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1、University of Science and Technology of China不对称中的对称导体周围电场的模拟以及多极矩叠加应用 化学物理系邹思睿PB03206041指导老师：郝志东University of Science and Technology of China 想必大家对电场线之美中那些点电荷系统优美的电场线图还记忆犹新吧，那导体周围的电场又是什么样的呢？其中又有什么内在的规律呢？本文将对其进行一番探索 引 言一、导体周围电场的模拟（精确法）（精确法） （一）介绍精确法画电场线的方法（一）介绍精确法画电场线的方法 电势电势 电场强度电场强度将电场强度所在的直角坐标系（将
2、电场强度所在的直角坐标系（x，y）变换到相空间（变换到相空间（ ， ）列出微分方程列出微分方程利用利用MATHEMATICA 5.1软件画出相图（即电场线图）软件画出相图（即电场线图） SHOW （二）导体周围电场线的图（二）导体周围电场线的图 1带电导体椭球面周围的电场线图带电导体椭球面周围的电场线图图图12接地导体球和点电荷相互作用时的电场线图接地导体球和点电荷相互作用时的电场线图其中其中 k=d/r，k=2d 表示点电荷到球心的距离表示点电荷到球心的距离r 表示球的半径表示球的半径 （后同）（后同）图图2 3、带电导体球和点电荷相互作用时的电场线图、带电导体球和点电荷相互作用时的电场线图
3、（s=Q/q;k=d/r取取s=1;k=2） Q表示导体所带电荷表示导体所带电荷 q表示点电荷的电量表示点电荷的电量 （后同）（后同）图图3 34 4、带电、带电直导线和带电导体球作用的电场线图直导线和带电导体球作用的电场线图（s=Q/q;k=d/r，取，取s=1;k=2）图图45 5、形如、形如“A”A”字的均匀线带电体周围的电场线和等势线图字的均匀线带电体周围的电场线和等势线图（在（在“A”A”所在平面上的投影）所在平面上的投影）图图5 5 6 6、圆环周围的电场线和等势线图（在经过轴线的平面上的投影）、圆环周围的电场线和等势线图（在经过轴线的平面上的投影）图图6 6二、多极矩叠加应用（一
4、）理论背景（一）理论背景 电势的展开：电势的展开： 其中各项物理意义：其中各项物理意义： 第一项是一个点电荷的电势，相当于第一项是一个点电荷的电势，相当于V内电荷都集中在内电荷都集中在O点时在点时在P点所产生的势；点所产生的势； 第二项是偶极子的电势，相当于第二项是偶极子的电势，相当于V内电荷都集中在内电荷都集中在O点处偶极子时在点处偶极子时在P点所产生的势；点所产生的势； 第三项是体系的四极距的电势，相当于第三项是体系的四极距的电势，相当于V内电荷都集中在内电荷都集中在O点处四极距时在点处四极距时在P点所产生的势；点所产生的势； 第第n项是体系的是体系的 2n 极距的极距的电势，相当于，相当
5、于V内内电荷都集中在荷都集中在O点点处 2n 极距极距时在在P点所点所产生的生的势； （ 表示前后张量完全缩并）表示前后张量完全缩并）（二）具体方法（二）具体方法 点电荷电场线图点电荷电场线图C电偶极子电场线图电偶极子电场线图+D四极距电场线图四极距电场线图+C，D表示不同电势展开时的系数（常数）表示不同电势展开时的系数（常数）= 导体周围电场线图导体周围电场线图 .（三）应用举例（三）应用举例 1 1、模拟、模拟椭球面导体周围的电场线图椭球面导体周围的电场线图 （叠加图）（叠加图） （精确图）（精确图） 从两图对比可以发现它们之间存在惊人的相似之处。叠加图在从两图对比可以发现它们之间存在惊人
