《高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词课件4 新人教A版选修11》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词课件4 新人教A版选修11（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词【自主预习【自主预习】1.1.全称量词与全称命题全称量词与全称命题(1)(1)全称量词全称量词: :在指定范围内在指定范围内, ,表示整体或全部的含义的表示整体或全部的含义的短语短语, ,如如“_”“”“_”, ,符号符号:_.:_.(2)(2)全称命题全称命题: :含有含有_的命题叫做全称命题的命题叫做全称命题. .符符号表示号表示:_.:_.所有的所有的任意一个任意一个全称量词全称量词xM,p(xxM,p(x) )2.2.存在量词与特称命题存在量词与特称命题(1)(1)存在量词存在量词: :表示个别或一部分的含义的短语表示个别或一
2、部分的含义的短语, ,如如“_”“”“_”. .符号符号:_.:_.(2)(2)特称命题特称命题: :含有含有_的命题叫做特称命题的命题叫做特称命题. .符符号表示号表示:_.:_.存在一个存在一个至少有一个至少有一个存在量词存在量词x x0 0M,p(xM,p(x0 0) )【即时小测【即时小测】1.1.下列命题中下列命题中, ,不是全称命题的是不是全称命题的是( () )A.A.任何一个实数乘以任何一个实数乘以0 0都等于都等于0 0B.B.自然数都是正整数自然数都是正整数C.C.每一个向量都有大小每一个向量都有大小D.D.一定存在没有最大值的二次函数一定存在没有最大值的二次函数【解析【解
3、析】选选D.A,B,CD.A,B,C都是全称命题都是全称命题,D,D是特称命题是特称命题. .2.2.下列命题中的假命题是下列命题中的假命题是( () )A.A.存在实数存在实数和和,使使cos(+)=coscos+ cos(+)=coscos+ sinsinsinsinB.B.不存在无穷多个不存在无穷多个和和,使使cos(+)=coscos+ cos(+)=coscos+ sinsinsinsinC.C.对任意对任意和和,有有cos(+)=coscos-cos(+)=coscos-sinsinsinsinD.D.不存在这样的不存在这样的和和,使使cos(+)coscos-cos(+)cosc
4、os-sinsinsinsin【解析【解析】选选B.B.如如= =k=k(k(kZ Z) )时时,cos(,cos(+ +)= )= coscoscoscos+sin+sinsinsin, ,故故B B为假命题为假命题, ,其余为真命题其余为真命题. .3.3.对任意对任意x3,xax3,xa恒成立恒成立, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】对任意对任意x3,xax3,xa恒成立恒成立, ,即大于即大于3 3的数恒大于的数恒大于a,a,所以所以a a3.3.答案答案: :(-(-,3,34.4.已知命题已知命题: :“存在存在x x0 01,2,1,2,使使x
5、x0 02 2+2x+2x0 0+a0+a0”为真为真命题命题, ,则则a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】要使命题为真命题要使命题为真命题, ,则则2 22 2+2+22+a2+a0,0,即即a a-8.-8.答案答案: :-8,+-8,+) )【知识探究【知识探究】探究点探究点全称量词全称量词( (全称命题全称命题) )与存在量词与存在量词( (特称命题特称命题) )的理解的理解1.1.你能说出一些常用的全称量词和存在量词吗你能说出一些常用的全称量词和存在量词吗? ?提示提示: :全称量词全称量词: :一切、任意、任给、每一个、都是一切、任意、任给、每一个、都是( (有有)
