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1、专题专题3 导导数及其数及其应应用用目录600600分基础分基础 考点考法考点考法考点19导数的概念及其运算考点20导数与函数的单调性考点21利用导数求函数的极值与最值考点22定积分与微积分基本定理700700分基础分基础 考点考法考点考法综合问题5导数的实际应用及综合运用考点19导数的概念及其运算1导数的几何意义导数的几何意义2几种常见函数的导数几种常见函数的导数考点19导数的概念及其运算【注意】若函数在点处导数存在，则曲线在该点必有切线；若函数在一点处导数不存在，曲线在该点处未必没有切线.因此，“函数在一点处导数存在”是“曲线在该点处有切线”的充分条件.考点19导数的概念及其运算1导数的几
2、何意义导数的几何意义2几种常见函数的导数几种常见函数的导数求分式类函数的导数时，导数的分母是函数的分母的平方，分子是两个式子的差，前者是函数的分子的导函数与分母的积，后者是函数的分子的导函数与分母的积.4 复合函数的导数复合函数的导数注意3 导数的运算法则导数的运算法则考点19导数的概念及其运算考法1导数的运算考法2用导数的几何意义，解决曲线的切线问题导数的概念及其运算考点19考点19导数的概念及其运算类型类型1 1 已知函数的解析式，求导已知函数的解析式，求导函数或导函数值函数或导函数值类型类型2 2 对抽象函数求导对抽象函数求导考法1导数的概念及其运算考点1集合的含义与表示、集合之间的关系
3、 类型类型1 已知函数的解析式已知函数的解析式,求导函数或导函数值求导函数或导函数值(1)求函数的导数的具体方法：将函数划分为基本初等函数的和、差、积、商，再求导；遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；遇到复杂分式，先将分式化简，再求导；遇到不符合求导法则的函数形式，应利用代数、三角恒等变换等手段对函数变形，再求导.(2)复合函数的求导，要选择恰当的中间变量，分清复合关系，切记复合函数的求导法则按“由内向外”的原则处理.考点19考法1导数的运算考点19导数的概念及其运算 类型类型1 已知函数的解析式已知函数的解析式,求导函数或导函数值求导函数或
4、导函数值考点19考法1导数的运算考点19导数的概念及其运算考点19考法1导数的运算考点19导数的概念及其运算 类型类型2 对抽象函数求导对抽象函数求导 近几年高考的求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，解析式类似为f(x)=f(x0)g(x)+h( x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f(x)，令x=x0，即可得到f(x0)的值，进而确定函数解析式.考点19考法1导数的运算考点19导数的概念及其运算类型类型1 1 已知切点求斜率或倾斜角，已知切点求斜率或倾斜角，已知切线的斜率求切点已知切线的斜率求切点类型类型2 2 曲线曲线y
5、=f(x)的切线问题的切线问题考法2用导数几何意义，解决曲线的切线问题考点1集合的含义与表示、集合之间的关系 类类型型1 已知切点求斜率或已知切点求斜率或倾倾斜角，已知切斜角，已知切线线的斜率求切点的斜率求切点 解决这类问题的方法都是根据曲线在点(x0,y0)处的切线的斜率k=f(x0)，直接求解或结合已知所给的平行或垂直等条件得出关于斜率的等式来求解.解决这类问题的关键是抓住切点.考点19考法2用导数几何意义，解决曲线的切线问题考点19导数的概念及其运算 类型类型2 曲线曲线yf（x）的切线方程的切线方程 考点19考法2用导数几何意义，解决曲线的切线问题(1) “过点A的曲线的切线方程”与“
6、在点A处的曲线的切线方程”是不相同的,后者A必为切点,前者未必是切点(2)曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条.切线与曲线的公共点不一定只有一个注意注意考点19导数的概念及其运算题型1 求曲线在某点处的切线方程题型2 求曲线过某点的切线方程考点19考法2用导数几何意义，解决曲线的切线问题考点19导数的概念及其运算考点19考法2用导数几何意义，解决曲线的切线问题考点19导数的概念及其运算考点19考法2用导数几何意义，解决曲线的切线问题考点19导数的概念及其运算考点20导数与函数的单调性 1.函数的函数的单调单调性与性与导导数的关系数的关系已知函数f(x)在某个区间内
7、可导，(1)如果f(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增，该区间是函数f(x)的单调增区间.(2)如果f(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减，该区间是函数f(x)的单调减区间.(3)若f(x)=0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 2.由由导导数与函数的数与函数的单调单调性的关系可得性的关系可得结论结论 (1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于零.当x (a,b)时， f(x)0函数f(x)在(a,b)上单调递增；f(x)0函数f(x)在(a,b)上单调递减.(2) f(x)0(0)在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)
