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1、3.1.1 3.1.1 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点哈尔滨市第三十二中学校郝戈结合我们学习过的知识求下列方程的实数根：（1） （2）方程 是否有实根？为什么？当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办方方 程程方程的根方程的根函函 数数函数函数图图像像类比一次函数零点定义，看二次函数。方方 程程方程的根方程的根函函 数数函数函数图图像像x1=1x2=3x22x3=0y= x22x3ax2+bx+c=0a00y=ax2+bx+c(a0)判别式判别式 0 0 0)ax2+bx+c=0 的根的根ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0)一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a0
2、)的根与二次函数的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a0)的图象有如下关系：的图象有如下关系：xyx1x20xy0x1xy0x|xx2x|x1x”或或“”或或“”)发现在区间发现在区间(2，4)上有零点上有零点 观察二次函数观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象图象xy013211212345-4-13-35 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不断的一上的图象是连续不断的一条曲线，并且有条曲线，并且有f(a)(a)f(b)(b)0 0，函数在，函数在(a,b)(a,b)一定没有零点？一定没有零点？xy 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,ba,b上
3、的图象是连续不断的一上的图象是连续不断的一条曲线，并且有条曲线，并且有f(a)(a)f(b)(b)0 0，那么，函数那么，函数y=f(x)在区间在区间函数零点存在性定理函数零点存在性定理(a,b) (a,b) 内有零点，即存内有零点，即存c(a,b)c(a,b)，使得，使得f(c)=0f(c)=0，这个，这个c c也也就是方程就是方程f(x)=0 0的根。的根。思考（3 3）函数）函数y=f( (x) )在在(a,b)(a,b)内有零点，一定能得出内有零点，一定能得出f(a)(a)f(b)(b)0 0 的结论？的结论？ 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不断的一
4、上的图象是连续不断的一条曲线，并且有条曲线，并且有f(a)(a)f(b)(b)0 0，那么，函数那么，函数y=f(x)在区间在区间函数零点存在性定理函数零点存在性定理(a,b) (a,b) 内有零点，即存内有零点，即存c(a,b)c(a,b)，使得，使得f(c)=0f(c)=0，这个，这个c c也也就是方程就是方程f(x)=0 0的根。的根。思考（4 4）满足定理条件时，函数在区间）满足定理条件时，函数在区间(a,b)(a,b)上只有一个零点？上只有一个零点？（5 5）增加什么条件时，函数在区间）增加什么条件时，函数在区间(a,b)(a,b)上只有一个零点？上只有一个零点？推论推论 如果函数如
5、果函数y= =f( (x) )在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不断的一上的图象是连续不断的一条曲线，条曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)f(b)0, , , ,且是且是且是且是单调函数单调函数单调函数, , , ,那么，这个函数在那么，这个函数在那么，这个函数在那么，这个函数在(a,b)(a,b)(a,b)(a,b)内必有内必有内必有内必有唯一的一个零点。唯一的一个零点。唯一的一个零点。唯一的一个零点。例例1 1：观察下列数据：观察下列数据 分析函数分析函数
6、f( (x)=ln)=lnx+2+2x- -6 6的零点个数的零点个数. .4 1.30691.0986 3.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972123456789xf（x）yx0 02 24 410105 52 24 410108 86 6121214148 87 76 64 43 32 21 19 9f(2)0f(2)0即即f(2)(2)f(3)0(3)0函数在区间函数在区间(2,3)(2,3)内有零点。内有零点。 由于函数由于函数f( (x) )在定义域在定义域(0,+)(0,+)内是增函数，所以内是增函数，所以它仅有一个零点。它仅有一个零点。例例
7、1 1：求函数：求函数f( (x)=ln)=lnx+2+2x- -6 6的零点个数的零点个数. .将函数将函数f( (x)=ln)=lnx+2+2x-6-6的零点个数转化为函数的零点个数转化为函数g( (x)=ln)=lnx与与h( (x)=-2)=-2x+6+6的图象交点的个数。的图象交点的个数。想一想想一想能否有其它方法也可得到本题结论？能否有其它方法也可得到本题结论？h(x)=-2x+6g(x)=lnxyx012136课堂小结课堂小结（1 1）函数零点的概念；）函数零点的概念；（3 3）函数零点的存在性定理；）函数零点的存在性定理；（4 4）学会函数与方程和数形结合的思想；学会函数与方程
8、和数形结合的思想；（5 5）函数的零点判断方法）函数的零点判断方法 方程法方程法 图象法图象法 定理法定理法（2 2）方程的根与函数的零点；）方程的根与函数的零点； 练习练习2:2:f f( (x x)=)=x x3 3+ +x x-1-1在下列哪个区间上在下列哪个区间上有零有零点点( ( ) ) A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 练习练习1：对于：对于定义在定义在R上的连续函数上的连续函数y=f(x),若若f(a).f(b)0 (a,bR,且且ab),则函数则函数y=f(x)在在(a,b)内（内（ ）A 只有一个零点只有一个零点 B 至少有一个零点至少有一个零点C 无零点无零点 D 无法确定有无零点无法确定有无零点课堂课堂小测小测
