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1、引言:个选择题个填空题 个解答题 目标: 满分特点:要真懂要用微积分工具五大问题:如何处理复杂事件如何求分布如何求数字特征如何使用极限定理( 大样本情况下)如何作估计与评价一、 如何处理复杂事件随机试验与样本空间随机试验(E)同条件下可重复试验结果明确可知, 且不止一个试验之前不知哪个结果会发生考研高等数学数学概率基础
2、讲义1几个基本概念试验结果中每一个最简单、 最基本( 不可再分)的结果, 叫样本点( 基本事件) , 记作的全体叫样本空间, 记作样本空间的子集叫随机事件, 记作( 英文大写字母)A、B、C, 子集中本身: 必然事件: 不可能事件古典概型若随机试验E的样本空间中有有限个样本点样本点的发生具有等可能性, 称其为古典概型则P(A)A中所含样本点的个数中含样本点总数【 注】计数方法:穷举法: 个数不多时, 直接数数即可集合对应法:加法原理 完成一件事有n类方法, 第一类方法中有m种办法, 第二类方法中有m种方法, , 第n类方法中有mn种办法, 则完成此事共有nimi种办法乘法原
3、理 完成一件事有n个步骤第一步有m种方法, 第二步有m种方法, , 第n步有mn种办法, 则完成此事共有nimi种办法排列 从n个不同的元素中取出m(n) 个元素, 并按照一定顺序排成一列, 叫排列所有排列的个数叫排列数记作Pmnn(n) (n) (nm)n!(nm) !当mn时,Pnnn!n! 叫全排列组合 从n个不同的元素中取出m(n)个元素, 并成一组, 叫组合所有组合的个数叫组合数CmnPmnm!对立事件思想 若研究A复杂, 则转而研究A, 用nnAnA( 总数易算出)【 例】从到十个数字中, 任取个不同数字, 求下列事件的概率A三个数中不含和A三个数字中不含或A
4、三个数字中含, 但不含2【 分析】P(A)CC ;P(A)C CCCC ;P(A)CCC 【 例】袋中球,白黑()从袋中先后有放回取球P(A)CCCCCC ()先后无放回取球P(A)CCCCCC ()任取球P(A)CCC 求P(A)P至少一白 【 分析】先求P(A)P球全黑【 注】CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCPCPCCP( 先后无放回)P( 任取)【 例】袋中 个球, 个白 黑先后无放回取 个, 求P 白黑先后无放回取 个, 求P第 次取到白先后有放回取 个, 求P 白黑先后有放回取 个, 求P第 次取到白 【 分析】P(A)C C C ;P(B)C ! !
5、;P(C)C C 理解一: 按概率摸球二、 盐与水几何概型引例定义: 设是一个可以度量的几何区域, 每个样本点的发生具有等可能性( 即, 样本点落入中的某一可度量子区域A的可能性大小与A的几何度量成正比, 而与A的位置及形状无关) , 则称其为几何概型, 且P(A)A的测度的测度【 例】设我上午八点到九点时间段内进教室, 求P我在: : 时间段进教室【 分析】P【 注】P我恰在: 进教室则若P(A) 推不出A为不可能事件; 若P(A) 推不出A为必然事件, 反之均成立3【 例】君子有约, 上午: : 甲乙在校门口见面, 等 分钟你不来, 即离开求:P甲乙
6、能见面【 分析】P(A)SAS 【 例】在(,)内随机的取两个数,P两数之和小于【 分析】P XY 重要公式求概率对立事件:P(A)P(A)减法:P(AB)P(A)P(A B)加法:P(AB)P(A)P(B)P(A B)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A B)P(B C)P(A C)P(A B C)【 注】)若A,A, ,An(n)两两互斥P(AA An)niP(Ai)若A,A, ,An(n)相互独立P(AA An)P(AA An)P(AA An)niP(Ai)niP(Ai) 其中, 所谓相互独立是指: 设A,A, ,An, 若对其中任意有限个Ai,Ai, ,Aik,(nk) , 都有
7、P(Ai,Ai, ,Aik)P(Ai)P(Ai) P(Aik) , 则称A,A, ,An相互独立且“ 夫唱妇随” 指:n个事件相互独立它们中的任意一部分事件换成其各自的对立事件所得的n个新事件相互独立条件概率公式P(A B)P(A B)P(B),P(B)【 注】标志性的词汇: 已知 , 当 发生了乘法公式:P(A B)P(A B)P(B)或P(A B)P(B A)P(A)一般地,P(AA An)P(A)P(AA)P(AAA) P(AnAA An )全集分解公式引例设一个村子和三个小偷.分别为A,A,A,村子失窃B
