《高三数学三轮冲刺复习易错题专练16—抛物线【含答案】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学三轮冲刺复习易错题专练16—抛物线【含答案】（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、易错题专练16抛物线一. 单选题1 . 己知抛物线C ： V = 4 x 的焦点为尸，准线为/ , P 是/ 上一点，Q 是直线小 与抛物线C 的一个交点，若1户用= 3 |尸 。| , 则 3 1 = (）844 8A.3 B. 4 或 3C,、 2+片D. 或=1 / 、2 . 若 1, m , 9 三个数成等比数列，则圆锥曲线 m272 2V2 展的离心率是( )A.3或 后 B. 3或 2C. 3 或 2 D. 3 或 炕3 . 斜率为2 的直线/ 经过抛物线V = 4 x 的焦点尸，且与抛物线相交于4 , 4 两点，则AF + BF所 耐 的 值 为 () _A. 2 B. 1 C.
2、 2 D. 42s _=i 正 夕4 . 若抛物线V = 2 p x (p 0 )的焦点到双曲线8 p 的渐近线的距离为彳 ，则抛物线的标准方程为( )A / = 16x p y2 = 8x Q y2 =4x D =5 . 抛 物 线 V = 2 p x (p 0 )的焦点为尸，/、8 为抛物线上的两个动点，且满足|A/N|/AFB = 6Q .过 弦 的 中 点 / 作 抛 物 线 准 线 的 垂 线 M N ,垂足为N, 则 的 最 大 值为( )V3273A. 3 B. 3c. 1D. 26 . 己知抛物线C ： /= 2 p x (p 0 )的焦点为尸，为坐标原点，力，8 为抛物线C
3、上两点,AF + BF=- . 、M |=M 尸且 4 ,则 4 8 的斜率不可能是（）272A. 3 B. -2收 C. 2近72D. 27 . 如图，过抛物线V = 4 x 的焦点厂作直线/ 交抛物线于48 两点，点M 是线段Z 8 的中点，过 M 作V轴的垂线交抛物线于P 点，记 |4 8 |= 如 尸 产 则4 的值为( )A. 2 B. 4 C, 6 D. 81 7y = - X2 + y2 _ 2y + _ = 08 . 点 M 为抛物线 4上任意一点，点N 为圆 4 上任意一点，若函数/(x) = log“(x + 2) + 2 (a l)的图象恒过定点尸，贝 1 山0尸叶1世1
4、的 最 小 值 为 ( )5 11 13A. 2 B. 4 C. 3 D. 4二. 多选题29 . 设 /、8 是抛物线y = x 上的两点，是坐标原点，且 。 /_ L 0 8 ,则下列结论成立的是( )A. 点 到直线N 8的距离不大于1 B . 直线4 8 过定点0,0)C . 直 线 过 点 ( *) D. Q H 叩 2P(-, 1) , 210 .已知点 2 , 0 为坐标原点，A , 8 为曲线C ： V = 2 x 上的两点，F 为其焦点. 下列说法正确的是( )A . 点尸的坐标为2B . 若 尸 为 线 段 的 中 点 ，则 直 线 的 斜 率 为 - 2C . 若直线相
5、过点尸，且1尸 0 是Mi 与超 用 的等比中项，则M8|=10D . 若直线4 8 过点F, 曲线C 在点力处的切线为4 , 在点8 处的切线为4 , 则4 , 41 1 .设抛物线V = 2 p x (p 0 )的焦点为尸. 点加 在v 轴上，若线段F M 的中点3 在抛物线3 72上，且点8 到抛物线准线的距离为4 ,则点M 的坐标为( )A. ( 0 , - D B ( 0 , - 2 ) c. ( 0 , 2 ) D ( 0 , 1 )1 2 . 设 加 ，2是 抛 物 线 上 的 两 个 不 同 的 点 ，是坐标原点，若直线旭与 的 斜率 之 积 为 2 ,则下列说法错误的是( )
