《-微分方程的基本概念教案资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《-微分方程的基本概念教案资料（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、Basic concept of differential equations三、微分方程三、微分方程三、微分方程三、微分方程(wi (wi (wi (wi fn fn chn)fn fn chn)fn fn chn)fn fn chn)的的的的解解解解一、问题一、问题一、问题一、问题(wnt)(wnt)(wnt)(wnt)的的的的提出提出提出提出二、微分方程的定义二、微分方程的定义二、微分方程的定义二、微分方程的定义微微积积分分电电子子教教案案第一页，共30页。2/31微积分微积分微积分微积分十十十十引例引例(yn l) (yn l) 一曲线通过点一曲线通过点(1,2), (1,2), 且在
2、该曲线且在该曲线上的任一点上的任一点M(x,y)M(x,y)处的切线的斜率为处的切线的斜率为2x, 2x, 求该曲求该曲线的方程。线的方程。解解：设所求曲线设所求曲线(qxin)(qxin)方程为：方程为：y = y = f(x)f(x)两边两边(lingbin)(lingbin)对对x x求积分：求积分：即即 y=x2+C将将x=1,y=2代入，得代入，得：2=1+C即即 C=1故所求曲线为故所求曲线为：y=x2+1由题意得：由题意得：第二页，共30页。3/31微积分微积分微积分微积分十十十十定义定义(dngy)1 (dngy)1 含有未知函数的导数含有未知函数的导数( (或微分或微分) )
3、 的方程。的方程。2.12.1、微分方程、微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)第三页，共30页。4/31微积分微积分微积分微积分十十十十定义定义1 1 含有含有(hn yu)(hn yu)未知函数的导数未知函数的导数( (或微分或微分) ) 的方程。的方程。如：如：2.12.1、微分方程、微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)未知函数是多元函数，即未知函数是多元函数，即含有含有偏导数的微分方程，偏导数的微分方程，称为称为偏微偏微分方程分方程未知函数是一元函未知函数是一元函数的微分方程数的微分方程常微分方程常微分方程第四页，共30页。5/31
4、微积分微积分微积分微积分十十十十定义定义2 2 微分方程中所出现的未知函数导数微分方程中所出现的未知函数导数(do (do sh)sh)的最高阶数，称为微分方程的阶。的最高阶数，称为微分方程的阶。二阶微分方程二阶微分方程(wi fn fn chn)n阶微分方程阶微分方程(wi fn fn chn)的一般形式为：的一般形式为：F(x，y，y ，y ，y(n)=0一阶微分方程一阶微分方程2.22.2、微分方程的阶、微分方程的阶第五页，共30页。6/31微积分微积分微积分微积分十十十十2.32.3、微分方程、微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)的分类的分类分类分类(fn
5、li)1: (fn li)1: 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. .一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶(n)微分方程微分方程分类分类2:2:分类分类3 3: : 线性线性( (未知函数及其导数都是一次未知函数及其导数都是一次) ) 非线性微分方程非线性微分方程分类分类4 4: : 单个微分方程单个微分方程 与微分方程组与微分方程组. .第六页，共30页。7/31微积分微积分微积分微积分十十十十定义定义3 3 若将某函数及其导数代入微分方程若将某函数及其导数代入微分方程(wi fn (wi fn fn chn), fn chn), 可使方程成为恒等式可使方程成为恒等式, , 则称
6、此函数为则称此函数为微分方程微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)的解的解3.13.1、微分方程、微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)的解的解第七页，共30页。8/31微积分微积分微积分微积分十十十十例例1 1 验证验证(ynzhng)(ynzhng)下列函数都是微分方程下列函数都是微分方程 y y 2y2y +y=0 +y=0 的解的解. .解解: :代入原方程代入原方程(fngchng) 是原方程的解是原方程的解.代入原方程：代入原方程： 是原方程的解是原方程的解.第八页，共30页。9/31微积分微积分微积分微积分十十十十例例1 1 验
7、证下列验证下列(xili)(xili)函数都是微分方程函数都是微分方程 y y 2y2y +y=0 +y=0 的解的解. .解解: :代入原方程代入原方程(fngchng)： 是原方程的解是原方程的解.解的线性组合也是解解的线性组合也是解y=0也是解。也是解。均为解，有何区别？第九页，共30页。10/31微积分微积分微积分微积分十十十十 通解通解(tngji)(tngji)： 微分方程的解中含有任意常数，这些常数相互微分方程的解中含有任意常数，这些常数相互独立独立( (即不能合并了即不能合并了) )，且个数与微分方程的阶数相同，且个数与微分方程的阶数相同(xin tn)(xin tn)，这样的