8、P(B)P(A)P(B A)P(A)P(B A)P(A)P(B A)4( ) 选人:A,A,A()去偷:P(B A)P(B A)P(B A)定义与公式设E可分为两个阶段,()niAi,AiAj,ij( 称A,A, ,An为的一个划分, 也叫完备事件组)求()阶段事件B发生的概率, 则P(B)P(B)P(B(ni Ai) )P(B(AA An) )P(B AB A B An)niP(B Ai)niP(B Ai)P(Ai)贝叶斯公式E可分为两个阶段()同上()已知B发生了, 求P(AjB)P(AjB)P(AjB)P(B)P(B Aj)P(Aj)niP(B Ai)P(Ai)【 例】有甲乙两名射击手,
9、 轮流独立打靶, 甲命中的概率为, 乙命中的概率为, 甲先射击, 谁先命中谁获胜, 求P甲胜【 分析】记Ai第i次命中 ,i, 则P甲胜P AAAAAAAAA 互斥P(A)P(AAA)P(AAAAA) 独立P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)P(A) () ()()() () ()【 注】P乙胜P甲胜()() ()若p,qp则P甲胜q,P乙胜qq【 例】某彩票每周开奖一次, 中奖概率十万分之一, 且各周开奖互相独立, 某人每周买一次, 坚持十年( 每年 周) , 则P此人从未中奖【 分析】记Ai第i次中奖i, , , 且P 则5P此人从未中奖P AA A P(A)P
10、(A) P(A )( ) 【 例】 份报名表,女男先后无放回抽取,则P第次取到女C! ! P第次才取到女P(AAA)P(A)P(AA)P(AAA) 记Ai第i次取到女P已知前两次均取到男, 第次取到女P(AAA)【 例】设两批数量相同的零件, 有一批全部合格, 另一批 不合格. 合格, 现从两批产品中任取一件, 经检验为合格品, 放回原处并从该处再取一件, 求这一件是不合格品的概率【 分析】分成两个阶段()选批次一批(H)二批(H)()取零件A为合格,A为不合格则有P(H)P(H)( 等可能)P(A H),P(A H),P(A)P(
11、A H)P(H)P(A H)P(H)则P(HA)P(AH)P(A)P(A H)P(H),P(HA)于是, 设Ci第二次从第i批中取零件 ,i,P(C),P(C)P(A)P(AC)P(C)P(AC)P(C) 【 例】设有两箱同种零件, 第一箱 件, 件一等品, 第二箱 件, 件一等品, 先从中随机挑出一箱, 再从该箱中先后无放回取出两个零件, 求()第一次取到一等品的概率;()在第一次取出的是一等品的条件下, 第二次仍取到一等品的概率【 分析】分成两个阶段()选箱子H,H()取零件H取第一箱 ,H取第二箱B第一次取到一等品 ,B第二次取到一等品6()P(B)P(BH)P(H)P(BH)P(H)
12、;()按上题的思路P(HB)P(BH)P(H)P(B) P(HB)P(BH)P(H)P(B) P(BB) ()另解P(BB)P(BB)P(B)P(BBH)P(H)P(BBH)P(H) ( ) 【 注】典型错误: 二、 如何求分布基本概念随机变量(rv)定义在样本空间上, 而取值于实数轴上的函数XX(i) ,i称为随机变量分布函数F(x)P Xxx从取遍整个实数轴到离散型 可能取值是有限个或无穷可列个分布律Xxxxnpppn, 也
13、可写成P(Xxi)pii, 且F(x)P Xx连续型对于某一X, 若存在非负可积函数f(x) , 使x, 有F(x)xf(t)d t,x(,) ,称X为连续型随机变量,F(x) 是分布函数,f(x) 叫概率密度F(x)P Xxxf(t)d t【 注】若Xpii, 分布律X离散型7若Xf(x)概率密度X连续型常见的( 八个)一维分布五个离散型三个连续型分布( 两点分布)B e rEXpp p(X)pp(x)p【 注】引入伯努利计数变量XA发生A发生二项分布B e rEnn重伯努利试验()相互独立(