6、的相似之处。叠加图在等势面上的正交性如此之好，令人惊叹！等势面上的正交性如此之好，令人惊叹！2、模拟带电导体球和点电荷作用时的电场线图、模拟带电导体球和点电荷作用时的电场线图 类似似椭球面中的叠加法，只是偶极子中球面中的叠加法，只是偶极子中p与与x轴的交角取的交角取=（椭球面中取球面中取） （叠加图）（叠加图）（精确图）（精确图） 此图也有很好的相似性，但可看出叠加法在模拟（此图也有很好的相似性，但可看出叠加法在模拟（2，0）处点电荷时，没有）处点电荷时，没有收敛到（收敛到（2，0）点，原因在于此处只叠加到了四极距；但是很明显它已经有了）点，原因在于此处只叠加到了四极距；但是很明显它已经有了收
7、敛回正收敛回正 x 轴上某个点的趋势。我们可以乐观的估计叠加上八极轴上某个点的趋势。我们可以乐观的估计叠加上八极距后模拟的精确度会大大提高。距后模拟的精确度会大大提高。三、精确法和叠加法求导体周围的电场的比较优势精确法精确法1、较精确地精确地计算出每算出每一点的一点的电势、电场2、模、模拟出来的出来的电场线较光滑光滑一般情况下无法通一般情况下无法通过计算算积分得到分得到电势的的解析表达式，从而解析表达式，从而限制了它的使用限制了它的使用叠加法叠加法1、当、当导体体电荷分布的荷分布的对称性不理想（无称性不理想（无法得到法得到电势解析表解析表达式达式精确法的精确法的局限性）局限性）时，它可，它可以
8、以发挥巨大作用巨大作用2、能大致表示出、能大致表示出电场变化的化的趋势，把一，把一些原本些原本较复复杂的的导体周体周围电场问题简化化表示表示电场线较粗略，存粗略，存在一定在一定误差差局限性局限性四、深刻意义不对称之中常蕴含着对称之美 1、镜像法 接地导体球A和点电荷Q相互作用时，导体球上的感应电荷是不均匀分布的，但它的电荷可以通过一个与Q关于A对称的点电荷来等效AQ 2、傅立叶分析变换 一般情况下，很多信号都是非周期、没有明显规则的，但是可以一般情况下，很多信号都是非周期、没有明显规则的，但是可以通过通过Fourier分析用一些周期函数叠加得到。分析用一些周期函数叠加得到。作作Fourier展
9、开展开（取前（取前300项近项近似）似）完完 美美 再再 现！现！五、构想和展望 1.如能加上八极距、十六极距等近似效果会更好如能加上八极距、十六极距等近似效果会更好2.平面图在很大程度上限制了电场线的完整表达，如能用三维立体图平面图在很大程度上限制了电场线的完整表达，如能用三维立体图 来展现电场线会更好来展现电场线会更好3.还可以绘制电介质在电场中极化时的电场线图，或磁场的磁力线图等还可以绘制电介质在电场中极化时的电场线图，或磁场的磁力线图等 4. EquationTrekker 是是Wolfram 公司公司2004年年11月推出的新版本月推出的新版本 MATHEMATICA 5.1 中新功
10、能，故对其使用和功能不是很熟悉，中新功能，故对其使用和功能不是很熟悉， 做出的图不是很美观、很对称做出的图不是很美观、很对称1经典电动力学经典电动力学 蔡圣善蔡圣善 科大天文与应用物理系科大天文与应用物理系2电动力学电动力学 虞福春虞福春 北京大学出版社北京大学出版社3符号计算系统符号计算系统mathematica教程教程 张韵华张韵华 科学出版社科学出版社4电磁学电磁学 张玉民张玉民 中国科技大学出版社中国科技大学出版社 科学出版社科学出版社5电磁学千题解电磁学千题解 张之翔张之翔 科学出版社科学出版社 六、参考资料七、感谢 谢谢沈激，陈子瑜老师热情地为我提供场所，是你们使我有了写下去的动力！ 谢谢郝轶聃，沈明民师兄为我出谋划策，耐心地给我讲解一些高深的理论，是你们让我对物理和数学有了更浓厚的兴趣！ 谢谢郝志东，叶邦角，程福臻老师指点论文，是你们使我的论文更上一层楼！ 谢谢廖瞻迪，虞堂清，周磊，刘妍的帮助和鼓励，是你们让我感到科大的温暖和人情味！ 八、结语 潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明。桥对寺门松径小，巷当泉眼石波清。迢迢远树江天晓，蔼蔼红霞晚日晴。遥望四山云接水，碧峰千点数鸥轻。轻鸥数点千峰碧，水接云山四望遥。晴日晚霞红蔼蔼，晓天江树远迢迢。清波石眼泉当巷，小径松门寺对桥。明月钓舟渔浦远，倾山雪浪暗随潮。引用苏东坡的一首诗来概括本论文的主题： 倒读
