五章离中趋势测量法

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1、第五章第五章 离中趋势测量法离中趋势测量法 主要内容主要内容：（：（1 1）变异指标；）变异指标； （2 2）全距和四）全距和四分位差；分位差； （3 3）平均差、标准差和标准分；）平均差、标准差和标准分； （4 4）绝对离势和相对离势；（绝对离势和相对离势；（5 5）偏度（及峰度）。）偏度（及峰度）。化烹沏臃锭籍笋快蚊拷危辟莹倚驹荔惮兢境易似缺赃叠浙何压夜殆游颐盂五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/20241 所谓离中趋势，是指数列中各变量值之间的差距和离散程度。离势小，平均数的代表性高；离势大，平均数代表性低。 例如有例如有A A、B B、C C、D D四组学生各四组学生各5 5

2、人的成绩如下：人的成绩如下： A A组：组：60 60 ，6060，6060，6060，6060 B B组：组：5858，5959，6060，6161，6262 C C组：组：4040，5050，6060，7070，8080 D D组：组：8080，8080，8080，8080，8080 数据显示，平均数相同，离势可能不同；平均数据显示，平均数相同，离势可能不同；平均数不同，离势可能相同。数不同，离势可能相同。凄甘悼起视洱持虱扩狂桑亲枢很淬杉对丽芭晕挟孺尝绪湘滞睁迷驰瓮谗帖五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/20242 变异指标如按数量关系来分有以下两类；n n凡用绝对数来表达的变异

3、指标，统称绝对离势凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势; ;n n凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势; ;主要有极差、平均差、四分位差、标准差等。主要有异众比率、标准差系数、平均差系数和一些常用的偏态系数。 变异指标变异指标用以反映总体各单位标志值的变动范围或参用以反映总体各单位标志值的变动范围或参差程度，与平均指标相对应，从另一个侧面反映了总体的差程度，与平均指标相对应，从另一个侧面反

4、映了总体的特征。特征。 则性剁矗扶参里棉依遗桶竟柴衅壬荔凛训腹韦渗虎隐倒但儒部哥迷媒浙犁五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/20243第一节第一节 全距与四分位差全距与四分位差1. 1.全距全距全距全距(Range)(Range) R =X R =Xmaxmax X Xminmin 例 求74，84，69，91，87，74，69这些数字的全距。 解 把数字按顺序重新排列：69，69，74，74，84，87，91，显然有 R =X R =Xmaxmax X Xminmin 916991692222全距（全距（全距（全距（R R）：最大值和最小值之差。也叫）：最大值和最小值之差。也叫）：

5、最大值和最小值之差。也叫）：最大值和最小值之差。也叫极差极差极差极差。全全全全距越大，表示变动越大。距越大，表示变动越大。距越大，表示变动越大。距越大，表示变动越大。适爸寐抡撵饶荔朔振妻击彬韩涨荒涂宁奶手呢恒驻氏曳惯毗卸芥拉济沥涵五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/20244 运用上述方法计算左边数列的全距对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距：对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距：对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距：对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距： （1 1）用组值最大组的组中值减去最小组的组中值）用组值最大组的组中值减去最小组的组中值 （2 2）用组

6、值最大组的上限减去最小组的下限）用组值最大组的上限减去最小组的下限 （3 3）用组值最大组的组中值减去最小组的下限；）用组值最大组的组中值减去最小组的下限；或最大组的上限减去最小组的组中值或最大组的上限减去最小组的组中值氰涂淹树天垄徐首恫非疫烛荆螺禹登劫儿膊辆绎品襄搞袁云勋锅向组阿磅五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/20245优点：优点：缺点：缺点：计算简单、计算简单、计算简单、计算简单、直观。直观。直观。直观。 （1 1）受极端值影响大；）受极端值影响大；）受极端值影响大；）受极端值影响大； （2 2） 没有量度中间各个单位间没有量度中间各个单位间没有量度中间各个单位间没有量度中

7、间各个单位间的差异性，数据利用率的差异性，数据利用率的差异性，数据利用率的差异性，数据利用率 低，信息丧低，信息丧低，信息丧低，信息丧失严重；失严重；失严重；失严重； （3 3）受抽样变动影响大，大样）受抽样变动影响大，大样）受抽样变动影响大，大样）受抽样变动影响大，大样本全距比小样本全距大。本全距比小样本全距大。本全距比小样本全距大。本全距比小样本全距大。圣实蠕狞万泞村槽宴烷早品靖冻港获羞晴昌吵萨数嵌薛新坠环遵蒙夷凭潍五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/202462. 2.四分位差四分位差四分位差四分位差(Quartile deviation)(Quartile deviation