8、上单调递增(减)的充分条件.考点20导数与函数的单调性【注意】(1)注意培养定义域优先的解题习惯.(2)在划分函数的单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点.(3)求得的导函数的零点要判断是否在定义域中.考法3利用导数讨论函数的单调性或求单调区间考法4已知单调性求解参数范围导数与函数的单调性考点20考点20导数与函数的单调性类型类型1 1 确定函数的单调性确定函数的单调性类型类型2 2 求函数的单调区间求函数的单调区间类型类型3 3 函数的单调性与导函数图函数的单调性与导函数图象间的关系象间的关系考法3利用导数讨论函数的单调性或求单调区间考点1集合的含
9、义与表示、集合之间的关系 类型类型 1 确定函数的确定函数的单调单调性性 方法一：说明在对应区间上导数的取值范围满足有关定理即可. 方法二：（1）确定函数f(x)的定义域； （2）求导函数f(x)，并求f(x)=0的实数根. （3）结合(2)中的根讨论f(x)的正负，其中f(x)0对应的x所在的区间内，函数f(x)单调递增；f(x)0对应的x所在的区间内，函数f(x)单调递减.考点20考法3利用导数讨论函数的单调性或求单调区间考点20导数与函数的单调性 求函数单调区间的步骤如下： (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求导数f(x) ，并求f(x)=0的实数根. (3)解f(x)0得到x所在
10、的区间，即为函数f(x)的递增区间；解f(x)0得到x所在的区间，即为函数f(x)的递减区间.考点20考法3利用导数讨论函数的单调性或求单调区间(1)解决问题的过程中,只能在函数的定义域内进行.(2)在划分函数的单调区间时,除了必须确定使导数等于0的点外,还要注意定义区间内的不连续点或不可导点此外，求得的根要判断是否在定义域中.考点20导数与函数的单调性求单调区间要注意的是？ 类型类型2 求函数的单调区间求函数的单调区间 利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 类型类型 3 函数的函数的单调单调性与性与导导函数函
11、数图图象象间间的关系的关系 理解导函数y=f(x)的图象与函数f(x)图象的升降关系，导函数大于0对应原函数图象由左至右上升，导函数小于0对应原函数图象由左至右下降，在解题时要注意原函数的定义域，如判断定义域是否具有对称性等.考点20考法3利用导数讨论函数的单调性或求单调区间考点20导数与函数的单调性考点20考法3利用导数讨论函数的单调性或求单调区间考点20导数与函数的单调性类型类型1 1 若函数若函数f( (x) )在区间在区间D上单调递增上单调递增( (减减) )，求参数，求参数m的范围的范围类型类型2 2 已知可导函数已知可导函数f( (x) )在区间在区间( (a, ,b) )上上存在
12、单调区间存在单调区间, , 求解参数范围求解参数范围类型类型3 3 已知已知f( (x) )在区间在区间I上单调递增上单调递增( (减减), ),区间区间I含有参数含有参数, ,求参数的取值范围求参数的取值范围考法4已知单调性求解参数范围考点1集合的含义与表示、集合之间的关系 类类型型1 若函数若函数f(x)在区在区间间D上上单调递单调递增增(减减)，求参数，求参数m的范的范围围考点20考法4已知单调性求解参数范围考点20导数与函数的单调性注意点是什么？注意点是什么？考点20考法4已知单调性求解参数范围考点20导数与函数的单调性类类型型2 已知可已知可导导函数函数f(x)在区在区间间(a,b)
13、上存在上存在单调单调区区间间, 求求解参数范解参数范围围考点20考法4已知单调性求解参数范围考点20导数与函数的单调性2类类型型2 已知可已知可导导函数函数f(x)在区在区间间(a,b)上存在上存在单调单调区区间间, 求求解参数范解参数范围围考点20考法4已知单调性求解参数范围考点20导数与函数的单调性类类型型3 已知已知f( (x) )在区间在区间I上单调递增上单调递增( (减减), ),区间区间I含有参数含有参数, ,求求参数的取值范围参数的取值范围考点20考法4已知单调性求解参数范围考点20导数与函数的单调性(1)求出f(x)的单调区间;(2)令I是其单调区间的子集，列不等式（组）,求出
14、参数的取值范围.考点21利用导数求函数的极值与最值 1.函数的极函数的极值值与与导导数数 (1)判断判断f(x0)是极是极值值的方法的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续且f(x0)=0,且在x0的两侧f(x)的值异号,则x0是f(x)的极值点, f(x0)是极值. 如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”则x0是f(x)的极大值点, f(x0)是极大值如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”则x0是f(x)的极小值点, f(x0)是极小值（1）极值点是导数的变号零点，当函数在某区间上单调时，在该区间上无极值.（2）极值点不是点，是自变量的值，极值是对应的函数值考点21利用导数求函数的极值与
