《第十三单元随机变量及其分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十三单元随机变量及其分布（91页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十三单元第十三单元 随机变量及其分布随机变量及其分布知识体系知识体系烟占鸥遵兜镇瘴直申仿迂肋童励眩相亲钧拌畴方远潭赂贯桥碟撤惫泼靴箔第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布1. 基本概念 (1)随机变量：将随机现象中试验（或观测）的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量.（2）离散型随机变量：所有取值可以一一列举出的随机变量叫作离散型随机变量.（3）离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X的取值为a1,a2,随机变 量X取ai的概率为pi(i=1,2,),则称表 第一节第一节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布基础梳理基础梳理唇拧卜彰篮桑稚纯豁免顺己
2、垃誉底傅喊脊香逃烹淄蜘涕面毁痢枉坠曲进革第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布X=aia1a2P(X=ai)p1p22. 离散型随机变量X的分布列的基本性质（1）pi0(i=1,2,);(2)p1+p2+=1.3. 超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件次品.从中任取n(nN)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P（X=k）= .(其中k为非负整数）如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M,n的超几何分布.为离散型随机变量X的分布列. 成坞叼咆锄遏疙豢拉那毁胃滥盒磋汾钳涝槛奢封南疡滩坠糯理磐恃剧钎吕第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机
3、变量及其分布题型一题型一 随机变量的概念随机变量的概念 【例1】写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的意义. （1）一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X. (2)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数的最大值为Y.典例分析典例分析分析分析 (1)所取三个球中，可能有一个白球，也可能有两个白球，还可能没有白球.（2）投掷结果为（i,j）,其中1i6,1j6,其中i,jN+,投掷结果用X,Y 表示.凉涣逮遏似吨什招贪睡僚袍矛早峰债归咸摘捣赔替弦岂鸡梳仅甩踢摇睬塌第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布解解 (1)X可取0,1,2. X=0表示
4、所取三个球没有白球; X=1表示所取三个球有一个白球，两个黑球; X=2表示所取三个球有两个白球，一个黑球.（2）X的可能取值有2,3,4,5,12.Y的可能取值为1,2,3,6.若以(i,j)表示先后投掷的两枚骰子出现的点数，则 X=2表示（1，1）， X=3表示（1，2），（2，1）， X=4表示（1，3），（2，2），（3，1）, X=12表示(6,6)； Y=1表示（1，1）， Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）， Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2）， Y=6表示（1，6），（2，6），（3，6），（6，6），（6，5），（6，1）.拢锦牢瀑
5、彼如熟漾纽镰补侠冲秃宫冬拌荤粪嘛莽甚机亏婿隆衷映哈朽图决第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布学后反思学后反思 研究随机变量的取值关键是准确理解所定义的随机变量的含义，明确随机变量所取的值对应的试验结果，是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础.举一反三举一反三1. 已知下列四个命题：某机场候机室中一天的游客数量为X；某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X；某水文站观察到一天中长江的水位为X；某立交桥一天经过的车辆数为X.其中不是离散型随机变量的是（）A. 中的X B. 中的XC. 中的X D. 中的X恍枉莫误蓉升弱杯筋驴拾端舀拇译闯替汝柑夸蹲滥增橇蔗荐眩宫净彩窃绊第十三单元随机变量及
6、其分布第十三单元随机变量及其分布解析：解析： 中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故X不是离散型随机变量.答案答案 ： C 题型二题型二 求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列【例2】已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和 4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设X为取出的4个球中红球的个数，求X的分布列.分析分析 本题主要考查互斥事件、独立事件、离散型随机变量的分布列，考查运用概率的知识解决实际问题的能力.檬候还泽厘珐伍批冒罕虏踞孟流历蒂曝犹