8、解称为微分方程的通解。，这样的解称为微分方程的通解。3.23.2、通解、通解(tngji)(tngji)与特解与特解 特解：特解：确定了通解中任意常数的解。确定了通解中任意常数的解。例1中：通解特解既非通解，也非特解，是个解。奇解（但不是特解，不研究）通解：通用的解，含有任意常数；特解：通解：通用的解，含有任意常数；特解：特殊的解，不含有任意常数特殊的解，不含有任意常数第十页，共30页。11/31微积分微积分微积分微积分十十十十 通解通解(tngji)(tngji)： 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数(chngsh)(chngsh)，这些常数，这些常数(chngsh)(ch
9、ngsh)相互独立相互独立( (即不能合并了即不能合并了) )，且个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为，且个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。微分方程的通解。3.23.2、通解、通解(tngji)(tngji)与特解与特解 特解：特解：确定了通解中任意常数的解。确定了通解中任意常数的解。特解可以从通解中通过特解可以从通解中通过某个条件某个条件求出常数得到特解求出常数得到特解称为定解条件，也称为初始条件一般地，一般地，n阶微分方程就有阶微分方程就有n个定解条件个定解条件第十一页，共30页。12/31微积分微积分微积分微积分十十十十求特解步骤：先求通解求特解步骤：先求通解(tn
10、gji)，代入初始条件，确定，代入初始条件，确定通解通解(tngji)中任意常数的值，可得特解。中任意常数的值，可得特解。微分方程(wi fn fn chn)微分方程的通解定解条件如引例如引例求解得：求解得：微分方程的特解第十二页，共30页。13/31微积分微积分微积分微积分十十十十解的图像解的图像: : 微分方程微分方程(wi fn fn (wi fn fn chn)chn)的积分曲线的积分曲线. .通解的图像通解的图像: : 积分积分(jfn)(jfn)曲曲线族线族. .3.33.3、微分方程解的几何意义、微分方程解的几何意义过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在
11、定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: :求微分方程满足初始条件的特解的问题求微分方程满足初始条件的特解的问题. .第十三页，共30页。14/31微积分微积分微积分微积分十十十十解解例例3 3 验证验证: :函数函数 是微分是微分方程方程 的解的解. . 并求满足初始条件并求满足初始条件 的特解的特解. .第十四页，共30页。15/31微积分微积分微积分微积分十十十十所求特解为所求特解为练习练习(linx)：为微分方程为微分方程(wi fn fn chn)的特解的特解.函数函数 是微分方程是微分方程 的解吗的解吗？如是解，请问是什么解？如
12、是解，请问是什么解? ?第十五页，共30页。Basic concept of differential equations三、齐次方程三、齐次方程三、齐次方程三、齐次方程(fngchng)(fngchng)(fngchng)(fngchng)一、一阶微分方程一、一阶微分方程一、一阶微分方程一、一阶微分方程(wi fn (wi fn (wi fn (wi fn fn chn)fn chn)fn chn)fn chn)的形式的形式的形式的形式四、一阶线性微分方程四、一阶线性微分方程四、一阶线性微分方程四、一阶线性微分方程微微积积分分电电子子教教案案二、可分离变量的微分方程二、可分离变量的微分方程二
13、、可分离变量的微分方程二、可分离变量的微分方程第十六页，共30页。17/31微积分微积分微积分微积分十十十十一般一般(ybn)(ybn)形式形式: F(x, : F(x, y, yy, y ) =0 ) =0正规正规(zhnggu(zhnggu) )型型: :微分微分(wi fn)(wi fn)型型: : f(x,y)dx+g(x,y)dy=0f(x,y)dx+g(x,y)dy=0正规型正规型可化为可化为如：如： 下面只讨论一阶微分方程中最常见的几种类型及解下面只讨论一阶微分方程中最常见的几种类型及解法法, ,包括：包括：可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程、齐次微分方程齐次微分方程、线性
14、线性齐次微分方程齐次微分方程、线性非齐次微分方程线性非齐次微分方程。y = f( x, y ) 第十七页，共30页。18/31微积分微积分微积分微积分十十十十形式形式(xngsh(xngsh) )：即变量即变量x x的函数的函数(hnsh)(hnsh)和微分与变量和微分与变量y y的函数的函数(hnsh)(hnsh)和微分已分离在等式两边（或已分离开和微分已分离在等式两边（或已分离开来）来）. .解法解法(ji f)(ji f)：直：直接积分。接积分。例例1 1、求通解求通解：解：解：两边积分两边积分故原方程的通解为：故原方程的通解为：2.12.1、已分离变量的微分方程、已分离变量的微分方程第