15、最值考点21利用导数求函数的极值与最值(1)判断判断f(x0)是极是极值值的方法的方法 1.函数的极函数的极值值与与导导数数考点21利用导数求函数的极值与最值(2)求可导函数极值的步骤求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)=0的实数根；检查f(x)在方程f(x)=0的根的左、右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.考点21利用导数求函数的极值与最值 2.函数的最函数的最值值与与导导数数(1)函数函数f(x)在在a，b上有最上有最值值的条的条件件如果在区间a，b上函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值
16、和最小值.(2)设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步步骤骤如下如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.(1)函数的最值是定义域内的函数值的最大者和最小者；函数的极值是极值点附近的函数值的最大者和最小者.(2)函数在其定义域内的最大值、最小值最多各有一个，最大值一定不小于最小值，而函数的极值可能没有，可能有一个，也可能有多个，并且极大值不一定比极小值大.极值与最值的区别(3)最值应在极值点或区间端点处取得.(4)在开区间内只有一个极值时，该极值必是最值.考点
17、21利用导数求函数的极值与最值考法5利用导数求函数的极值考法6利用导数求函数的最值利用导数求函数的极值与最值考点21考法7已知函数极值、最值求参数的值（或取值范围）考点21利用导数求函数的极值与最值 求可求可导导函数函数f(x)的极的极值值的步的步骤骤(1)确定函数的定义域,求导数f(x).(2)求方程f(x)=0的实数根.(3)用上述方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小区间，并列成表格.明确f(x)在方程的根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.考点21考法5利用导数
18、求函数的极值考点21利用导数求函数的极值与最值求解是需要注意什么？如果解析式中有参数呢？【注意】(1)首先考虑定义域.(2)导数值为0的点不一定是函数的极值点，它是函数在该点取得极值的必要而不充分条件.(3)对于解析式中含有参数的函数求极值问题，一般要对方程f(x)=0的根的情况进行讨论.分两个层次讨论：第一层，讨论方程在定义域内是否有根；第二层，在有根的条件下，再讨论根的大小.考点21考法5利用导数求函数的极值考点21利用导数求函数的极值与最值考点21考法5利用导数求函数的极值考点21利用导数求函数的极值与最值 考点21考法6利用导数求函数的最值考点21利用导数求函数的极值与最值 求函数的最
19、值是高考每年必考考点，是高考考查的热点. 利用导数知识求可导函数f(x)在闭区间a，b上的最值步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将极大值与f(a)，f(b)比较，其中的较大者即为最大值，将极小值与f(a)，f(b)比较，其中的较小者即为最小值.【注意】(1)对含参数的函数解析式在求最值时，常常分类讨论，分类的原则是极值点在给定区间的内部还是外部，从而根据单调性求出最值.(2)求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后
20、借助图象观察得到函数的最值.考点21考法6利用导数求函数的最值考点21利用导数求函数的极值与最值考点21考法6利用导数求函数的最值考点21利用导数求函数的极值与最值考点21考法6利用导数求函数的最值考点21利用导数求函数的极值与最值 已知函数极值求参数的值(或取值范围)时，通常是利用函数的导数在极值点处的函数值等于零建立关于参数的方程；也可以求出函数的极值(含参数)，利用极值列方程；或根据极值的情况，列出关于参数的不等式(或组). 已知函数最值求参数的值(或取值范围)，通常是求出函数最值(含参数)，然后根据最值列方程或根据最值的情形列关于参数的不等式(或组)求解.考点21考法7已知函数极值、最
21、值情况求参数的取值（或取值范围）考点21利用导数求函数的极值与最值考点21考法7已知函数极值、最值求参数的值（或取值范围）考点21利用导数求函数的极值与最值考点21考法7已知函数极值、最值求参数的值（或取值范围）考点21利用导数求函数的极值与最值考点22定积分与微积分基本定理1用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤2定积分的定义定积分的定义考点22定积分与微积分基本定理(1)分割；(2)近似代替；(3)求和；(4)取极限.3.定积分的运算性质定积分的运算性质考点22定积分与微积分基本定理5.定积分的几
22、何意义定积分的几何意义4微积分基本定理微积分基本定理考点22定积分与微积分基本定理考法8求定积分考法9定积分的应用定积分与微积分基本定理考点22考点22定积分与微积分基本定理求解定求解定积积分一般步分一般步骤为骤为：(1)确定被积函数；(2)可考虑利用定积分的性质将所求的定积分转化为几个定积分的和，使得每个被积函数的原函数易得；(3)利用微积分基本定理求解并确定所求的结果.具体如下：考点22考法8求定积分考点22定积分与微积分基本定理类型类型1求简单函数求简单函数(原函数易求原函数易求)的定积分的定积分利用微积分基本定理求解.步骤如下：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；计算F(b)-F(