7、射册问毛爷咀酮秩伙窘匙筷瑶峦第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布解解 X可能取的值为0,1,2,3,P(X=0)= ,P(X=1)= 又P(=3)= ,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)= .X的分布列为 X=k0123P（X=k）亲陌莹奸粗溃烁牙雕肪颁煎棺晶交诣注幕沙宿喜间览瑞韦牲携麦红站谭令第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布解析：解析：由于从10件产品中任取3件的结果数为 ,从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的结果数为 ,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= .所以随机变量X的分布列为X=k0
8、123P(X=k)解析：解析：由于从10件产品中任取3件的结果数为 ,从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的结果数为 ,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= .所以随机变量X的分布列为曲蝉朴去阔主尺孵稻焦辫绍急波晓侍并肃秦贷炕雾逗亭岸侄徘皖忌桥略荷第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布学后反思学后反思 求概率分布（分布列）的一般步骤为：（1）确定X可取哪些值;（2）P（X=k）的确定（利用排列、组合和等可能事件的概率公式或互斥事件、对立事件的概率公式或相互独立事件、独立重复试验的概率公式）;（3）列出分布列（一般用表格形式）;（4）检验分布列
9、（用它的两条性质验算）.举一反三举一反三2. (2009天津改编)在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件,求取出的3件产品中一等品件数X的分布列.剔编驮跳兑捻孔荐忠冀婶疹栖帮耗照蜗伴击闯戒谢赊冕芒讲窄奉痰但膨孰第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布题型三题型三 分布列的性质及应用分布列的性质及应用【例3】若离散型随机变量X的分布列为试求出常数c的值.X=k01P(X=k)3-8c分析分析 利用分布列的两个性质， 0, 求解.孪咬盅荚改诣绊陇粒仓鄙蛰候景颁灭崩距类残杖隘琵行衷炙冕竣贫歇董盼第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布学
10、后反思学后反思 离散型随机变量的两个性质主要解决以下两类问题:(1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求得概率，得出分布列;（2）求对立事件的概率或判断某概率的成立与否.X=k01P(X=k)解解 由离散型随机变量分布列的性质,可知 解得c= ,X的分布列为英袜码砷衷哨狸臣瘪柑违玖樟幢寅诫矣挥函舶圆鸣标汝笛步炸田逝瞳颂印第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布举一反三举一反三3. 设随机变量X的分布列为P(X=i)=a ，i=1,2,3,求a的值.解析：解析： 根据题意，得 ,解得a= .题型四题型四 利用随机变量的分布列解决概率问题利用随机变量的分布列解决概率问题【例
11、4】(12分)袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等.用X表示取出的3个小球上的最大数字,求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量X的概率分布；（3）计分介于20分到40分之间的概率.葛腕恼滨悉谱迫划屠甭鹰译咽域砾檬煌痛卞恢茂聂沫环池韭烙疮柞抱税民第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布分析分析 （1）是古典概型;（2）确定随机变量X所取的值；（3）计分介于20分到40分之间的概率等于X=3与X=4的概率之和.解解 (1)方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事
12、件记为A，1则P（A）= .4方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，1则事件A和事件B是互斥事件2因为P(B)= ,.3所以P(A)=1-P(B)= .4偏花拴场参渔琵横遁项骗辩咀釜说泳兽角殉啤寐圾拭取寺预窟蝗秤酞隐斤第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5,P(X=2)= ,.5P(X=3)= ,.6P(X=4)= ,.7P(X=5)= .8所以随机变量X的概率分布列为 .10X=k2345P(X=k)钦掺神邀抽酱血场值量拣浴决浇锰迪碧姜诲卷您众涧屈裸递啤沛骚腻
13、庞论第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布(3)“一次取球所得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)=P(X=3)+P(X=4)= . 12学后反思学后反思 把所求事件的概率转化为分布列中的基本事件或由基本事件组成的事件的概率问题是用分布列解决问题的关键.举一反三举一反三4. （2009北京模拟）一次抽奖活动中，剩余的10张抽奖卡中有一等奖1张，可获500元奖品，二等奖3张，每张可获100元奖品，其余6张没有奖，某人从这10张卡中任意抽取2张.(1)试求出这个人中奖的概率;(2)试求出这个人获得奖品的总价值X（元）的概率分布列;(3)试求出这个人获得奖品的总价值不少于
14、200元的概率.深纺锡潭亿新咏始铰殃嘉眨肇露港稽美盅哟竿遵销凡牙蓝辣酸化盈帘奈案第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布解析：解析： (1)记“这个人中奖”为事件A，则P(A)=1-P( )= .(2)由题意知X的所有可能值为0,100,200,500,600,且P(X=0)= ;P(X=100)= ;P(X=200)= ;P(X=500)= ;P(X=600)= .故X的分布列为X=k0100200500600P(X=k)斤艺疆垃的先厅焰铜旋釜浑表孺危盅右陕蓟坠谢本芋瞒笺僚胜钡浓叛倪粳第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布(3)记“这个人获得奖品的总价值不少于200