14、)每次结果的p相同()只有两个结果A、A记A发生的次数为X, 则P XkCknpk(p)nk,k , n称XB(n,p)几何分布记X为试验次数, 则P Xkp(p)k k , 称XG e(p) 也叫离散型等待分布超几何分布设N件产品,M件正品, 无放回取n次, 取到k个正品的概率是【 分析】P XkCkMCnkNMCnN泊松分布在某场合, 某单位时间段, 源源不断的质点来流的个数XP Xkkk!eEX k, 称XP()【 例】浙大版概率p 第 题一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为的泊松分布求()求某一分钟恰有次呼唤的概率;()某一分钟的呼唤次数大于的概率【 分析】 ()P X!e e (
15、)P(X)P(X)P(X)P(X)P(X) 8均匀分布与几何概型有重大关联若Xf(x)baaxb其他, 称XU(a,b)【 注】高档次说法: 若“X在区间I上的任何子区域取值的概率与该子区间长度成正比”称X在I上服从均匀分布【 例】浙大版概率p 第 题在区间,a上任掷一个质点, 以X表示这个质点的坐标, 设此质点落在,a中任意子区间的概率与该子区间的长度成正比, 求X的分布函数【 分析】F(x)P Xxx当x时,F(x);当xa时,F(x);当xa时,P Xxk xF(x),xk x,xa,xaka,l i mxaF(x)l i mxaF(x)F(a) , 故xa处连续, 同理x 处也连续,F
16、(x)处处连续任何X的分布函数有一个先天条件, 叫l i mxxF(x)F(x) ( 右连续)指数分布若Xf(x) e x,x其他, 称XEx() , 以后EX,失效率也叫连续型等待分布正态分布若Xf(x) e(x) ,x,今后EX,DX称XN(,)【 注】 当 , 时, 称XN(,) 为标准正态分布, 记(x)f(x)ex, 且(x)F(x)xetd t9X的函数Yg(x)的分布引例:X乌龟鸭子兔子Y X Y 离散型Xpii, 若Yg(X) , 则g(X
17、)pii, 如X,YXY合并连续型XfX(x) , 若Yg(X) , 求YfY(x)先求FY(y)P YyFX(x)P Xx 反解出XP XIyIyfX(x)d x再求fY(y)F Y(y)【 例】设XfX(x)(x),x,YX, 求YfY(x)【 分析】FY(y)P YyPXy反解出XP X(y)P X(y)FX( (y)fY(y)F Y(y) FX( (y)yfX( (y)(y)()(y)fX( (y)二维rv及其分布函数二维rv(X,Y)联合分布函数F(x,y)P Xx,Yy边缘分布函数, 若(X,Y)F(x,y) , 则FX(x)P XxP Xx,YF(x,) l
18、i myF(x,y)FY(y)P YyP,YyF(,y) l i mxF(x,y)独立性 (X,Y)F(x,y)若F(x,y)FX(x)FY(y)则X,Y互相独立离散型(X,Y)Pi j联合分布律10XYyyyjxp p pjpxp p pjpxipipipi jpipppj&#
19、1049019;其中:P(Xxi)PiP(Yyj)Pj且PiPjPi j,i,jX,Y独立【 注】借鉴P(A B)P(A B)P(B), 引入“ 条件分布律” :P XxiYyj()P(Xxi,Yyj)YyjPi jPjP YyjXxi()P(Xxi,Yyj)XxiPi jPi连续型rv(X,Y)f(x,y)联合概率密度边缘fX(x)f(x,y)d yfY(y)f(x,y)d x
20、;独立性:fX(x)fY(y)f(x,y)X,Y独立条件概率密度:fXY(x y)f(x,y)fY(y)fYX(y x)f(x,y)fX(x)【 例】设XU(,) , 在Xx(x)的条件下,Y在(,x)内服从均匀分布, 求f(x,y)与fX(y)【 分析】XfX(x),x, 其他, 且fYX(y x)x,yx,其他f(x,y)fX(x)fYX(y x)x,yx, 其他11fX(y)f(x,y)d xyxd x,y,其他 l nyy,其他三、 如何求数字特征EX,DX,c o
21、v(X,Y) ,X Y数学期望XPiEXixipi如X, 则EXXPi, 且Yg(x)E Yig(xi)piXf(x)EXx f(x)d xXf(x) , 且Yg(x)E Yg(x)f(x)d x方差DXE(XEX)定义法:Y(X数)g(X)XpiDXE(XEX)E Yi(xiEX)pi)Xf(x)DXE(XEX)E Y(xEX)f(x)d x公式法DXE(XEX)E(XXEX(EX)EXE(XEX)E( (EX)EX(EX) EX(EX)EX(EX)协方差c o v(X,Y)设DX,D Y, 称c o v(X,Y)E(XEX) (Y