6、A OM + ON4y/2B.以仰为直径的圆的面积大于4 1C.直线N过 抛 物 线 的 焦 点D . 0到直线仰的距离不大于2三 . 填空题1 3 .已知抛物线丁= 8，焦点为尸，准线为/,尸为抛物线上一点，P A L I , “为垂足，如 果 直 线 的 斜 率 为 一 方 ，那么止用= ,S O F=( 。是坐标原点) .1 4 .已知抛物线 =2 p x ( p 0 ) 的焦点为厂( 1 , 0 ) , 过点尸作直线/ 交抛物线于N , 8 两点，A F_ _ 9 _则P=,才 一 而 的 最 小 值 为 一.1 5 .过抛物线V = 2 P x ( p 0 ) 上一定点尸( 天 ,%
7、 ) ( % 0 ) 作两条直线分别交抛物线于“ 区 ，% ) ，B & , % ),若 左 与尸8 的斜率存在且倾斜角互补，则 .1 6 .希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名. 他发现： “ 平面内到两个定点4 , 8 的距离之比为定值彳伍* 1 ) 的点的轨迹是圆”. 后 来 ，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简 称 阿 氏 圆 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， ( ) ，8( 0 , 4 ) , 则九 2点尸满足 2的 阿 波 罗 尼 斯 圆 的 方 程 为 .已知点C ( - 2 , 4 ) , 。为抛物线E： P=8 x上的动点，点。在直线x =
8、 - 2 上的射影为 ，M 为( x + 2+V=4上动点，则M C + QH + QM 的最小值为.四. 解答题1 7 .已知抛物线V=2x,过点尸. I ) 分别作斜率为，质的抛物线的动弦Z 8, C D,设M , N 分 别 为 线 段 CD的中点.( I ) 若尸为线段/ B 的中点，求直线4 8 的方程;( I I ) 若匕+ & = 1 ,求 证 直 线 恒 过 定 点 ，并求出定点坐标.18 .已知抛物线。： /=2 *(0 0 )的 焦 点 为 / ，/ 为 C 上位于第一象限的任意一点，过点力的直线/ 交 C 于另一点8 , 交x 轴的正半轴于点O.( 1 ) 若当点/ 的横
9、坐标为3 , 且 尸 为 等 边 三 角 形 ，求 0 的方程；(2 ) 对 于(1 ) 中求出的抛物线C , 若点 2 ,记点8 关于x 轴的对称点为E,NE交x 轴于点P , 且求证：点P 的坐标为( - % , 0 ) , 并求点P 到 直 线 的距离”的取值范围.19 . 平面直角坐标系 切 中，已知抛物线V = 2px(p 0)及点/ ( 2 , 0 ) , 动直线/ 过点M 交抛物线于“，8 两点，当/ 垂直于x 轴时，AB = 4.(1 ) 求的值；( 2 ) 若/ 与x 轴不垂直，设线段“ 3 中点为C , 直线4 经过点C 且垂直于N轴，直线4 经过点” 且垂直于直线/,记R
10、 4 相交于点，求证：点尸在定直线上.20 . 在平面直角坐标系 伽 中，已知抛物线C：/ = 2 处( p 0 ) ,过抛物线焦点尸且与夕轴垂直的直线与抛物线相交于/、8两点，且 0 4 8 的周长为2 +石.( 1 ) 求抛物线0的方程；( 2 ) 若直线/ 过焦点尸且与抛物线C相交于M、N两点，过点M、N分别作抛物线C的切线4、切线4 与4相交于点尸，求：I 尸用2 _ | . | 帆 的 值 .易错题专练16抛物线答案1 .解：当。在尸尸的延长线时，过 0向准线/ 作垂线，垂 足 为 根 据 已 知 条 件 ，尸| = 3 | 尸 0 | ,| F F | I 尸I = 3结合抛物线的