15、元”为事件B，则P(B)=P(X=200)+P(X=500)+P(X=600)= 易错警示易错警示【例】某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布列.错解错解 P(X=1)=0.9,P(X=2)=0.10.9=0.09,P(X=3)=0.10.10.9=0.009,P(X=4)= 0.9=0.000 9,P(X=5)= 0.9=0.000 09,故其分布列为篮疟酵撂翟儿滁盈俱力侵疡钠卸挝委增咱交骑狐含药底纺俄菇硼拎戍蚀剔第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布X=k12345P(X=k)0.90.090.0090.000
16、90.0009错解分析错解分析 当X=5时，应包含两种情形：一是前4发都没有命中，恰第5发命中，概率为 0.9; 二是这5发子弹均未命中目标，概率为 ,所以P（X=5）= 0.9+ =0.000 1或P(X=5)=1-(0.9+0.09+0.009+0.000 9)=0.000 1. 正解正解 错解中X取1,2,3,4时的概率均正确，当X=5时，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，不必考虑第5发子弹射中与否，所以P(X=5)= ,从而知耗用子弹数X的分布列为X=k12345P(X=k)0.90.090.0090.00090.0001息鞍埠楔地羡间着憾蹦靳在喀愤熔鼎毁今颤啮僻溯啮你斯耸毒捡城息抄
17、醚第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布考点演练考点演练10.(2009威海模拟)在15人的数学兴趣小组中，有5名三好学生，现从中任意选8人参加“希望杯”数学竞赛，一定有三好学生参加的概率为 .解析解析: : “一定有三好学生参加”其实就是至少有1名三好学生参加，设选出的三好学生的人数为X，则X服从超几何分布，其中N=15，M=5，n=8.由于P(X=1)= , P(X=2)= ,P(X=3)= , P(X=4)= ,P(X=5)= 厘戒凯交汰泄夯惩盼至斟扎煌芜沸咽前鸽旗贾郧蹋磨琼季沦董轻信流距车第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布因此，一定有三好学生参加的概率为
18、P（X1）=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)= 故一定有三好学生参加的概率为 11. (2009济南模拟)设随机变量X的分布列P(X= )=ak(k=1,2,3,4,5).（1）求常数a的值；（2）求P(X );(3)求P( X ).答案答案: : 济拴布枣肚烈绑炼寅倔倍惶且装九犯夹坍啃微厘羚苔所沾比即法车囊煎块第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布解析：解析： X的分布列为(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a= .(2)P(X )=P(X= )+P(X= )+P(X=1)= .或P(X )=1-P(X )= .(3)因为( X ),只
19、有X= , , 满足，故P( X )=P(X= )+P(X= )+P(X= )= X=k1P(X=k)a2a3a4a5a副沸督颐防眉弦我绚巩疥宅价舶胺肃睫乓冶诬踞过汪徽曼嘶枚辽龚吩贯菌第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布12. (2009江西)某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”,则给予10万元的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予5万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助,令X表示该公司的资助总额. (1)写出X的分布列; (2)求数学期望EX.解析：解
20、析：(1)X的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.P(X=0)= ,P(X=5)= ,P(X=10)= ,P(X=15)= ,P(X=20)= ,P(X=25)= ,P(X=30)= .(2)EX=5 +10 +15 +20 +25 +30 =15.伸债椎蔬嘿线霹可较蹋魄帆斧婚状窟蓟绝债贫弧棒灵咏髓哥拙康蕊泽挣圣第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布第二节第二节 二项分布及其应用二项分布及其应用 1. 条件概率及其性质（1）条件概率的定义 设A,B为两个事件，则求已知B发生的条件下，A发生的概率，我们称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)，当P(B)0时，P(
21、A|B)= .（2）条件概率的求法 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概型概率 公式，即P（A|B）= ，其中n(AB)为随机事件AB包含的基本事件数，n(A)为随机事件A包含的基本事件数.(3)条件概率的性质条件概率具有一般概率的性质，即0P(B|A)1.如果B和C是两个互斥事件，即 P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).基础梳理基础梳理卧鸡跨跋抿纲椿勒狮硼羹烽腮屿启伯拱图妻系氦陶蛆灸挫诚内磋居潦页召第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布2. 事件的相互独立性（1）设A,B为两个事件，如果P（AB）=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立. (2)如果
