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1、第八章第八章 相量法相量法 2. 2. 正弦量的相量表示；正弦量的相量表示；3. 3. 电路定理的相量形式。电路定理的相量形式。l 重点：重点：1. 1. 正弦量的表示法、相位差；正弦量的表示法、相位差；下 页8.1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念1. 正弦量正弦量瞬时值表达式：瞬时值表达式：波形：波形：周期周期T (period)和频率和频率f (frequency) :频率频率 f ：每秒重复变化的次数。每秒重复变化的次数。周期周期 T ：重复变化一次所需的时间。重复变化一次所需的时间。单位：单位：HzHz，赫，赫( (兹兹) )单位：单位：s s，秒秒正弦量为周期函数正弦量为周期函数下
2、 页上 页i tO T正弦电流电路正弦电流电路激励和响应均为正弦量的电路激励和响应均为正弦量的电路（正弦稳态电路）称为正弦电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。或交流电路。（1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。要的地位。研究正弦电路的意义研究正弦电路的意义1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数；积分运算后仍是同频率的正弦函数；优点优点2）正弦信号容易产生、传送和使用。）正弦信号容易产生、传送和使用。下 页上 页（2）正弦信号是一种基本信号，任何变
3、化规律复杂的信号）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。可以分解为按正弦规律变化的分量。 对正弦电路的分析研究具有重要的理对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。论价值和实际意义。下 页上 页(1)幅值幅值 (amplitude) (振幅、振幅、 最大值最大值)Im(2)角频率角频率(angular frequency)2. 正弦量的三要素正弦量的三要素(3)初相位初相位(initial phase angle) 2 单位：单位： rad/s ，弧度弧度 / 秒秒反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，相位变化的速度
4、， 反映正弦量变化快慢。反映正弦量变化快慢。 反映正弦量的计时起点，反映正弦量的计时起点，常用角度表示。常用角度表示。 下 页上 页i tO TIm同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。ti0一般规定：一般规定：| | 下 页上 页 =0=0 = = / / 2 2 = = = -= - / / 2 2例例已知正弦电流波形如图，已知正弦电流波形如图， 103rad/s，（1）写出写出i(t)表达式；表达式；（2）求最大值发生的时间）求最大值发生的时间t1ti010050t1解解由于最大值发生在计时起点右侧由于最大值发生在计时起点右侧下 页上 页3. 同
5、频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差 (phase difference) ui 0， u 超前于超前于i，或，或i 落后于落后于u ，u 比比i先到达最大值；先到达最大值； ui 0， i 超前于超前于u ，或，或u 滞后滞后i ，i 比比 u 先到达最大值。先到达最大值。同频正弦量的相位差等于初相位之差。同频正弦量的相位差等于初相位之差。规定：规定： | | 下 页上 页 tu, iu iO 0， 同相同相 = ，反相反相特殊相位关系特殊相位关系 tu, iu io tu, iu io = / 2 / 2u 领先领先 i于于 /2, 不说不说 u 落后落后 i于于3 /2；i 落后落后
6、u于于 /2, 不说不说 i 领先领先 u于于3 /2。 tu, iu io同样可比较两个电压或两个电流的相位差。同样可比较两个电压或两个电流的相位差。下 页上 页例例计算下列两正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。不能比较相位差不能比较相位差 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。同符号，且在主值范围比较。 下 页上 页4. 周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其效果，在工程上采用有效值来表示。效果，在工程
7、上采用有效值来表示。周期电流、电压有效值周期电流、电压有效值 (effective value) 定定义义R直流直流 IR交流交流 i电流有效电流有效值定义为值定义为有效值也称均方根值有效值也称均方根值(root-mean-square)下 页上 页同样同样，可定义电压有效值：，可定义电压有效值：正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值下 页上 页同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为则其最大值为Um 311V；U=380V， Um 537V。（1 1）工程上说的正弦电压、电流一般指
8、有效值，如设备铭）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。应按最大值考虑。（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。有效值。（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。注注下 页上 页8.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示1. 问题的提出问题的提出电路方程是微分方程：电
9、路方程是微分方程：+_RuLCi下 页上 页若若激激励励是是正正弦弦量量，则则电电路路的的响响应应也也是是同同频频率率的的正正弦弦量量，正正弦弦量量的的各各阶阶微微分分和和积积分分仍仍然然是是同同频频率率的的正正弦弦量量。所所以以，我我们们只只需需关关心心电电路路响响应应的的有有效效值值和和初初相相位位，可可以以不不理理睬睬正正弦量的角频率。弦量的角频率。因因同同频频率率的的正正弦弦量量相相加加减减，其其结结果果仍仍为为同同频频的的正正弦弦量量，所所以以只只要要确确定定结结果果的的初初相相位位和和有有效效值值( (或或最最大大值值) )就就行行了了。一个复数的极坐标形式包含了模和辐角，因此一个