6、 )、全体、全部、全体、全部、, ,存在量词存在量词: :有一个、有一些、有的、有一个、有一些、有的、对某个、不都是、个别的、部分、对某个、不都是、个别的、部分、. .2.2.全称命题全称命题xM,p(xxM,p(x) )为真的含义是什么为真的含义是什么? ?提示提示: :对对M M中的每一个个体中的每一个个体x,x,都具有或满足性质都具有或满足性质p(xp(x),),毫毫无例外无例外. .3.3.特称命题特称命题x x0 0M,p(xM,p(x0 0) )为真的含义是什么为真的含义是什么? ?提示提示: :在在M M的个体中的个体中, ,至少有一个至少有一个x x0 0具有或满足性质具有或满
7、足性质p(xp(x0 0),),而不是所有的个体都不具有性质而不是所有的个体都不具有性质p(xp(x).).【归纳总结【归纳总结】1.1.理解全称命题及特称命题时应关注的三点理解全称命题及特称命题时应关注的三点(1)(1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题质的命题, ,常见的全称量词还有常见的全称量词还有“一切一切”“”“每一个每一个”等等, ,相应的词语是相应的词语是“都都”. .(2)(2)有些命题省去了全称量词有些命题省去了全称量词, ,但仍是全称命题但仍是全称命题, ,如如“有有理数是实数理数是实数”, ,就是就是“所有的有
8、理数都是实数所有的有理数都是实数”. .(3)(3)特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题有某种性质的命题, ,常见的存在量词还有常见的存在量词还有“存在存在”等等. .2.2.全称命题与特称命题的区别全称命题与特称命题的区别(1)(1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质具有某一性质, ,无一例外无一例外, ,强调强调“整体、全部整体、全部”. .(2)(2)特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外例外, ,强调
9、强调“个别、部分个别、部分”. .易错警示易错警示: :通过举例验证的方式判断全称命题为真易犯通过举例验证的方式判断全称命题为真易犯以偏概全的错误以偏概全的错误. .类型一类型一全称命题与特称命题的判定全称命题与特称命题的判定【典例【典例】1.1.下列语句不是特称命题的是下列语句不是特称命题的是( () )A.A.有的无理数的平方是有理数有的无理数的平方是有理数B.B.有的无理数的平方不是有理数有的无理数的平方不是有理数C.C.对于任意对于任意xZ,2x+1xZ,2x+1是奇数是奇数D.D.存在存在x x0 0R,2xR,2x0 0+1+1是奇数是奇数2.2.判断下列语句是全称命题判断下列语句
10、是全称命题, ,还是特称命题还是特称命题: :(1)(1)凸多边形的外角和等于凸多边形的外角和等于360360. .(2)(2)有些实数有些实数a,ba,b能使能使|a-b|=|a|+|b|a-b|=|a|+|b|.|.(3)(3)对任意对任意a,bRa,bR, ,若若ab,ab,则则(4)(4)有一个函数有一个函数, ,既是奇函数既是奇函数, ,又是偶函数又是偶函数. .【解题探究【解题探究】1.1.典例典例1 1中特称命题的特征是什么中特称命题的特征是什么? ?提示提示: :含有存在量词含有存在量词, ,如如: :有的有的, ,有些等有些等. .2.2.典例典例2 2中判断一个命题是全称命
11、题中判断一个命题是全称命题, ,还是特称命题的还是特称命题的关键是什么关键是什么? ?提示提示: :关键是分清量词类型关键是分清量词类型, ,若没有量词可根据命题的若没有量词可根据命题的意义将量词补上意义将量词补上. .【解析【解析】1.1.选选C.C.因为因为“有的有的”“”“存在存在”为存在量词为存在量词, ,“任意任意”为全称量词为全称量词, ,所以选项所以选项A,B,DA,B,D均为特称命题均为特称命题, ,选项选项C C为全称命题为全称命题. .2.(1)2.(1)可以改写为可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于所有的凸多边形的外角和等于360360”, ,是全称命题是全称命题. .