11、定义得、Q,/| FF | = p = 2o - - I1 上Q匕& 11 =3-， ，Q当。在尸尸之间时，过 。向准线/ 作垂线，垂足为, ，根据已知条件，FF | P F | _ 3结合抛物线的定义得3 1 IPS 2.| FF =p = 2 Q Q ， l=3故选：D2 . 解：三个数1 ,机，9 成等比数列,则/=9,解得，m = 3 ,当机= 3 时，曲线 3 为椭圆，cV 6则 a J 3 3 ；X ? 上= 1当机= - 3 时，曲线为 3 为双曲线，则离心率e = 2.故选：c .3 .解：由 =4x得尸( 1 , 0 ) , p = 2y = 4-1)由已知得l =4 x ，
12、消去V得 / - 1 8 x + l = 0 .设 1 ( % , 乂) ，B , %),则占 + Z = 1 8 , x , x2 = 1乂 | / 尸| = 再+ 1 , | S F | = x , +1所以 I 用 8 尸 | = ( x , + l ) ( x , + 1 ) = x , x , + X , +x2 + 1 = 20| A F | +1 5F | _ x , + x2 + 2 _ 20 _AF- B F = _ 20 = 20 =故选： 8 .4 .解：抛物线ylp xg o )的 焦 点 为 叱 ，0 )；尸到双曲线8 P 的 一 条 渐 近 线 入 7P 的距离为1
13、 1 1- 1 -= 一化简得8 P 4,解得 = 8；: 抛物线的标准方程为丁 = 1 6x .故选：A.5 . 解：设M用 = 。，1=6,由抛物线定义，得 / 用 =M 0l, BF=BP在 梯 形 尸 。qa, :.2MN=AQ + BP=a + b由余弦定理得，| AB |2 = A2 +b2 -2abcos 60 = a2 +b2 -ab配方得，1 8 = ( 。 + 与2 - 3 , ( 的又 2 ,31( a + b)2 - 3ab(a + b)2 (a + b)2 = - (a + b)244得到亭+|AV|0)的 焦 点 为 2 ,。为坐标原点，又 4 8 为抛物线C 上两
14、点，AO=AFt故 犯 = 7 , 代入 = 2 p x 得易知| AF |=| AO= + yA2 = -4p” ，所 以 B F = 4 4 = 2 .x + = 型所 以 5 2 ,所以4 = 。，代入V = 2 p x 得，几= 土夜p故 8(p,及 p ) ,或( p ,- 6 p ) .kAB故怎一金2 0 43,或-Op -阜- - - -旦=- 2五一 何 + 0 一 2夜,或3,或及p + +- - = 272故选：D .7 .解：抛物线V=4x的焦点为/ 。 ， 0 ) , 准线方程为x = - l( I ) 当直线48存在斜率时，设直线的方程为 = % ( 、 -1 )
15、( % 二 ) ,y2 =4x由 tr = % ( x - l ) , 消去V,得 心 2 _ ( 2左 2+ 4 ) % + % 2 = 0 ；设力区，必) ，8 ( % ，力) ,2k2 + 4% + Z = - 3 则 发，| AB | = & + & + p = & + + 2 =4 公 + 4k2X )+x2 _ 2 k2 + 2中点坐标胡 的横坐标为 2 k29 1 =屋卓_1 ) 二纵坐标为 2 k2 k ,4 , 1 = 4x x =由k ,解得 k ,1所以点尸的横坐标为F,| 尸尸| = 3+1=袈所以 k- k -,所以| 明 = 4 | P F | .( 2 ) 当直线