22、E Y)为协方差( 若XY,c o v(X,X)E(XEX) (XEX)DX)c o v(X,Y)E(X YXE YYEXEX E Y)EX YEXE Y相关系数称X Yc o v(X,Y)DXD Y为相关系数描述X,Y之间线性相依程度12四如何使用极限定理( 大样本,n)依概率收敛(,n,xnaxna)设Xn 是一个随机变量序列,X为一r,va为一常数, l i mnPXnaXnpa l i mnPXnXXnPX极限定理大数定律在一定的条件下,nniXiPE(nniXi)i i d EXi中心极限定理(n)不论Xi独立同分布F(,)
23、 , 其中EXi,DXi只要将其加起来niXinN(n,n )五如何作估计总体与样本总体: 研究对象的某个指标的全体XF样本: 简单随机样本Xi独立同分布F估计方法矩估计用EX人为令XnniXi【 例】浙大版概率p 第题设总体X具有分布律X() () 其中() 为未知参数, 已知取得了样本值x ,x ,x 试求的矩估计与最大似然估计【 分析】EXixipi()()x()13L()() ()取l nL() l n l nl n()(l nL() )令最大似然估计14附录:课本该做习题第一章概率论的基本概念章节教材内容考纲要求必做例题必做
24、习题(P P )随机试验随机试验的概念和特点考研不作要求样本空间、 随机事件样本空间、 样本点的概念和表示了解随机事件的概念理解事件间的关系与事件的运算掌握( 能结合文氏图分析)例习题习题频率与概率频率的定义和性质,频率的稳定性考研不作要求概率的定义( 三个条件)理解概率的性质: 性质iV i掌握( 会证明)习题,等可能概型( 古典概型)等可能概型的两个特点及计算公式会( 简单问题穷举,复杂问题排列组合)例习题,放回抽样和不放回抽样的概率计算掌握摸球问题、 分房问题例习题 , , 实际推断原理了解条件概率条件概率的定义和性质理解【 重点】例习题 , , 乘法定理掌握例习题 全概率公式和贝叶斯公
25、式掌握【 重点】例习题 , 独立性两个时间相互独立的定义和定理一与二; 三个事件相互独立的定义理解【 重点】 【 难点】例习题 () () , 利用独立计算概率掌握【 重点】例,习题 , , 15第二章随机变量及其分布章节教材内容考纲要求必做例题 必做习题(P P )随机变量随机变量的概念理解例离散型随机变量及其分布律离散型随机变量的分布律必须满足的两个条件理解( 会应用性质求待定参数)例习题,()分布、 伯努利试验、二项分布、 泊松分布的分布律掌握( 特别注意分布的背景, 随机变量取值、 参数的意义)例,习题, , 泊松定理了解( 证明不要求)例习题 随机变量的分布函数分布函数的概念,基本性
26、质, 应用理解( 分布函数定义( 必考) , 会利用分布函数求概率)例习题 , 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量的概率密度函数的基本性质理解例习题 , 均匀分布、 指数分布、正态分布, 分位点定义掌握【 重点】( 概率密度函数及其性质)例,习题 , , , , , 随机变量的函数的分布离散型随机变量函数的分布的解法会( 关键取值和对应概率)例习题 连续型随机变量函数的分布的两种解法会【 重点、 难点】 ( 核心分布函数法, 了解公式法)例,习题 , , 16第三章多维随机变量及其分布章节教材内容考纲要求必做例题必做习题(P P )二维随机变量二维随机变量分布函数的概念和性质n维随机变量
27、联合分布函数的概念和性质二维离散型随机变量联合分布律的定义和性质二维连续型随机变量联合概率密度的定义和性质理解理解【 重点】( 二维连续“ 核心密度” )理解【 重点】( 二维离散“ 一表搞定” )例例习题,习题边缘分布边缘分布函数的定义理解( 数一)掌握( 数三)边缘分布律和边缘概率密度的计算公式理解( 数一)掌握( 数三) 【 重点】例,二维正态分布的概率密度和边缘分布了解( 数一)掌握( 数三)例( 重要,重点做)习题,条件分布条件分布律的定义和性质理解条件概率密度和条件分布函数理解( 数一)掌握( 数三)【 重点、 难点】例,习题 , 二维均匀分布掌握例习题 , 相互独立的随机变量随机
28、变量相互独立的概念理解P 中间习题 , 服从二维正态随机变量相互独立的充要条件为参数掌握【 重点】P 上方习题 , n维随机变量相互独立的概念及定理掌握( 只要会二维即可)P 例( 运用独立性求联合密度)17第四章随机变量的数字特征章节教材内容考纲要求必做例题必做习题(P )数学期望离散型和连续型随机变量数学期望的定义和计算公式理解【 重点】例,习题,随机变量函数的数学期望的求解方法( 离散型、连续型、 二维随机变量)会【 重点】 (P 定理结论记住, 证明不要求)例, , 习题,数学期望的性质会例 , 习题 , , , 常见分布的数学期望掌握【 重点】 ( 需要记住)例,方差方差、 标准差的