12、(2)(2)含有存在量词含有存在量词“有些有些”, ,故是特称命题故是特称命题. .(3)(3)含有全称量词含有全称量词“任意任意”, ,故是全称命题故是全称命题. .(4)(4)含有存在量词含有存在量词“有一个有一个”, ,是特称命题是特称命题. .【延伸探究【延伸探究】把本例把本例1 1中的各个选项用符号中的各个选项用符号, ,表示表示: :【解析【解析】A:A: x x0 0 无理数无理数,x,x0 02 2Q.Q.B:B: x x0 0无理数无理数, x, x0 02 2 Q.Q.C:C: xZ,2x+1xZ,2x+1是奇数是奇数. .D:D: x x0 0R,2xR,2x0 0+1+
13、1是奇数是奇数. .【方法技巧【方法技巧】判断一个语句是全称命题还是特称命题判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤的步骤(1)(1)判断语句是否为命题判断语句是否为命题, ,若不是命题若不是命题, ,就当然不是全称就当然不是全称命题或特称命题命题或特称命题. .(2)(2)若是命题若是命题, ,再分析命题中所含的量词再分析命题中所含的量词, ,含有全称量词含有全称量词的命题是全称命题的命题是全称命题, ,含有存在量词的命题是特称命题含有存在量词的命题是特称命题. .(3)(3)当命题中不含量词时当命题中不含量词时, ,要注意理解命题含义的实质要注意理解命题含义的实质. .特别提醒特别提醒:
14、:全称命题可能省略全称量词全称命题可能省略全称量词, ,特称命题的存特称命题的存在量词一般不能省略在量词一般不能省略. .【拓展延伸【拓展延伸】全称命题、特称命题不同表述形式的应用全称命题、特称命题不同表述形式的应用命题命题全称命题全称命题“xM,p(xxM,p(x) )”特称命题特称命题“x x0 0M,p(xM,p(x0 0) )”表表述述方方法法所有的所有的xMxM, ,有有p(xp(x) )成成立立对一切对一切xMxM, ,有有p(xp(x) )成成立立对每一个对每一个xMxM, ,有有p(xp(x) )成立成立任选一个任选一个xMxM, ,有有p(xp(x) )成立成立凡凡xMxM,
15、 ,都有都有p(xp(x) )成立成立存在存在x x0 0M,M,使使p(xp(x0 0) )成立成立至少有一个至少有一个x x0 0M,M,使使p(xp(x0 0) )成立成立对有些对有些x x0 0M,M,使使p(xp(x0 0) )成成立立对某个对某个x x0 0M,M,使使p(xp(x0 0) )成成立立有一个有一个x x0 0M,M,使使p(xp(x0 0) )成成立立【变式训练【变式训练】设非空集合设非空集合P,QP,Q满足满足P PQ,Q,则表述正确的则表述正确的是是( () )A.A.xQxQ, ,有有xP B.xP B.xPxP, ,有有xQxQC.C.x x0 0 Q,Q,
16、使得使得x x0 0P D.P D.x x0 0P,P,使得使得x x0 0 Q Q【解析【解析】选选B.B.因为因为P P Q,Q,则由子集的定义则由子集的定义,P,P集合中的任集合中的任何一个元素都在何一个元素都在Q Q中中, ,所以选所以选B.B.类型二类型二全称命题与特称命题的真假判断全称命题与特称命题的真假判断【典例【典例】1.(20161.(2016新乡高二检测新乡高二检测) )有下列四个命题有下列四个命题: :xR,2xxR,2x2 2-3x+40;-3x+40;x1,-1,0,2x+10;x1,-1,0,2x+10;x x0 0N,xN,x0 02 2xx0 0;x x0 0N
17、N* *,x,x0 0为为2929的约数的约数. .其中真其中真命题的个数为命题的个数为( () )A.1 B.2 A.1 B.2 C.3 C.3 D.4 D.42.(20162.(2016太原高二检测太原高二检测) )已知命题已知命题p:p:x x0,x+ 4;0,x+ 4;命题命题q:q:x x0 0(0,+), (0,+), 则下列判断正确的是则下列判断正确的是( () )A.pA.p是假命题是假命题 B.qB.q是真命题是真命题C.p(C.p( q q) )是真命题是真命题 D.(D.( p)qp)q是真命题是真命题【解题探究【解题探究】1.1.全称命题和特称命题为真的含义是什全称命题
18、和特称命题为真的含义是什么么? ?提示提示: :全称命题为真必须所给范围内每一个元素都满足全称命题为真必须所给范围内每一个元素都满足后面的性质后面的性质, ,特称命题为真必须至少一个元素满足后面特称命题为真必须至少一个元素满足后面的性质的性质. .2.2.基本不等式的内容和指数函数的定义域是什么基本不等式的内容和指数函数的定义域是什么? ?提示提示: :基本不等式基本不等式:a,b:a,bR R+ +时时, , , ,指数函数的指数函数的定义域为定义域为R.R.【解析【解析】1.1.选选C.C.对于对于, ,这是全称命题这是全称命题, ,因为因为=(-3)=(-3)2 2- -4 42 240
