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1、一、概率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布三、小结三、小结第四节连续型随机变量及其概率第四节连续型随机变量及其概率密度密度一、概率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质1.定义定义1证明证明性质性质证明证明 同时得以下计算公式同时得以下计算公式注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即证明证明由此可得由此可得连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关若若X是连续型随机变量，是连续型随机变量， X=a
2、 是不是不可能事件，则有可能事件，则有若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量, 注意注意连连续续型型离离散散型型解解例例1例例2故有故有解解 (1) 因为因为 X 是连续型随机变量是连续型随机变量,二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布1. 均匀分布均匀分布概率密度概率密度函数图形函数图形均匀分布的意义均匀分布的意义分布函数分布函数解解由题意由题意,R 的概率密度为的概率密度为故有故有例例3 设电阻值设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在是一个随机变量，均匀分布在900 1100 求求 R 的概率密度及的概率密度及 R 落在落在901950 1050 的概率的概率例例4
3、 设随机变量设随机变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布上服从均匀分布, 现现对对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值大于大于3 的概率的概率. X 的分布密度函数为的分布密度函数为设设 A 表示表示“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3 的次数的次数”,解解即即 A= X 3 .因而有因而有设设Y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,则则2. 指数分布指数分布 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿命无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的、电力设备的寿命、
4、动物的寿命等都服从指数分布寿命等都服从指数分布.应用与背景应用与背景分布函数分布函数例例5 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为服从参数为=2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时).(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以上的概率上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. X 的分布函数为的分布函数为解解指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”.3. 正态分布正态分布(或或
5、高斯分布高斯分布)高斯资料高斯资料正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征正态分布的分布函数正态分布的分布函数 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算原函数不是原函数不是初等函数初等函数标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布
6、标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的图形标准正态分布的图形解解例例6 证明证明解解例例7例例8 证明证明证明证明(1) 所求概率为所求概率为解解例例9 44 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度0分布函数分布函数三、小结三、小结2. 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布均匀分布均匀分布正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)指数分布指数分布 正态分布有极其广泛的实际背景正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量例如测量误差误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常正常情况下生产的产品尺寸情况下
7、生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态都服从或近似服从正态分布分布.可以说可以说,正态分布是自然界和社会现象中最正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般那么这个变量一般是一个正态随机变量是一个正态随机变量.3. 正态分布是概率论中最重要的分布正态分布是概率论中最重要的分布另一方面另一方面,有些分布有些分布(如二项分布、泊松分布如二项分布、泊松分布)的极的极限分布是正态分布限分布是正态分布.所以所以,无论在实践中无论在实践中,还是在理还是在理论上论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布正态分布是概率论中最重要的一种分布.二项分布向正态分布的转换二项分布向正态分布的转换Born: 30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany)Died: 23 Feb. 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany)Carl Friedrich Gauss高斯资料高斯资料