29、定义公式理解公式()习题 离散型和连续型随机变量方差的计算公式理解公式() ,()方差的等价计算掌握【 重点】公式()方差的性质掌握例,独立正态变量线性组合的数学期望和方差掌握【 重点】例, 公式()习题 切比雪夫不等式了解P 证明要看习题 协方差及相关系数协方差的定义、 计算公式、 协方差的性质理解【 重点】习题 相关系数的定义、 性质,不相关的定义理解【 重点】P ,P 性质、 定理推导不要求习题 , 不相关和相互独立的区别和联系理解【 重点、 难点】 ( 二维正态时独立与不相关等价例,习题 , , 矩、 协方差矩阵k阶原点矩、k阶中心矩的定义理解( 记住、阶原点矩、中心距即可, 协方差矩
30、阵考研不作要求 )n维正态随机变量的四条重性质理解二维情况下结论即可18第五章大数定律及中心根限定理章节教材内容考纲要求必做例题必做习题(P )大数定律依概率收敛的定义定理一( 切比雪夫大数定律)定理二( 伯努利大数定律)定理三( 辛钦大数定律)了解了解( 注意三个大数定律的相同点与不同点)中心极限定理定理一( 独立同分布的中心极限定理) ,公式()和公式()定理三( 棣莫弗 拉普拉斯定理)了解( 数一)会( 数三)了解并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率例,习题,习题 , 19第六章样本及抽样分布章节教材内容考纲要求必做例题 必做习题(P )随机样本总体、 个体的定义理解( 数一)了解(
31、 数三)简单随机样本、样本值的定义理解( 数一)了解( 数三)【 重点】直方图和箱线图考研不要求抽样分布统计量及其数字特征( 样本均值、 样本方差、 样本k阶原点矩、 样本k阶中心矩抽样分布的定义经验分布函数分布的定义、 可加性、 数学期望和方差、 分位点()t分布的定义、 图形性质、分位点性质( )F分布的定义、 分位点性质( )正态总体的样本均值与样本方差的分布( 定理一、 二、 三、 四)理解( 数一)了解( 数三)【 重点】了解了解( 仅数学三要求)了解【 重点】 ( 但概率密度不用记忆)掌握( 数一)了解( 数三)【 重点、 难点】( 定理二证明不要求)P 脚注了解习题,习题,习题,
32、20第七章参数估计章节教材内容考纲要求必做例题 必做习题(P )点估计估计量、 估计值的定义理解( 数一)了解( 数三)矩估计法( 一阶、 二阶)掌握【 重点】例,习题,似然函数、 最大似然估计量、 最大似然估计值掌握【 重点、 难点】例,习题,基于截尾样本的最大似然估计考研不作要求估计量的评选标准无偏性( 无偏估计量)有效性( 最小方差性)相合性或称一致性( 相合估计量)了解并会验证【 重点】例,了解例习题 , , , 区间估计置信区间概念( 置信下限、 上限, 置信水平)未知参数的置信区间的求解步骤理解例正态总体均值与方差的区间估计单个正态总体均值的置信区间:已知( 公式) ,未知( 公式
33、)会求【 重点】 (P 的表格中公式会自己推导)例习题 单个正态总体方差的置信区间( 公式)会求【 重点】 (P 的表格中公式会自己推导)例习题 , 两个正态总体均值差的置信区间( 公式 )会求例,习题 , 两个正态总体方差比/的置信区间( 公式 )会求例习题 , ()分布参数的区间估计考研不作要求单侧置信区间单个正态总体的单侧置信区间了解例习题 21第八章假设检验( 仅数学 要求)章节教材内容考纲要求必做例题 必做习题(P )假设检验假设检验的基本思想:实际推断原理理解显著性水平、 检验统计量了解原假设、 备择假设、 拒绝域、 临界点的概念第类错误: 弃真;第类错误: 取伪了解【 难点】显著性检验、 双边假设检验、 单边检验的概念了解【 难点】处理参数的假设检验问题的步骤掌握正态总体均值的假设检验单个正态总体均值的假设检验:已知 Z检验( 表第行) ,未知 t检验( 表第行)掌握【 难点】例习题,两个正态总体均值差的假设检验 t检验( 表第、行)掌握( 教材中( 三) “ 基于成对数据的检验”考研不作要求)例习题正态总体方差的假设检验单个正态总体方差的假设检验 检验( 表第行)掌握【 重点】例习题 , 两个正态总体方差的假设检验 F检验( 表第行)掌握例习题 起之后章节考研不作要求22