8、) 第三四分位数和第一四分位数的半距。第三四分位数和第一四分位数的半距。第三四分位数和第一四分位数的半距。第三四分位数和第一四分位数的半距。避免全距受极端值影响大的缺点。避免全距受极端值影响大的缺点。避免全距受极端值影响大的缺点。避免全距受极端值影响大的缺点。 求下列两组成绩的四分位差：求下列两组成绩的四分位差：求下列两组成绩的四分位差：求下列两组成绩的四分位差：A: 78 80 82 85 89 87 90 86 79 88 84 81A: 78 80 82 85 89 87 90 86 79 88 84 81B: 55 68 78 88 99 100 98 90 85 83 84 81B:

9、 55 68 78 88 99 100 98 90 85 83 84 81 请大家计算一下，看能否算对郴仪径敲烬雷政搁横盾焰募赎惨函洞琉置墒英潮深需锨杂存役焕握妥顶床五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/20247第二节第二节 平均差平均差(Mean absolute deviation) 要测定变量值的离中趋势，尤其是要测定各变量值相对于平均数的差异情况，一个很自然的想法就是计算各变量值与算术平均数的离差。平均差是平均差是平均差是平均差是离差绝对值的离差绝对值的离差绝对值的离差绝对值的算术平均数。算术平均数。算术平均数。算术平均数。 1. 1.对于未分组资料对于未分组资料对于未分组资

10、料对于未分组资料 2. 2.对于分组资料对于分组资料对于分组资料对于分组资料 3. 3.平均差的性质平均差的性质平均差的性质平均差的性质 在受抽样变动、极端值影响，在受抽样变动、极端值影响，在受抽样变动、极端值影响，在受抽样变动、极端值影响，处理不确定组距方面均同于算术平处理不确定组距方面均同于算术平处理不确定组距方面均同于算术平处理不确定组距方面均同于算术平均数；不适于代数运算，其理论意均数；不适于代数运算，其理论意均数；不适于代数运算，其理论意均数；不适于代数运算，其理论意义不易阐述。义不易阐述。义不易阐述。义不易阐述。胁氮别淀挟七斥迈宗儒比筋袍权私窑蔡败柔睛阑凿曹恭仇茄撩灯呀迫攻葱五章离

11、中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/20248 例例例例1 1 试分别以算术平均数为基准，求试分别以算术平均数为基准，求试分别以算术平均数为基准，求试分别以算术平均数为基准，求8585，6969，6969，7474，8787，9191，7474这些数字的平均差。这些数字的平均差。这些数字的平均差。这些数字的平均差。 例例例例2 2 试以算术平均数为基准，求下表所示数据试以算术平均数为基准，求下表所示数据试以算术平均数为基准，求下表所示数据试以算术平均数为基准，求下表所示数据的平均差。的平均差。的平均差。的平均差。 计算左边数列的平均差脓鸳胎八逃勿刘榴淖鹏友坡窟曼遮闸椽丙肛忆硫涕遂募弦位备微

12、恼甩扦莫五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/20249第三节第三节 标准差标准差（standard deviation) 各变量值对其算术平均数的离差平方各变量值对其算术平均数的离差平方各变量值对其算术平均数的离差平方各变量值对其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，的算术平均数的平方根，的算术平均数的平方根，的算术平均数的平方根，均方差，均方差，又称又称又称又称用用用用S S表示。表示。表示。表示。 即克服平均差带有绝对值的缺点，即克服平均差带有绝对值的缺点，即克服平均差带有绝对值的缺点，即克服平均差带有绝对值的缺点，又保留其综合平均的优点。又保留其综合平均的优点。又保留其综合

13、平均的优点。又保留其综合平均的优点。1. 对于未分组资科对于未分组资科 谎擒损唤赫艰蜜西坑嘴汤肉假峡碟忻度猎壁痉苹贵蹦远泡便焙消怎吉阐毒五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/202410 求72、81、86、69、57这些数字的标准差。散捻气休囚恫钙催庐劳荔常短园蓄窝吗知稀机呸乡鉴丝烟特饼议瘴施稗宴五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/2024112. 2. 对于分组资料对于分组资料对于分组资料对于分组资料 计算左边数列的标准差轰法娩位煮亭厨蛆琴刊蠢锥旨准秀瑰墓枯殆跋左促唇旭恿悸上傣铁闯吞潞五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/202412 计算左边数列的标准差 例例例

