1当0x1时,特别,F(1)=P0x1=k=1本质上本质上:分布函数是一个定分布函数是一个定义于全体于全体实数数集且以集且以0，1为值域的普通函数，域的普通函数，经过它可将微它可将微积分的方法引入到分的方法引入到概率概率问题的研的研讨中。中。2.4 延延续型随机型随机变量及其分布量及其分布一、概率密度一、概率密度 1. 定义 对于随机变量X，假设存在非负函数f(x)，(-x+)，使对恣意实数x，都有那么称那么称X为延延续型随机型随机变量，量
19、， f(x)为X的概的概率密度函数，率密度函数，简称概率密度或密度函数称概率密度或密度函数. 常常记为X f(x) , (-x+)密度函数密度函数fx的几何意义为反映了点的几何意义为反映了点x附近所附近所分布的概率的疏密程度，分布的概率的疏密程度， fx本身并非概率，本身并非概率，但它决议随机变量但它决议随机变量X落入区间落入区间a,b的概率大小的概率大小2. 密度函数的性质 (1) 非负性 f(x)0，(-x)； (2)归一性性性质(1)、(2)是密度函数的充要性是密度函数的充要性质； (3) 假设x是f(x)的延续点，那么4 4 对恣意恣意实数数b b，假，假设X X f(x) f(x)，
20、(- (-xx) )，PX=bPX=b0 0。于是于是5 5延延续型随机型随机变量量X X的分布函数的分布函数F(x)F(x)也是延也是延续函数函数二、几个常用的延续型分布二、几个常用的延续型分布1.均匀分布均匀分布2. 假假设Xf(x) 那么称那么称X在在(a, b)内服从均匀分布。内服从均匀分布。记作作 XU(a, b) 对恣意恣意实数数c, d (acd0的指数分布。的指数分布。其分布函数其分布函数为指数分布是关于寿命和随机效力指数分布是关于寿命和随机效力系系统中的等候中的等候时间一一类随机随机变量量的概率模型，它具有无的概率模型，它具有无记忆性。性。即即其中其中s0,t0其中其中 为实
21、数，数， 0 ，那么称，那么称X服从参数服从参数为 , 2的正的正态分布分布,记为N(, 2)，可表，可表为XN(, 2).假设随机变量3. 正态分布 (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称； 称为位置参数f()maxf(x) 正态分布有两个特性：正态分布有两个特性：4.规范正态分布 参数0，21的正态分布称为规范正态分布，记作XN(0, 1)。分布函数表示分布函数表示为其密度函数表示其密度函数表示为普通的概率统计教科书均附有规范正态分布表普通的概率统计教科书均附有规范正态分布表供读者查阅供读者查阅(x)的值。的值。(P311附表附表2) ，假设，假设ZN0，1,0.5)=0.6915,P
22、1.32Z3 |X|3 的的值. . 如在如在质量控制中，常用量控制中，常用规范目的范目的值33 作两条作两条线，当消，当消费过程的目的察看程的目的察看值落在落在两两线之外之外时发出警出警报. .阐明消明消费出出现异常异常. . 即使用即使用这一性一性质所引起的偏向概率所引起的偏向概率还不不到千分之三。到千分之三。六西格六西格玛6 ，six sigma是当今世界最先是当今世界最先进的的质量管理方量管理方法。法。数理数理统计学在学在质量管理体系中量管理体系中的运用的运用6管理关注管理关注过程，特程，特别是企是企业为市市场和和顾客提供价客提供价值的中心的中心过程。程。由于由于过程才干用程才干用来度
23、量后，来度量后，越越大，大，过程的程的动摇越小，越小，过程以最程以最低的本低的本钱损失、最短的失、最短的时间周期、周期、满足足顾客要求的才干就越客要求的才干就越强。为了到达了到达6，首先要制定，首先要制定规范，范，在管理中随在管理中随时跟踪考核操作与跟踪考核操作与规范的偏向，不断改良，最范的偏向，不断改良，最终到达到达6。现己构成一套使每个己构成一套使每个环节不不断改良的断改良的简单的流程方式：界定、的流程方式：界定、丈量、分析、改良、控制。丈量、分析、改良、控制。6个西格个西格玛3.4失失误/百万百万时机机意味着杰意味着杰出的管理，出的管理，强大的大的竞争力和忠争力和忠实的客的客户 5个西格