16、N8不存在斜率时，I P 用= 1 , 1 / 例 = 4,所以M8 | = 4 1 P 可.综上知，1 明 =4 1 口| , 2 = 4 .故选：B .y _1 218 .解：抛物线一“上化为标准形式是x = 外 ，焦点是2 0 ,1 ) ,准线方程是x =3 1112 + y2 _ 2 y H = 0 x2 + (y I)2 = w r 一圆的方程 4 可化为 4,圆心是C ( 0 ， D,半径为 2 .函数/(x ) = log“(x + 2) + 2(a 1)的图象恒过定点尸(-1,2),又 点 为 抛 物 线 , 十 上 任 意 - 点 ，点N为圆上任意二点；由图象知，”HL的 最
17、 小 值 为 回 fTT） - - 将直线A B方程代入抛物线方程了 = /,/ （ 演，必） ，B（X2 ,力） ，得 *2 Ax - 6 = 0 ,贝IJX |+Z =左，X,X2 = -b OA1OB t - OA -kO B= -b = - ； 6 = 1.于是直线Z 8方程为夕=丘+ 1 ,该直线过定点（，1）,不过点所以选项6、C错误；d = / W 1又点到直线4 8的距离为 VA-2+ l ,所 以 / 正确；当A = 时，1钏8 |取得最小值2 ,所以|C%HO812 ,选项。正确.故选：AD .c 2 X2 = y = 4 x y 尸（ 0,一）1 0 .解：由V = 2
18、x得 2 8 -,则焦点坐标 8 ,故/ 错误,设 4（ %, M）, B（X2 , %）, 4 B : y = kx + b ,代入 y = 2 /得自+ / , = 2 /，gj 2x2 -k x -b = 0 fk匹 + X)= 一则- 2 ,x+x2 _ 1: 尸为线段N 8的中点，A 2 2,k X + “ 2 = - = -即 -2 , 得k = - 2 , 故 8 正确,若直线4 5 过点尸，且 I尸 。I是I网 与 I S的等比中项,| “ 尸 | | 8尸 | =| 尸 。 =(- 4)2+1 = 1 + 9 = 。则24 4 ,y kx H- c 2 2 12 = 0由抛物
19、线的准线方程为, 8 , 代入y = 2 x 得 8k1X , +x2 = x,x2 = 则 2 , 16 ,则 8 , 8 ,A FW BF | =(凹 + ； ) (% + = y,y2 + 凹 + % ) + 专, , 、 1 r i i,yl +y2=k(Xt+x2) + - = + - y2=4(x,x2)2= 4 x= -4 2 4, 16x16 641, 、 1 5代入E y22 H8 (yM, + 乃)H-= 6 44,1 1 ,k2 1、 I 5-1 (- 1 ) 4 - = -得 64 8 2 4 64 4,得 矛 = 1 9 ,满足判别式 () ,11 Z.2 1 1 1
20、0 1则 | AB |=| AF + BF= y, +8- +月y ,8 = 2 + -4 + -4 = 2 + -2 - 10,故 C 正确,设 A(xi , M), B(x? , y2) ,则必=2x：得乂=2x；,函数 2 x 2 的导数F(x) = 4x,即在A 处切线斜率% = / a)= 4 % ,在B 处切线斜率k2= f (x2) = 4X2 ,则 2 =4 再4 % =16 芭 % ,由选项C 知，、 总 =一 而 ，ktk2 =16 x( -) = 1 .则- 16 ,即故。正确.故选：BCD.2X =- -1 1 .解：根据题意，抛物线y =2px(p0)的 焦 点 为
21、2 , 0 ) , 准 线 方 程 为 - 2 ,设 8 的坐标为（ 叽） ,m - - - - = 一若B为F、M 的中点，则 2 4 ,3五 p / p、 3夜又由点8 到抛物线准线的距离为4 ,则 4 2 4 ,解可得P = J2 ,2旭=正则 抛 物 线 的 方 程 为 2。，且 “一 丁 ，= 2/2 x = 18 在抛物线上，则 4 ,解可得 =1,祗则 8 的 坐 标 为 4 , 1） ,则点” 的坐标为（ ，） 或 （ ， -2） ；故选：BC .1 2 .解：设直线网的方程为“ =即 + 力 ，y2 =x联立方程组L = + 消去X可 得 / _ 切 一 人 =0,设 区 ，
