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1、第六章第六章 定积分定积分第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 第二节第二节 定积分的计算定积分的计算 第三节第三节 定积分的应用定积分的应用 第四节第四节 广义积分初步广义积分初步 补充补充第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 一一.定积分的概念定积分的概念1.求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积曲曲边边梯梯形形：三三边边为为直直线线，其其中中有有两两边边相相互互平平行行且且与与第第三三边边垂垂直直（底底边边），第第四四边边是是一一条条曲曲线线，它它与与垂垂直直于于底底边边的的直直线线至至多多有有一一个个交交点（这里不排除某直线缩成一点）点（这里不排除某直线缩成一点）
2、. .曲边梯形求由连续曲线求由连续曲线与直线与直线及及轴所围曲轴所围曲边梯形的面积边梯形的面积.abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）阿基米德运用这种方法，求得抛物线阿基米德运用这种方法，求得抛物线 与与x x轴轴及直线及直线 x x =1 =1 所围成的平面图形面积的近似值所围成的平面图形面积的近似值. . 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积 首先，我们重复阿基米德的做法：首先，我们重复阿基米德的做法： 分
3、割分割代替代替求和求和得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程，求出曲边梯形的精确值程，求出曲边梯形的精确值. .第一步：分划第一步：分划任意引入分点任意引入分点第二步：代替第二步：代替对每个小曲边梯形均作上述的代替对每个小曲边梯形均作上述的代替第三步：求和第三步：求和第四步：取极限第四步：取极限例例1 求由求由与与轴所围成轴所围成 的图形的面积的图形的面积.及在在中任意插入中任意插入个分点个分点:任取任取作和作和观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示
4、过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与
5、曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系2.求做变速直线运动的物
6、体走过的路程求做变速直线运动的物体走过的路程(1)分割分割(2)代替代替(3)求和求和(4)取极限取极限已知已知求求3.定义定义 设设是定义在是定义在上的有界函数上的有界函数,在在中任意插入中任意插入个分点个分点:将将分成分成个区间个区间区间长区间长记记任取任取作和作和令令如果极限如果极限存在存在,且与且与的分法及的分法及的取法无关的取法无关.为函数为函数上的定积分上的定积分.记作记作:则称则称在区间在区间上可积上可积,并称该极限值并称该极限值在区间在区间注：注： (1)定积分与积分变量符号无关定积分与积分变量符号无关.(2)可积条件可积条件:(无界不可积无界不可积)（3）交换积分上、下限，定
7、积分改变符号。二二.定积分的性质定积分的性质性质性质1证证前提前提:在所讨论区间上可在所讨论区间上可积积补充补充性质性质2证证推论推论:性质性质3时:在内插入个分点:将分成份,不妨设注注 :此性质称为积分在区间上的可加性此性质称为积分在区间上的可加性.当当时时:故故同理可证时结论仍成立时结论仍成立.注: 定积分的几何意义(1)时(2)时符号不定时(3)性质性质4(保号保号性性)如果在区间如果在区间上恒有上恒有则则证证故故推论推论在区间在区间上可积上可积,且且如果如果则则证证因因则则故故例例2 不计算定积分不计算定积分,比较下列积分大小比较下列积分大小与与与与解解(1)因因故故(2)因因故故例例
8、3 设设在在上连续上连续,且且如果如果求证求证:证证 因因且且则至少存在一点则至少存在一点使使又因又因连续连续则在则在内内在在故命题成立故命题成立.2009考研考研在区间在区间上图形为：上图形为：则则如果如果的图形为：的图形为：性质性质4 (保号保号性性)如果在区间如果在区间上恒有上恒有则则证证故故(改进改进)且且因因且且即即性质性质5证证因因则则故故代数和代数和性质性质6 (估值定理估值定理)在区间在区间上对任意上对任意如果如果恒有恒有则则证证因因则则故故例例4 求证求证证证 设设则则故故在在上单调递减上单调递减所以所以从而从而故故性质性质7(简单积分中值定理简单积分中值定理)在区间在区间则
9、至少存在则至少存在如果如果使得使得上连续上连续,一点一点证证 因因在区间在区间上连续上连续故故在在上取到最大值上取到最大值最小值最小值从而从而所以所以故至少存在一点故至少存在一点使得使得:注注 (1)几何意义几何意义:当当时时,在在上所围成的图形的面积等于上所围成的图形的面积等于 以以为底为底以以为高的矩形的为高的矩形的 面积面积.(2) 称称为为在在上的平均值上的平均值.(3)在某些理论证明中在某些理论证明中,使用该定理可使用该定理可将积分号去掉将积分号去掉.即即补充例题补充例题:(2003年考研真题年考研真题8分分)设某商品从时刻设某商品从时刻0到时刻到时刻 的销售量为的销售量为欲在欲在时
10、将数量为时将数量为的商品销售完的商品销售完,试求试求:(1)时的商品剩余量时的商品剩余量,并确定并确定(2)在时间段在时间段上的平均剩余量上的平均剩余量.解解 (1)的值的值;时的商品剩余量时的商品剩余量由由得得(2)即补充例题补充例题:设设在在上连续上连续,在在二阶可导且有二阶可导且有及及内内证明存在证明存在使得使得证证性质性质7(推广积分中值定理推广积分中值定理)在区间在区间且且如果如果使得使得上连续上连续,存在一点存在一点与与在在上不变号上不变号, 则至少则至少补充定理补充定理如果函数在闭区间在闭区间上一定有最大值和最小值.上连续,使得使得存在一点存在一点则至少则至少同理可证时,结论仍成立.