24、个西格玛230失失误/百万百万时机机优秀的管秀的管理、很理、很强的的竞争力和比争力和比较忠忠实的客的客户 4个西格个西格玛6,210失失误/百万百万时机意味着机意味着较好的管理和运好的管理和运营才干，称心的客才干，称心的客户 3个西格个西格玛66,800失失误/百万百万时机意味着机意味着平平平平经常的管理，缺乏常的管理，缺乏竞争力争力 2个西格个西格玛308,000失失误/百万百万时机意味机意味着企着企业资源每天都有三分之一的浪源每天都有三分之一的浪费 1个西格个西格玛690,000失失误/百万百万时机每天机每天有三分之二的事情做有三分之二的事情做错的企的企业无法生存无法生存 西格玛程度西格玛
25、程度例 一种电子元件的运用寿命小时服从正态分布(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：运用的最初90小时内无一元件损坏的概率.解:设Y为运用的最初90小时内损坏的元件数,故那么YB(3,p)其中正正态分布是最重要的延分布是最重要的延续型分布，型分布，实际证明，凡一随机景象是明，凡一随机景象是许多多随机要素共同作用的随机要素共同作用的总和，各随和，各随机要素所起的作用是均匀的，没机要素所起的作用是均匀的，没有哪个要素起主有哪个要素起主导作用，那么作用，那么这个随机景象的概率模型就是正个随机景象的概率模型就是正态分布。于是，可以看作或近似分布。于是，可以看作
26、或近似地看作正地看作正态分布的随机分布的随机变量广量广泛地存在于客泛地存在于客观世界中。世界中。2.5 2.5 随机随机变量函数的分布量函数的分布设X为一随机一随机变量，量， g(x)是是实数集合数集合D上的延上的延续实值函数，假函数，假设X的全部能的全部能够取取值都落在都落在D上，上，那么那么X的函数的函数g(X)也是一随机也是一随机变量，称量，称g(X为随机随机变量量X的函数的函数设X一个随机一个随机变量，分布律量，分布律为 XPXxkpk, k1, 2, 假假设yg(x)是一是一单值实函数，那么函数，那么Yg(X)也是也是一个随机一个随机变量。求量。求Y的分布律的分布律.例例:知知XPk
27、-1 0 1求：求：Y=X2的分布律的分布律YPk1 0 或或 Yg(X)PYg(xk)pk ， k1, 2, 其中其中g(xk)有一有一样的，其的，其对应概率合并。概率合并。普通地普通地XPkY=g(X) 1、普通方法 假设Xf(x), - x +, Y=g(X)为随机变量X 的函数，那么可先求Y的分布函数 FY (y) PYyP g(X) y 然后再求然后再求Y的密度函数的密度函数此法也叫此法也叫“ 分布函数法分布函数法二、延续型随机变量函数的密度函数二、延续型随机变量函数的密度函数当y0时当0y1时当y1时 2、公式法：普通地 假设XfX(x), y=g(x)是单调可导函数，那么 注：注：1 1 只需当只需当g(x)g(x)是是x x的的单调可可导函数函数时，才可用以上公式推求才可用以上公式推求Y Y的密度函数。的密度函数。2 2 留意定留意定义域的域的选择其中h(y)为yg(x)的反函数.的概率密度关于x严单,反函数为故例例4 4 设XU(0,1),XU(0,1),求求Y=ax+bY=ax+b的概率密度的概率密度.(a0).(a0)解解: Y=ax+b关于关于x严单,反函数反函数为故而故第二章 小结.第二章 小结.学会查两个附表：1、泊松分布函数值表2、规范正态分布函数值表
