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1、数模案例3假想空心地球Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望问题来源地球是实心的，里面是炽热的岩浆。地心游记将地球想象成足球一样的一个空壳，里面是怎样一个奇幻世界啊！？7/24/20242设想可以进入空心地设想可以进入空心地球内部旅游，球内部旅游，我们在地球表面，是我们在地球表面，是有有“重力重力”作用的！作用的！到了地球内部，四面到了地球内部，四面八方的地壳都在吸引八方的地壳都在吸引你你引力的合力究竟是什引力的合力究竟是什么方向？么方向？7/24/20243Newton万
2、有引力公式万有引力公式。下面的地壳离身体。下面的地壳离身体近，地壳对人的吸引力近，地壳对人的吸引力就大！就大！。上面的地壳要大的。上面的地壳要大的多，大块地壳的引力要多，大块地壳的引力要大些！大些！综合考虑质量和距离两综合考虑质量和距离两方面对引力的影响！方面对引力的影响！7/24/20244“化整为零化整为零”思思想想将地球视为一层一层的同心球壳，每层极薄极薄，比如1mm厚。只需求出这一层极薄的球壳对人的引力即可，不管多少层，一层一层加起来就是了！这一薄壳，是直径上万米的大球壳。我们将目光集中于一小块，比如就1mm2，这一小块的弄明白了，再把许多块加起来。7/24/20245P2P1Gd2d
3、1BA设人的质量为设人的质量为m，薄壳，薄壳A的质量为的质量为P1.薄壳薄壳A上任取一点与上任取一点与G相连，连线延长后交与对面相连，连线延长后交与对面球壳上的一点。当点在球壳上的一点。当点在A上走遍时，对面那个点也上走遍时，对面那个点也走遍了一小块薄壳走遍了一小块薄壳B。人的质心为人的质心为G.当当A和和B很很小时，可把小时，可把这两块看成这两块看成是相似形，是相似形，相似比为相似比为d1/ d2.7/24/20246两块薄壳的质量两块薄壳的质量P1和和P2之比与两块面之比与两块面积成正比，面积比又等于相似比的平积成正比，面积比又等于相似比的平方方, 故：故：于是于是F1和和F2大小相等，方
4、向相反，合力为大小相等，方向相反，合力为0！7/24/20247想象：想象：假如地球是一个空壳假如地球是一个空壳 我们在里面是空中漂浮！我们在里面是空中漂浮！静电实验静电实验 金属球内部无静电场！金属球内部无静电场！k为库伦常数为库伦常数这一切都是基于地球是空心的设想之上的，这一切都是基于地球是空心的设想之上的，地球实际上是实心的，这些是不是仅仅是空地球实际上是实心的，这些是不是仅仅是空想，而无任何价值呢？想，而无任何价值呢？7/24/20248预测地下重力预测地下重力离地球越远，重力越小！2000m我们沿着矿井走到地层深处，重力是比地面更大，还是更小呢？7/24/20249设地球半径为设地球
5、半径为R，地球质量为，地球质量为M，人的质量为人的质量为m.假设地球质量分布是均匀的，质假设地球质量分布是均匀的，质量比等于体积比量比等于体积比.R6378km体重约减少体重约减少1/3189.思考：最深的金矿约思考：最深的金矿约4500米深，重力的变化有多大呢？米深，重力的变化有多大呢？7/24/202410数模案例数模案例4地下高速列车地下高速列车TZC-MCM李韶伟李韶伟 677193S乌鲁木齐乌鲁木齐上海上海WMO地球是球形的，地球上两点之间的最短距离是穿越地球内部的“弦”！ 忽略地质、技术条件等因素影响。沿着这条弦挖一条笔直笔直的地道，连接乌鲁木齐和上海。这是真正意义上的上海这是真正
6、意义上的上海乌鲁木齐的乌鲁木齐的“直直”达列车线！达列车线！地道斜向下延伸，对方在自己脚下！这直达列车到底有多快呢这直达列车到底有多快呢?7/24/202412Car, 50hTrain, 46hAirplane, 4.5h 3920km7/24/202413基本假设忽略地质、技术条件等因素影响；忽略旅客的速度承受能力对车速的限制；忽略列车摩擦和空气阻力；不考虑行车安全等等辅助保障设施；忽略地球自转对车速的影响；地球是一个球体；各车站到地心的距离是一样的；7/24/202414SWMOPR车自动滑行越滑越快到中点M处最快车继续向前冲，速度减慢列车到站慢慢停下来能量守恒原则。变速直线运动钟摆v(
7、t),a(t)都是随时间变化的7/24/202415SWMOPR列车在列车在SM上任一点上任一点P处的加速度处的加速度a多大？多大？Newton第二定律第二定律F = m aF为地心引力为地心引力(沿沿PO方方向向)在在PM方向上的分方向上的分力力.NFG严格的说，不是它！严格的说，不是它！由案例由案例3可知：此时的引力与可知：此时的引力与地球表面引力之比为地球表面引力之比为OP/R.7/24/202416SWMOl P* lR加速度加速度a的在的在SM段变化过程段变化过程g0.变加速直线运动变加速直线运动微积分能解决此类问题微积分能解决此类问题估算估算设设P*为为SM的中点的中点.假想有一匀
8、加速运动列车在假想有一匀加速运动列车在SP*段行驶，加速度为段行驶，加速度为aP* .在在SP*段行驶的变加速运动列车段行驶的变加速运动列车,加速度不小于加速度不小于aP* .此乃此乃“慢慢”车也！车也！7/24/202417“慢慢”车行驶时车行驶时间间路程S = SP*，加速度a = aP* .即SP*=MP*R=6378164m，g=9.8m/s.T1141秒匀加速列车跑SM段耗时不超过2T，即2282秒;全程不超过4T，即4564秒.约约76分钟！分钟！无论从地球上哪里到哪里，都无论从地球上哪里到哪里，都用不了用不了80分钟！分钟！“低能耗低能耗”7/24/202418变加速运动列车时间变加速运动列车时间二阶微分方程二阶微分方程当当S(t)=SM时，时，R=6378164m,g=9.8m/s.得T 1267.23秒无论从地球上哪无论从地球上哪里到哪里都需约里到哪里都需约42分钟分钟 ！ 绝对绝对“低能耗低能耗”！7/24/202419amax1g，不太舒适！等等。空气阻力对列车的影响很大涉及能耗、噪音、安全等一系列问题！真空管道磁悬浮列车真空管道磁悬浮列车 理论上可达20000km/h (第一宇宙速度) ，运行的速度1000 6000km/h.北京纽约，2h！ 环球旅行，6h！http:/ 7/24/202421