15、十八页，共30页。19/31微积分微积分微积分微积分十十十十例例2 2 求通解求通解(tngji)(tngji)：解：两边解：两边(lingbin)积分得：积分得：故原方程的通解为：故原方程的通解为：结论结论1:1: 通解既可用显函数表示通解既可用显函数表示, ,也可用隐函数表示也可用隐函数表示. .第十九页，共30页。20/31微积分微积分微积分微积分十十十十形式形式(xngsh(xngsh) )：2.22.2、可分离变量、可分离变量(binling)(binling)的微分的微分方程方程解法：解法：先分离变量，再两边积分即可。先分离变量，再两边积分即可。或或第二十页，共30页。21/31微
16、积分微积分微积分微积分十十十十例例3 3 解微分方程解微分方程(wi fn fn (wi fn fn chn)chn)解解: :先分离先分离(fnl)(fnl)变量，变量，再两边积分再两边积分故原方程的通解为故原方程的通解为第二十一页，共30页。22/31微积分微积分微积分微积分十十十十若积分后出现若积分后出现(chxin)(chxin)对数对数, ,则可将任意常数写则可将任意常数写成成 lnC lnC 的形式的形式, ,以利化简以利化简. .说明说明: : 在解微分方程时在解微分方程时, ,对形如对形如积分积分, ,可直接得可直接得lnx,lny,不必加绝对值；不必加绝对值； dxx1 dy
17、y1例例3 3 解题解题(ji t)(ji t)过程可简化过程可简化为：为：先分离变量：先分离变量：再两边积分再两边积分第二十二页，共30页。23/31微积分微积分微积分微积分十十十十解：解：例例4 4 求方程求方程(fngchng)(fngchng)满足满足(mnz)初始条件初始条件y(1)=2的的特解特解.分离变量分离变量积分得：积分得：故通解为故通解为:将将x=1,y=2代入通解代入通解故所求特解为故所求特解为：得：得：C=10第二十三页，共30页。24/31微积分微积分微积分微积分十十十十例例5 5 已知某商品的需求量已知某商品的需求量Q Q对价格对价格(jig)p(jig)p的弹性为
18、的弹性为ep=-ep=-0.02p,0.02p,且该商品最大需求量为且该商品最大需求量为240,240,求需求函数求需求函数Q=Q(p).Q=Q(p).解解: 依题意依题意(t y),得得:整理得：整理得：积分得积分得: :将将p=0,Q=240代入代入, 得得: C=240故求需求函数为：故求需求函数为：第二十四页，共30页。25/31微积分微积分微积分微积分十十十十例例6 6 设设f (x)f (x)在在(-(-，+)+)连续连续(linx),(linx),且满足且满足: :求求f(x).注：注：积分方程求导后化为微分方程积分方程求导后化为微分方程(wi fn (wi fn fn chn)
19、;fn chn); 注意隐条件注意隐条件. . + += =xdttfxxf0)(2)(解解：原方程对：原方程对x求导：求导：即：即：分离变量得：分离变量得：两端积分得：两端积分得：由原方程可知：由原方程可知：f (0)=0 代入通解代入通解 C =2故故第二十五页，共30页。26/31微积分微积分微积分微积分十十十十解：解：f(tx,ty)=50(tx)(ty)2=50t3xy2=t3f(x,y)故故是齐次函数是齐次函数(hnsh),(hnsh),且是且是3 3次齐次函数次齐次函数(hnsh);(hnsh);故故是齐次函数是齐次函数(hnsh),(hnsh),且是且是0 0次齐次函数次齐次函
20、数(hnsh).(hnsh).复习复习:证明函数证明函数f(x,y)=50xy2;都是齐次函数都是齐次函数, ,并说明是几次齐次函数并说明是几次齐次函数. .yxyxyxf+ +- -= =),(),(),(yxfyxyxtytxtytxtytxf= =+ +- -= =+ +- -= =3.13.1、齐次方程的引入、齐次方程的引入第二十六页，共30页。27/31微积分微积分微积分微积分十十十十3.23.2、齐次方程、齐次方程(fngchng)(fngchng)及及其解法其解法解法：解法：化标准形式；化标准形式；变量替换变量替换 ；分离变量；分离变量；求通解；求通解；回代。回代。标准标准(bi
21、ozhn)形式：形式：常见常见(chn jin)形式：如形式：如化为标准形式化为标准形式定义定义: :微分方程微分方程 中中, ,若若为为0次齐次函数次齐次函数, 则称该方程为则称该方程为齐次微分方程齐次微分方程, 简称简称为为齐次方程齐次方程.第二十七页，共30页。28/31微积分微积分微积分微积分十十十十关于关于(guny)y(guny)y的微分的微分方程方程代入原方程代入原方程(fngchng), (fngchng), 得：得：关于关于(guny)u(guny)u的微分的微分方程方程分离变量分离变量,得：得：积分、整理得积分、整理得通解通解：回代回代得：得：是是的解。的解。第二十八页，共30页。29/31微积分微积分微积分微积分十十十十解：解：分离分离(fnl)变量得：变量得：例例1. 1. 求微分方程求微分方程(wi fn fn chn) (wi fn fn chn) 的通解的通解. .代入原方程代入原方程, ,得：得：两边积分得：两边积分得：故原方程的通解为：故原方程的通解为：第二十九页，共30页。30/31微积分微积分微积分微积分十十十十例例2. 2. 求求 的通的通解解(tngji).(tngji).分离分离(fnl)变量得：变量得：解：解：原方程为：原方程为：代入原方程代入原方程, , 得：得：积分得积分得:即通解为：即通解为：第三十页，共30页。