22、必） ，N5, % ） ,则 必 + 为 =加 ，必必=一6,，x1x2 =（ 加 必 + b） （ my2 +b） = m2yy2 + mb（ y + 必） + 从 =,k k 弘必_ _ J_ b 1中 2 2 , . . . 2 , 故6 = 2, 直 线 . 方 程 为 、 = 叫 + 2 , 过定点（ 2,0） , 故C 错误；MN |= Jl + m2 J （ 必 + y2）2 - 4 必 = Jl + 阳2 J 加 2 + 8 = V/w4 +9/H2 +822加QMJ3 4._ 24. 以M N为直径的圆的面积- 4 ”,故 8 错误；2到直线 N 的距离为V/H2 +1W2故
23、。正确;当加=时，直线” N 的方程为x = 2 , 此时10M 目0Vl= ，故|OM | + |CW|=264亚 ，故/ 错误.故选：ABC .1 3 .解：抛 物 线 焦 点 为 尸 ( 2 ,0 ),准线/ 方程为x = -2 ,由直线4尸的 斜 率 为 ,直线A F的方程为y = - 逐 a -2) ,x = -2-xo 乂 + ” , % + N o2P- - - - - - =2-P- - - - - - -由尸N , P 8 倾 斜 角 互 补 知 即 M+盟 %+ % 可得必+ % = -2%A A = - 2故 故- 2PA _ 1 .+( _ 16 .解：设 /XJ),由
24、题意可得：P B 2 ,即 J 、 3 - 4 ) 2 2,整理可得:X2 4 - J /2 = 4做出图象如右：设圆(x + 2 ) + / = 4是动点M(x,y)到 C (- 2 , 4 ) 与到定点D(-2,m)的距离比为 2的阿氏圆. ( x + 2 ) 2 + ( y _ 4 ) 2 _ ? 2 8 (W - 1) 4W2-16 N所以4+2)2+3_” ? ) 2 ,化简得 “ + + y 3 - y + - 3 则团- 1 = 0 ,所以相= 1 ,故 。 (- 2 , 1) , . ,结合抛物线定义3目0 用 ，-MC + QH + QM=MD + QM + QFFD n 2
25、 (当且仅当。，M , Q ,尸四点共线，且 , “ 在 。，尸之间时取等号) ，此时 | FD= J (- 2 - 2 )2+ (l- 0)2 = V 17故-2M， C + QH + QM 的最小值为ar7-故 x 2 + y 2 =4 , 7 17 . ip Fx=- 2 1 7 .解： （i）设 a ， ） , 8 （X J） ,则y 、2 x ， - , 得（ y - y ） （ y + y ） = 2 （ x - x ） .又因为a 1 ）是线段/B的中点，所以y + y =2, . y- y 2所以， x - x y +厂.又直线48过P （ l， l） ,所 以 直 线 的方程
26、为y = x（ 1 1 ）依题设（ X , y ” ） ，直线N8的方程为六亦即y = + 代入抛物线方程并化 简 得k R2 kk、2 2 - 2 kkX +4= ： 2 = ,2 所以， 勺 % ；1-秘2 , , , 1 - WXM . 2 + 4 2 _ 左 ； 2 4于是， k1 , 用l- k,k2 1XN = , 2 Xv= ,同理， 卜2 , 与.易知K * ,所以直线MN的斜率 XM-XN1 1-3、y = （ x - - - - -故直线M N的方程为 h 1一贴 也 ,，V =2x.- 1 = 尢（ X - 1 ） ,即 y = 4 x + - k+ （ 2人向- 2 ）