23、a).类型类型2求被积函数是绝对值函数或分段函数的定积分求被积函数是绝对值函数或分段函数的定积分需利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加. 考点22考法8求定积分考点22定积分与微积分基本定理类型类型3求复杂函数求复杂函数(原函数无法求出原函数无法求出)的定积分的定积分类型类型4奇函数、偶函数的定积分奇函数、偶函数的定积分考点22考法8求定积分考点22定积分与微积分基本定理考点22考法8求定积分考点22定积分与微积分基本定理考点22考法9定积分的应用 类型类型1求曲边多边形的面积求曲边多边形的面积步骤如下：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线
24、的大致图形.(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限.(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和.(4)计算定积分.考点22定积分与微积分基本定理类型类型2定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用考点22考法9定积分的应用考点22定积分与微积分基本定理考点22考法9定积分的应用考点22定积分与微积分基本定理综合点1导数与方程、不等式的综合综合点2利用导数求解生活中的优化问题导数的实际应用及综合运用综合问题5综合问题5导数的实际应用及综合运用综合问题5导数的实际应用及综合运用综合点1 导数与方程、不等式的综合导数与方程、不等式的结合，是高考一个永恒的主题，可以以选择题、填
25、空题的形式出现，也可以以解答题的形式出现，大部分难度都比较大，多为压轴题.1.1.不等式不等式问题问题(1)证明不等式依据待证不等式的特征、变量的取值范围及不等式的性质，将待证不等式化简.依据不等式构造函数.利用导数研究函数的单调性，求其最值.依据单调性及最值，得到待证不等式.综合问题5导数的实际应用及综合运用综合问题5导数的实际应用及综合运用综合点1 导数与方程、不等式的综合1.不等式不等式问题问题(1)证明不等式(2)不等式恒成立与存在性问题可以将问题转化为函数的极值或最值问题，也可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.求解时，第一步将不等式转化为对应函数的最值问
26、题或将参数分离出来转化为不含参数的函数最值问题；第二步是求解函数的极值；第三步根据题意确定范围.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)g(a)对于xD恒成立，应求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，应求f(x)的最大值.在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值.特别需要注意等号是否成立，以免细节出错.综合问题5导数的实际应用及综合运用综合问题5导数的实际应用及综合运用综合点1 导数与方程、不等式的综合 2.利用导数研究方程解或图象交点问题(1)利用导数研究高次
27、式、分式、指数式、对数式方程解或图象交点的个数问题的一般思路：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题.利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象.结合图象求解.(2)证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤：第一步，利用导数证明该函数在该区间上单调；第二步，证明端点值异号.综合问题5导数的实际应用及综合运用综合问题5导数的实际应用及综合运用综合点1 导数与方程、不等式的综合综合问题5导数的实际应用及综合运用综合问题5导数的实际应用及综合运用综合点1 导数与方程、不等式的综合综合问题5导数的实际应用及综合运用
28、综合问题5导数的实际应用及综合运用综合点1 导数与方程、不等式的综合综合问题5导数的实际应用及综合运用综合问题5导数的实际应用及综合运用综合点1 导数与方程、不等式的综合综合问题5导数的实际应用及综合运用综合问题5导数的实际应用及综合运用综合点1 导数与方程、不等式的综合综合问题5导数的实际应用及综合运用综合问题5导数的实际应用及综合运用综合点1 导数与方程、不等式的综合综合问题5导数的实际应用及综合运用综合问题5导数的实际应用及综合运用综合点1 导数与方程、不等式的综合综合问题5导数的实际应用及综合运用综合问题5导数的实际应用及综合运用综合点1 导数与方程、不等式的综合综合问题5导数的实际应
29、用及综合运用综合问题5导数的实际应用及综合运用综合点2 利用导数解决生活中的优化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点.一般步骤:(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x)，并确定函数的定义域.(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)=0.(3)比较函数在区间端点和f(x)=0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题作答.综合问题5导数的实际应用及综合运用综合问题5导数的实际应用及综合运用综合点2 利用导数解决生活中的优化问题综合问题5导数的实际应用及综合运用