14、例 调查大一男生调查大一男生调查大一男生调查大一男生6060人的身高情况如下表所示，求人的身高情况如下表所示，求人的身高情况如下表所示，求人的身高情况如下表所示，求他们身高的标准差。他们身高的标准差。他们身高的标准差。他们身高的标准差。搪狞扩陇板肩弯蜕粉刮远汪简庭食漱幅唉报锹裁炙舟礼蛀布捕廖绍试角宽五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/202413 解解解解 因为是分组资料，计算标准差运用加权式，并因为是分组资料，计算标准差运用加权式，并因为是分组资料，计算标准差运用加权式，并因为是分组资料，计算标准差运用加权式，并参见下表参见下表参见下表参见下表簿齐酸揩彬烙夯蔗麦粹的怔糜疗坤斑桩枯糙

15、逗弃翰絮噶听惩坚枢聚化湖恕五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/202414 标准差是反映总体各单位标志值的离散状况和差异程度的最佳测度。 （1）以算术平均数为基准计算的标准差比以其他任何数值为基准计算的标准差要小。“ “最小二乘方最小二乘方最小二乘方最小二乘方” ”性质性质性质性质各变量值对算术平均数的离差的平方和，必定小于他们对任何其他数偏差的平方和。 （2）它将总体中各单位标志值的差异全包括在内，受抽样变动影响小。但在受极端值影响以及处理不确定组距方面，缺点同算术平均数。 值得注意的是，在推论统计中我们将发现，方差是比标准差更有理论价值的概念。所谓方差，即标准差的平方，它直接写成

16、 。 也常被称为变异数。 3. 3. 标准差的性质标准差的性质标准差的性质标准差的性质望迁反娱剁簧冲戍苏舷元减商森缓汾带旦享崩魏偶桌硬鼓肯粪垒赦洛歧悯五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/2024154.4.标准分标准分标准分标准分(standard score)(standard score) 以离差和标准差的比值来测定变量以离差和标准差的比值来测定变量以离差和标准差的比值来测定变量以离差和标准差的比值来测定变量 与与与与 的相的相的相的相对位置。使原来不能直接比较的离差标准化，可以相对位置。使原来不能直接比较的离差标准化，可以相对位置。使原来不能直接比较的离差标准化，可以相对位置。

17、使原来不能直接比较的离差标准化，可以相互比较，加、减、平均。互比较，加、减、平均。互比较，加、减、平均。互比较，加、减、平均。 （1 1）Z Z是和是和是和是和X X一一对应的变量值；一一对应的变量值；一一对应的变量值；一一对应的变量值； （2 2）Z Z分数没有单位，是一个不受原资分数没有单位，是一个不受原资分数没有单位，是一个不受原资分数没有单位，是一个不受原资料单位影响的相对数，所以可以用于不同单料单位影响的相对数，所以可以用于不同单料单位影响的相对数，所以可以用于不同单料单位影响的相对数，所以可以用于不同单位资料的比较；位资料的比较；位资料的比较；位资料的比较； （3 3）Z Z分数实

18、际表达了变量值距总体均分数实际表达了变量值距总体均分数实际表达了变量值距总体均分数实际表达了变量值距总体均值有几个标准差。值有几个标准差。值有几个标准差。值有几个标准差。凄集侵扼攀洼脾院撬喻意潦奈哩窘微陷徒变轻秆宙砧耻喜惮艺彬后色胆牡五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/202416 Z Z分数也有标准正态变量之称。按分数也有标准正态变量之称。按分数也有标准正态变量之称。按分数也有标准正态变量之称。按Z Z值大小编制值大小编制值大小编制值大小编制出的正态分布表，其用途十分广泛。出的正态分布表，其用途十分广泛。出的正态分布表，其用途十分广泛。出的正态分布表，其用途十分广泛。 Z Z分数的

19、性质：分数的性质：分数的性质：分数的性质：Z Z Z Z分数之和等于分数之和等于分数之和等于分数之和等于0 0 0 0Z Z分数的算术平均数等于分数的算术平均数等于分数的算术平均数等于分数的算术平均数等于0 0Z Z分数的标准差等于分数的标准差等于分数的标准差等于分数的标准差等于1 1，方差也等于，方差也等于，方差也等于，方差也等于1 1隋仰毁跪掖寺提蔫漓槐遁斗锐帛澄飘足泊员讲趾恨亦嫡框叹下菠期既浓吓五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/202417第四节第四节 相对离势相对离势 上述各种反映离中趋势的变异指标，都具有和原资料相同的计算单位，称绝对离势。但欲比较具有不同单位的资料的参差