19、,40-3x+40恒成立恒成立, ,故故为真命题为真命题; ;对对于于, ,这是全称命题这是全称命题, ,因为当因为当x=-1x=-1时时,2x+10,2x+10不成立不成立, ,故故为假命题为假命题; ;对于对于, ,这是特称命题这是特称命题, ,当当x x0 0=0=0或或x x0 0=1=1时时, ,有有x x0 02 2x x0 0成立成立, ,故故为真命题为真命题; ;对于对于, ,这是特称命题这是特称命题, ,当当x x0 0=1=1时时,x,x0 0为为2929的约数成立的约数成立, ,所以所以为真命题为真命题. .2.2.选选C.C.由基本不等式知命题由基本不等式知命题p p正
20、确正确; ;由由 知知,x,x0 0=-1,=-1,故命题故命题q q不正确不正确; ;结合逻辑联结词的含义可知应选结合逻辑联结词的含义可知应选C.C.【延伸探究【延伸探究】1.1.本例本例2 2中命题中命题p p改为改为xR(x0),x+ 4,xR(x0),x+ 4,判断其真判断其真假假. .【解析【解析】当当x xR(xR(x0)0)时时,x+ ,x+ (-(-,-4,-44,+4,+),),故命题为假命题故命题为假命题. .2.2.本例本例2 2中命题中命题q q改为改为x(0,+),2x(0,+),2x x , ,判断其真假判断其真假. .【解析【解析】当当x x(0,+(0,+) )
21、时时,2,2x x1 1 恒成立恒成立, ,所以命题为所以命题为真命题真命题. .【方法技巧【方法技巧】全称命题与特称命题的真假判断的技巧全称命题与特称命题的真假判断的技巧(1)(1)全称命题的真假判断全称命题的真假判断: :要判定一个全称命题是真命题要判定一个全称命题是真命题, ,必须对限定集合必须对限定集合M M中的中的每个元素每个元素x x验证验证p(xp(x) )成立成立; ;但要判定全称命题是假命题但要判定全称命题是假命题, ,却只要能举出集合却只要能举出集合M M中的一个中的一个x=xx=x0 0, ,使得使得p(xp(x0 0) )不成立即不成立即可可( (这就是通常所说的这就是
22、通常所说的“举出一个反例举出一个反例”).).(2)(2)特称命题的真假判断特称命题的真假判断: :要判定一个特称命题是真命题要判定一个特称命题是真命题, ,只要在限定集合只要在限定集合M M中中, ,找找到一个到一个x=xx=x0 0, ,使使p(xp(x0 0) )成立即可成立即可; ;否则否则, ,这一特称命题就是这一特称命题就是假命题假命题. .特别提醒特别提醒: :判断全称命题为假比判断其为真容易判断全称命题为假比判断其为真容易, ,只需只需一个反例即可一个反例即可; ;判断特称命题为真比判断其为假容易判断特称命题为真比判断其为假容易, ,只需一个特例只需一个特例. .【补偿训练【补
23、偿训练】1.1.下列命题的否定为假命题的是下列命题的否定为假命题的是( () )A.A.xR,-xxR,-x2 2+x-10+x-1x|xC.C.x,yZ,2x-5y12x,yZ,2x-5y12D.D.x x0 0R,sinR,sin2 2x x0 0+sinx+sinx0 0+1=0+1=0【解析】【解析】选选A.A.命题的否定为假命题亦即原命题为真命命题的否定为假命题亦即原命题为真命题题, ,只有选项只有选项A A中的命题为真命题中的命题为真命题, ,其余均为假命题其余均为假命题. .2.2.下列命题中是真命题且为特称命题的是下列命题中是真命题且为特称命题的是( () )A.A.棱柱是多面
24、体棱柱是多面体B.B.对任意对任意RR, ,函数函数f(xf(x)=sin(2x+)=sin(2x+) )都不是偶函数都不是偶函数C.C.对任意实数对任意实数x,x,有有cosx1cosx1D.D.至少有一条直线过点至少有一条直线过点(2,0)(2,0)且与圆且与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相交相交【解析】【解析】选选D.AD.A省略了全称量词省略了全称量词“所有的所有的”是全称命题是全称命题;B,C;B,C中命题都是全称命题中命题都是全称命题. .类型三类型三全称命题与特称命题的应用全称命题与特称命题的应用【典例】【典例】1.(20161.(2016雅安高二检测雅安高二检测) )若命
25、题若命题“x x0 0RR使使得得x x0 02 2+mx+mx0 0+2m+50+2m+50”为假命题为假命题, ,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是( () )A.-10,6 B.(-6,2A.-10,6 B.(-6,2C.-2,10 C.-2,10 D.(-2,10)D.(-2,10)2.(20152.(2015山东高考山东高考) )若若“x ,tanxmx ,tanxm”是真命是真命题题, ,则实数则实数m m的最小值为的最小值为_._.【解题探究】【解题探究】1.1.典例典例1 1中二次不等式解集非空时中二次不等式解集非空时, ,判别判别式应满足什么条件式应满足什么条件? ?
