九年级数学圆的知识点总结大全 2

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1、九年级数学圆的知识点总结大全九年级数学圆的知识点总结大全 2 2九年级数学圆的知识点总结大全 2第四章： 圆一、知识回顾圆的周长：C=2r 或 C=d、圆的面积：S=r圆环面积计算方法：S=R-r 或 S=（R-r）(R 是大圆半径，r 是小圆半径）三、知识要点一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心

2、的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 dr 点 C 在圆内；2、点在圆上 dr 点 B 在圆上；3、点在圆外dr 点 A 在圆外；三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 dr 无交点；2、直线与圆相切 dr 有一个交点；3、直线与圆相交

3、dr 有两个交点； ArBdCdOrdd=rrd四、圆与圆的位置关系第 1页 共 9页外离（图 1）无交点 dRr；外切（图 2）有一个交点 dRr；相交（图 3）有两个交点 RrdRr；内切（图 4）有一个交点 dRr；内含（图 5）无交点 dRr； dR 图 1rRdr 图 2dR 图 3r d五、垂径定理图 4RrdrR 图 5 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个

4、定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它 3 个结论，即：AB 是直径ABCDCEDE弧 BC 弧 BD弧 AC 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O 中，ABCD弧 AC 弧 BD六、圆心角定理 2 DOED 顶点到圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：AOBDOE；ABDE；OCOF；弧 BA 弧 BD七、圆周角定理顶

5、点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB 和 ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O 中，C、D 都是所对的圆周角CD第 2页 共 9页推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O 中，AB 是直径或C90C90AB 是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC 中，OCOAOBABC 是直角三角形或 C90注：此

6、推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 BOA 即：在O 中，四边形 ABCD 是内接四边形EC 九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA 且 MN 过半径 OA 外端MN 是O 的切线 OCDBAE（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆

7、心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB 是的两条切线PAPB O 平分 BPA A 十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：第 3页 共 9页在O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，D（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 B 两条线段的比例中项。即：在O 中，直径 ABCD，CEAEBE 2OEDA（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的

8、比例中项。即：在O 中，PA 是切线，PB 是割线PAPCPB 2（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。即：在O 中，PB、PE 是割线E 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦。如图：O1O2 垂直平分 AB。即O1、O2 相交于 A、B 两点O1O2 垂直平 AB 十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：RtO1O2C 中，O1O22CO22； （2）外公切线长：CO2 是半径之差；内公切线长：CO2 是半径之和。十四、圆内正多边形的计算 CO2 的 O2BO1（1）正三角

9、形在O 中ABC 是正三角形，有关计算在 RtBOD 中进行： COD:BD:OB1:3:2；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 RtOAE 中进行，OE:AE:OA1:1:2： （3）正六边形同理，六边形的有关计算在 RtOAB 中进行，AB:OB:OA1:3:2.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 EOABA OS5lB1、扇形： （1）弧长公式：lnR；180nR21lR（2）扇形面积公式：S3602n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积第 4页 共 9页 2、圆柱：（1）A 圆柱侧面展开图 S 表 S 侧 2S 底=2rh2r2 B 圆柱的体积：Vr2h

10、（2）A 圆锥侧面展开图 S 表 S 侧 S 底=Rrr2 B 圆锥的体积：V1r23h ADD1 母线长底面圆周长 RCArB6扩展阅读：九年级数学圆的知识点总结大全第四章： 圆一、知识回顾圆的周长：C=2r 或 C=d、圆的面积：S=r圆环面积计算方法：S=R-r 或 S=（R-r）(R 是大圆半径，r 是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为

11、半径的圆；固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系第 5页 共 9页 1、点在圆内 dr 点 C 在圆内；2、点在圆上 dr 点 B 在圆上；3、点在圆外dr 点 A 在圆外；三、直线与圆的位置关系

12、 1、直线与圆相离 dr 无交点；2、直线与圆相切 dr 有一个交点；3、直线与圆相交 dr 有两个交点； ArBdCdOrdd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点 dRr；外切（图 2）有一个交点 dRr；相交（图 3）有两个交点 RrdRr；内切（图 4）有一个交点 dRr；内含（图 5）无交点 dRr； dR 图 1rRdr 图 2dR 图 3r d五、垂径定理图 4RrdrR 图 5 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦

13、所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：AB 是直径ABCDCEDE弧 BC 弧 BD弧 AC 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O 中，ABCD弧 AC 弧 BD六、圆心角定理顶点到圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中， 2 DOED 只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，

14、即：AOBDOE；ABDE；第 6页 共 9页OCOF；弧 BA 弧 BD七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的即：AOB 和 ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，的弧是等弧；即：在O 中，C、D 都是所对的圆周角CD推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所所对的弦是直径。即：在O 中，AB 是直径或C90C90AB 是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形。即：在ABC 中，OCOAOBABC 是直角三角

15、形或 C90 OEFDC 角的一半。 BOADC 相等的圆周角所对 BOAC 对的弧是半圆， BOA 角形是直角三注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O 中，CD四边形 ABCD 是内接四边形 BD180九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA 且 MN 过半径 OAMN 是第 7页 共 9页O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1

16、：过圆心垂直于切线的直线必过切推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆以上三个定理及推论也称二推一定理： MAO 外端 N 点。心。即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB 是的两条切线BPAPBPO 平分 BPA AOP 十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘即：在O中，弦 AB、CD 相交于点 P，D积相等。（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径 B 所成的两条线 OEDA 段的比例中项。即：

17、在O 中，直径 ABCD，（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O 中，PA 是切线，PB 是割线PAPCPB 2 线，切线长是这（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。即：在O 中，PB、PE 是割线E十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这如图：O1O2 垂直平分 AB。即：O1、O2 相交于 A、B 两点O1O2 垂直平分 AB 十三、圆的公切线第 8页 共 9页两圆公切线长的计算公式： （1）公切线长：RtO1O2C 中，AO1BO2 两个圆的的公共弦。

18、 O1O2CO222；（2）外公切线长：CO2 是半径之差；内公切线长：CO2 是半径之和。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形在O 中ABC 是正三角形，有关计算在 RtBOD 中进 O:D:OB3C 行 :A2：；B1D:OBD BCOAD（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 OE:A:EOA1:1：:2RtOAE 中进行， E（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 RtOA 中进行，OAB:O:BOA1:.3:2B A 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 A1、扇形： （1）弧长公式：lnR180； OSl2（2）扇形面积公式：SnR13602lR Bn：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 2、圆柱：（1）A 圆柱侧面展开图 ADD1S 表 S 侧 2S 底=2rh2r2母线长底面圆周长 Br2h CC1B 圆柱的体积：VB1（2）A 圆锥侧面展开图 S 表 S 侧 S 底=Rrr2 OB 圆锥的体积：V1r23h RCArB第 9页 共 9页