27、 x + = 03=k Ay = j x + l即.此时直线过定点（ ） .故直线施V 恒过定点（ 0 , 1 ） .产 （ 之, 0 ） I五川= 3 + 1 8. 解： （ 1 ）由题知 2 , 2则。（ 3 + p, o ） ,即 的 中 点 坐 标 为 一 + 彳 之 + 型 = 3由2 4 ,解得P = 2 ,所以抛物线C的方程为/= ；（ 2 ）依题可设直线N 8 的方程为、 =叼 +/5*0） ,点 ” 区 ，必） ，B Q 、乂） ，则 Eg , - 力） ，y2 = 4xL2因为 0 2 ,所以 = 1 6 + 1 6 % 0 , yt+y2= 4 m）yt- y2=- 4x
28、0 ；设尸的坐标为（ 巧 , ） ,则 2 = （ % 一 4 , 一% ） ,P A = （ xt - xp,- y）；由 题 知 而 而 ，所以 乂 - Xp卜必+ （ 西一xp） 力=0七, + 占 卜 2 =（ 必 + y2）XP =+% ）即44 .x =地显 然 % +%=4 机*0,所 以 4 , 即证如+ x 0 = 0 ,由题知A A P 8 为等腰直角三角形，所以= 1 ,乂 +为 二 J山=】即再一 4 ,也即4 、 * ，所 以 乂 - % = 4 ,所以（ 必+ 力） 74 M % = 1 6 ,即 1 6 7n 2 + 1 6 / 2 = 1 6 m2 = 1 x0
29、 xQ 1x 。 2一 _ 0 )过点(2 , 2 ),代入抛物线方程，得4 = 2 p x 2 , 解得。= 1 ：( 2 )证明：由题意设直线/ 的方程为：V = (x - 2 ), 且在x O ,点 ” 区 ，M), B Q Z, % ),联立y2 = 2xy = x _ 2 ) , 消去x,化简得 2 _ 2 y _ 4 左 = 0 ,2乂 + % = 一由根与系数的关系得 k ,必为= - 4 ；_ 必 + % 1 1-. = . y =一又点在直线1 8 上，则 2 k ,所以直线4 的 方 程 为 k1 / C 、, y = (% 2 )又直线人过点M 且与直线/ 垂直，则直线4
30、 的方程为 k .1y二y = -(x-i)联立k ,解得X = 111y=7 尸 (1 , 7)k ,所以点 k所以点尸在定直线x = l 上.（ 0,马2 0 . 解： （ 1）由题意知焦点厂的坐标为 2（ -p,） （ p,）8 的坐标分别为 2 、 2 ,，将； ； =2代入抛物线C 的方程可求得点A、有 | 四 = 2 乙 QI = 3 I = %+ 9 = 1P可得 04 8的周长为2 p + 4p ,有2p +亚p = 2+ 后 ,解得p = l；所以抛物线C 的方程为V = 2y ；1 2V = X ,（ 2 ）由 （ 1）知抛物线C 的方程可化为 2 ,求 导 可 得 = 。
31、设点朋 N 的 坐 标 分 别 为 必 ） 、（ %, y2）., 1y = K X H 设直线 的方程为 2 （ 直线/ 的斜率显然存在）；, 1y = kx + 一.21 ,pi +x2=2ky = -x , j 1联立方程2 ,消去整理为：X -2 丘-1 = 0 , 可 得 X R= T有 % +% = % 区 + 2 ） + 1 = 2/ +11-4=%221-4可得直线4的方程为y - - xt2 =xl（x -x）y = x.x1 ,整理为 21 2同理直线, 2 的方程为 y = X2一 X -2 Xj-联立方程X = _(须 + x2)则点P 的坐标为 2 .MF=y i+ - | | = 7 , + -由抛物线的几何性质知 2 , 2 ,I PF= 0 )2+(_；42 = 7F 7T| M F | . | N F |= (y, +!)(2 + : ) = % 2 + !(必 + 卜2 )+ ； = ； +(2 %2 + 1) + ；=4 2 + 1有 2 2 2 4 4 4P F |2 -|M F|.|2VF|=0