26、提示提示: :大于大于0.0.2.2.典例典例2 2中正切函数在中正切函数在 上的单调性是怎样的上的单调性是怎样的? ?提示提示: :增函数增函数. .【解析】【解析】1.1.选选C.C.命题命题“ x x0 0R, xR, x0 02 2+mx+mx0 0+2m+50+2m+50”为真为真时时, ,说明不等式说明不等式x x2 2+mx+2m+50+mx+2m+50,4(2m+5)0,解得解得m-2m10,m10,所以当命题为假时所以当命题为假时,m,m的取的取值范围是值范围是-2,10.-2,10.2.2.若若“ x ,tanxmx ,tanxm”是真命题是真命题, ,则则m m大于或等于
27、大于或等于函数函数y=tanxy=tanx在在 上的最大值上的最大值. .因为函数因为函数y=tanxy=tanx在在 上为增函数上为增函数, ,所以所以, ,函数函数y=tanxy=tanx在在 上的最大值为上的最大值为1.1.所以所以,m1,m1,即实数即实数m m的最小值为的最小值为1.1.答案答案: :1 1【方法技巧】【方法技巧】应用全称命题与特称命题求参数范围的应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型两类题型(1)(1)全称命题的常见题型是全称命题的常见题型是“恒成立恒成立”问题问题, ,全称命题全称命题为真时为真时, ,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有意味着命题对应的集
28、合中的每一个元素都具有某种性质某种性质, ,所以利用代入可以体现集合中相应元素的具所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质体性质; ;也可以根据函数等数学知识来解决也可以根据函数等数学知识来解决. .(2)(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存存在在”“”“不存在不存在”“”“是否存在是否存在”等语句表述等语句表述. .解答这类问解答这类问题题, ,一般要先对结论作出肯定存在的假设一般要先对结论作出肯定存在的假设, ,然后从肯定然后从肯定的假设出发的假设出发, ,结合已知条件进行推理证明结合已知条件进行推理证明, ,若推出合理若推出合理的
29、结论的结论, ,则存在性随之解决则存在性随之解决; ;若导致矛盾若导致矛盾, ,则否定了假设则否定了假设. .【变式训练】【变式训练】若若xR,f(xxR,f(x)=(a)=(a2 2-1)-1)x x是单调减函数是单调减函数, ,则则a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】依题意有依题意有: :0a0a2 2-11-11 - a-1- a-1或或1a .1a0),-2x,g(x)=ax+2(a0),x x1 1-1,-1,2,2,x x0 0-1,2,-1,2,使使f(xf(x1 1)=g(x)=g(x0 0),),则则a a的取值范围的取值范围是是( )( )A. B. A.
30、B. C.3,+) D.(0,3)C.3,+) D.(0,3)【失误案例】【失误案例】分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. .提示提示: :错误的根本原因是对错误的根本原因是对“ x x1 1-1,2,-1,2, x x0 0-1,2,-1,2,使使f(xf(x1 1)=g(x)=g(x0 0) )”理解错误理解错误, ,由由x x1 1的任意性和的任意性和x x0 0的存在性可知的存在性可知: :对对f(xf(x) )的每一个函数值的每一个函数值, ,都存在一个都存在一个g(xg(x) )的函数值与其相等的函数值与其相等, ,所以函数所以
31、函数f(xf(x) )的值域应是函数的值域应是函数g(xg(x) )值域的子集值域的子集. .正确的解答过程如下正确的解答过程如下: :【解析】【解析】选选C.C.由于函数由于函数f(xf(x) )在定义域在定义域-1,2-1,2内是任意内是任意取值的取值的, ,且必存在且必存在x x0 0-1,2-1,2使得使得f(xf(x1 1)=g(x)=g(x0 0),),因此问题等价于函数因此问题等价于函数f(xf(x) )的值域是函数的值域是函数g(xg(x) )值域的子值域的子集集. .函数函数f(xf(x) )的值域是的值域是-1,3,-1,3,函数函数g(xg(x) )的值域是的值域是2-a, 2-a, 2+2a,2+2a,则有则有2-a-12-a-1且且2+2a3,2+2a3,即即a3.a3.