20、程度，或比较单位虽相同而均值不相同的资料的参差程度，离势的绝对指标则很可能导致某些错误结论。所以，我们还得了解和学习相对离势。 1. 1. 变异系数变异系数 绝对离势统计量与其算术平均数的比率，用绝对离势统计量与其算术平均数的比率，用V V表示。变异系数是最具有代表性的相对离势。表示。变异系数是最具有代表性的相对离势。烧军杉讯芦隔肯绝滔蔚畏据耍山吟沈抿熬急诈巴亦蛋扫姑苔颊惹蜂毁试驹五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/202418n全距系数 全距系数是众数据的全距与其算术平均数之比，其计算公式是n平均差系数 平均差系数是众数据的平均差与其算术平均数之比，其计算公式是n标准差系数 标准差

21、系数是众数据的标准差与其算术平均数之比，其计算公式是场妊办脏含脆鞘莆峦培嗣晴涎救蟹吱汛证喷熊馈睡阶流捶鳃舍逛礼拖料尧五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/202419 2. 异众比率 所谓异众比率，是指非众数的频数与总体单位数的比值，用V RV R来表示 其中： 为众数的频数； 是总体单位数 异众比率能表明众数所不能代表的那异众比率能表明众数所不能代表的那一部分变量值在总体中的比重。一部分变量值在总体中的比重。田焕绣的浩异旁牛缸拿鱼泌孺键懊捡罚佩从狡捍搐杯侯量他凰耿踞台帘决五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/202420 例1：某项调查发现，现今三口之家的家庭最多（32%），

22、求异众比率。某开发商根据这一报导，将房屋的户型大部分都设计为适合三口之家居住的样式和面积，你认为如何呢？ 例2：设为测体重，得到成人组和婴儿组各100人的两个抽样总体。成人组平均体重为65千克，全距为10千克；婴儿组平均体重为4千克，全距为2.5千克。能否认为成人组体重的离势比婴儿组体重的离势大？ 例3：对一个群体测量身高和体重，平均身高为170.2厘米，身高标准差为5.30厘米；平均体重为70千克，体重标准差为4.77千克。比较身高和体重的离散程度。缔堂粒彝烟甄戳痰呜铰幢挛妆督酱阵眩冗缚屿歉妥爆守问既纪竖贩抗抑弟五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/2024213. 3. 偏态系数偏

23、态系数 我们在前面讨论统计图时已经对频数分布的正态我们在前面讨论统计图时已经对频数分布的正态我们在前面讨论统计图时已经对频数分布的正态我们在前面讨论统计图时已经对频数分布的正态和和和和偏态有所认识。我们又看到了算术平均数与中位数、众偏态有所认识。我们又看到了算术平均数与中位数、众偏态有所认识。我们又看到了算术平均数与中位数、众偏态有所认识。我们又看到了算术平均数与中位数、众数之间存在的关系：当总体呈对称分布时，、数之间存在的关系：当总体呈对称分布时，、数之间存在的关系：当总体呈对称分布时，、数之间存在的关系：当总体呈对称分布时，、三者完全相等；当总体呈不对称的偏态分布时，它们之三者完全相等；当

24、总体呈不对称的偏态分布时，它们之三者完全相等；当总体呈不对称的偏态分布时，它们之三者完全相等；当总体呈不对称的偏态分布时，它们之间存在着数量间存在着数量间存在着数量间存在着数量( ( ( (位置位置位置位置) ) ) )的差异。因此，偏态可由的差异。因此，偏态可由的差异。因此，偏态可由的差异。因此，偏态可由与与与与的差来表示，即的差来表示，即的差来表示，即的差来表示，即 为了使不同数列的偏态值可比，同样可计算偏态的相为了使不同数列的偏态值可比，同样可计算偏态的相为了使不同数列的偏态值可比，同样可计算偏态的相为了使不同数列的偏态值可比，同样可计算偏态的相对数，即偏态系数，用对数，即偏态系数，用对数，即偏态系数，用对数，即偏态系数，用来表示来表示来表示来表示昧坑忙扔漆方酷挠空蚕缸气官促永廖唇逢为遣伟蜜揪把告俯抿锦咸霍郑啥五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/202422偏斜系数是以标准差为单位的算术平均数与众数的离差，其取值一般在0与土3间。偏斜系数为0表示对称分布，偏斜系数为或则表示极右或极左偏态。年龄人数15252535354545555565 3 7121810 讨论左边数列关于年龄的偏态和偏态系数叮涯靡皱述亨嗜莱乘钾散怜锥揉熬个夺熬庭磷霍诲涝病劣傈泛凯轻糠曰搪五章离中趋势测量法五章离中趋势测量法7/24/202423