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1、Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺v无穷小的性质v极限的四则运算法则 1.5 极限运算法则1Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺 证明 设及是当xx0时的两个无穷小 则 0 10当0|xx0|1 时 有| 20 当0|xx0|2 时 有| 取 min1 2 则当0|xx0|时 有 这说明 也是当xx0时的无穷小 |2 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小v无穷小的性质 仅就两个xx0时的无穷小情形证明 举例: 当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是当x0时的无穷小 2Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾
2、永旺 设 函 数 u在 x0的 某 一 去 心 邻 域x|0|xx0|1内有界 即M0 使当0|xx0|1时 有|u|M 又设是当xx0时的无穷小 即0 存在20 使当0|xx0|2时 有| 取min1 2 则当0|xx0| 时 有 |u|u|M 这说明u 也是当xx0时的无穷小 证明 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小v无穷小的性质 3Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺举例:推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小v无穷小的性质 推论1 常数与无穷小的乘积
3、是无穷小 4Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺 (2)lim f(x)g(x)lim f(x)lim g(x)AB 推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则limcf(x)climf(x) 推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则limf(x)nlimf(x)n 定理3 如果 lim f(x)A lim g(x)B 那么v极限的四则运算法则 (1)limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB 5Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺v数列极限的四则运算法则定理5 如果j(x)y(x) 而limj(x)a limy(x
4、)b 那么ab v不等式定理4 设有数列xn和yn 如果那么6Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺v求极限举例讨论 提示 解 解 例2 求 例1 求 7Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺 解 解 根据无穷大与无穷小的关系得 因为 例4 例3 求 8Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺讨论 提示 当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0) 9Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺先用x3去除分子及分母 然后取极限 解 先用x2去除分子及分母 然后取极限 解: 例6 例5 求 1
5、0Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺讨论提示 解 所以 例7 11Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺 解 当x时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用 是无穷小与有界函数的乘积 例8 12Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺v定理6(复合函数的极限运算法则)说明 设函数yfg(x)是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心邻域内g(x)u0 则 把定理中g(x)u0(xx0)换成g(x)
6、(xx0或x) 而把f(u)A(uu0)换成f(u)A(u)可类似结果 13Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺v定理6(复合函数的极限运算法则) 设函数yfg(x)是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心邻域内g(x)u0 则 例9 392xxy是由uy与392xxu复合而成的 解 14Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺总结1、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.3、复合函数的极限运算法则15