10、复数的极坐标形式包含了模和辐角，因此: :正弦量正弦量复数复数下 页上 页两个正弦量的相加：如两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。方程运算。复数复数A的表示形式的表示形式AbReIma0AbReIma0 |A|2. 复数及运算复数及运算下 页上 页两种表示法的关系两种表示法的关系或或复数运算复数运算(1)(1)加减运算加减运算采用代数形式采用代数形式A1A2ReIm0AbReIma0 |A|图解法图解法下 页上 页(2) 乘除运算乘除运算采用极坐标形式采用极坐标形式复数除法：模相除，角相减。复数除法：模相除，角相减。复数乘法：模相乘，角相加。复数乘法：模相乘，角相加。则则:下 页上 页
11、例例2 解解下 页上 页例例1 解解故故 j, j, 1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。几种不同几种不同 值时的旋转因子值时的旋转因子ReIm0下 页上 页(3) 旋转因子旋转因子相当于相当于A逆时针旋转一个角逆时针旋转一个角度度 ，而模不变。故把，而模不变。故把 e j 称为旋转因子。称为旋转因子。 AReImo Ae j 复常数复常数构造一个复函数构造一个复函数对对A(t)取实部：取实部：对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数A(t)包含了三要素：包含了三要素：I、 、 ，复常数只包含了复常数只包含了I , 。3. 正
12、弦量的相量表示正弦量的相量表示下 页上 页称称 为正弦量为正弦量 i(t) 对应的相量。对应的相量。相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知已知例例1试用相量表示试用相量表示i, u .解解下 页上 页相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位在复平面上用向量表示相量的图在复平面上用向量表示相量的图例例2试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解相量图相量图下 页上 页 +1+1+ + j（1）同频率正弦量的加减）同频率正弦量的加减i1 i2 = i3下 页上 页 4. 相量
13、法的应用相量法的应用故同频正弦量相加减运算变成对故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。应相量的相加减运算。例例也可借助相量图计算也可借助相量图计算ReImReIm首尾相接首尾相接下 页上 页解解 （2） 正弦量的微分，积分运算正弦量的微分，积分运算微分运算微分运算积分运算积分运算下 页上 页例例Ri(t)u(t)L+-C用相量运算：用相量运算：相量法的优点相量法的优点（1）把时域问题变为复数问题；）把时域问题变为复数问题；（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；）把微积分方程的运算变为复数方程运算；（3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。）可以把直流电路的分析方法直接用于交
14、流电路。下 页上 页解解8.3 电路定理的相量形式电路定理的相量形式1. 电阻元件电阻元件VCR的相量形式的相量形式时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：相量模型相量模型uR(t)i(t)R+- -有效值关系有效值关系相位关系相位关系R+- -UR u相量关系：相量关系：下 页上 页瞬时功率：瞬时功率： i tOuRpR u= iURI瞬时功率以瞬时功率以2 交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率同同相相位位下 页上 页波形图及相量图波形图及相量图时域形式：时域形式：i(t)uL(t)L+- -相量形式：相量形式：相量模型相量模型j L+- -相量关系：
15、相量关系：有效值关系：有效值关系：相位关系：相位关系：2.电感元件电感元件VCR的相量形式的相量形式下 页上 页感抗的物理意义：感抗的物理意义：(1) (1) 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；(2) (2) 感抗和频率成正比；感抗和频率成正比； XL相量表达式相量表达式: : 感抗和感纳感抗和感纳: :下 页上 页感抗，单位为感抗，单位为 ( (欧姆欧姆) )感纳，单位为感纳，单位为 S 功率：功率： t iOuLpL2 瞬时功率以瞬时功率以2 交变，有正有负，一个周期内刚好互相抵消交变，有正有负，一个周期内刚好互相抵消 i电压超前电电压超前电流流900下 页上 页波形图及相量图：波形
16、图及相量图：时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：相量模型相量模型iC(t)u(t)C+- -+- -有效值关系：有效值关系：相位关系：相位关系：相量关系：相量关系：3. 电容元件电容元件VCR的相量形式的相量形式下 页上 页称为容抗，单位为称为容抗，单位为 (欧姆欧姆)高频短路高频短路( (旁路作用旁路作用) ) |XC|容抗与容纳：容抗与容纳：相量表达式相量表达式: :下 页上 页称为容纳，单位为称为容纳，单位为 S 直流开路直流开路( (隔直隔直) )功率：功率： t iCOupC2 瞬时功率以瞬时功率以2 交变，有正有负，一个周期内刚好互相抵消交变，有正有负，一个周期内刚好互相抵消
17、u电流超前电电流超前电压压900下 页上 页波形图及相量图：波形图及相量图：4. 4. 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式同同频频率率的的正正弦弦量量加加减减可可以以用用对对应应的的相相量量形形式式来来进进行行计计算算。因因此此，在在正正弦弦电电流流电电路路中中，KCL和和KVL可可用用相相应应的相量形式表示：的相量形式表示：上式表明：流入某一结点的所有正弦电流用相量表上式表明：流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足表示时仍满足KVL。下 页上 页例例1试判断下列表达式的正、误：试判断
18、下列表达式的正、误：L下 页上 页例例2A1A2A0Z1Z2已知电流表读数：已知电流表读数：A18AA26AA0?A0I0max=?A0I0min=?解解下 页上 页例例3解解相量模型相量模型j20 - -j10 +_15 下 页上 页+_15 u4H0.02Fi例例4+_5 uS0.2 Fi解解相量模型相量模型+_5 j5 下 页上 页例例5j40 jXL30 CBA解解下 页上 页例例6图示电路图示电路 I1= I2= 5A，U50V，总电压与总电流同相总电压与总电流同相位，求位，求 I、R、XC、XL。- -jXC+_RjXLUC+- -解解令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部下 页上 页例例7图示电路为阻容移相装置，如要求电容电压滞后于电图示电路为阻容移相装置，如要求电容电压滞后于电源电压源电压 /3，问问R、C 应如何选择应如何选择。解解 jXC+_R+- -上 页