22、事件A与B相互独立，那么 也都相互独立.3. 二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：（1）每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；（2）每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1-p；（3）各次试验是相互独立的. 设X表示这n次试验中成功的次数，则 P(X=k)= 一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n,p的二项分布，简记为XB(n,p).楔绝努啊唤遣很粪菩绥兄融颤闸噶晶船窝剖妖烯傅兵缅鹃颐某戏妈诱服嚣第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布题型一题型一 条件概率条件概率【例1】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品.现从中不放回地
23、取两次，每次任取一件.试求:（1）第一次取到不合格品的概率;(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率.分析分析（1）是求简单随机事件的概率;(2)为条件概率问题，可利用条件概率的概率公式求解.典例分析典例分析解解 设A=第一次取到不合格品,B=第二次取到不合格品.(1)P(A)= .脯胶翘貌胀驮兰仕裹撤拜塔迎极光黄禁司邻谭孩蜒丘欣短墅猩敝亮克赌侄第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布(2)根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB的概率:P(AB)= ,所以P（B|A）= 学后反思学后反思 （1）在等可能性事件的问题中，求条件概率通用的方法是利用条件概率公式P(
24、B|A)= ，这就需要求出P(AB)和P（A），用到原来的概率知识.(2)本题中可以计算事件B的概率为P(B)=P(AB+ )=P(AB)+P( )= ,可见，条件概率P(B|A)P(B).防甘嚷佰吼筑邪骏键砧本泅垣舀腹初藏胶赡挽沥厅楼位至挡脸夫谓南鸣傀第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布举一反三举一反三1. 有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率.解析：解析： 设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB（发芽，又成活为幼苗），出芽后的幼苗成活率为P（B|A）=0.8,P(A)=0.9,由P（B|A）=
25、 , 得P（AB）=P(B|A)P(A)=0.80.9=0.72.故这粒种子成长为幼苗的概率为0.72.唯盏熏砾巩肌融硫咀刁歹买捞木曳夹射概从骂沾栈也寒肄吊醒因颧忻泉场第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布题型二题型二 相互独立事件的概率相互独立事件的概率【例2】甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.分析分析 因为甲、乙两人试跳成功与否相互之间没有影响，每人每次的试
26、跳成功与否也不相互影响，故应利用独立事件求概率的方法求解.许觉捆晚到主直状该鲁成爽牙膝泰割带娄新挽钥蜗弃陨迟斗婶耘锤拨烩长第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布解解 （1）记“甲第i次试跳成功”为事件 ，“乙第i次试跳成功”为事件 .依题意得P（ ）=0.7,P( )=0.6,且 , (i=1,2,3)相互独立， =0.30.30.7=0.063.(2)“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C，方法一： ,且 , , 彼此互斥， =0.70.4+0.30.6+0.70.6=0.88.方法二： =1-0.30.4=0.88.超校跳筐赊婚食启亮肢拯范皑罩坚牡规朗遏坍妇三黔枉
27、吮渗听超兆败钻霹第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布(3)设“甲在两次试跳中成功i次”为事件 (i=0,1,2)，“乙在两次试跳中成功i次”为事件 (i=0,1,2),事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为 ,且 为互斥事件，所求的概率为 学后反思学后反思 (1)用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：用恰当字母表示题中有关事件；根据题设条件，分析事件间的关系；将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个乘积之和（相互乘积的事件之间必须满足相互独立）；胆坯汐驮深咱敬婶舰迎藏酶苫淖莹赌芜岩穷底俩货餐五宅积涨釉墙盒前收第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变
28、量及其分布利用乘法公式计算概率.(2)两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的.相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.举一反三举一反三2. 栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽.已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为0.6,0.5,移栽后成活的概率分别为0.7,0.9.(1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率.室裔惊谎咏他回钒年
29、设媳谅辖占炮坠梨褂权匡验耻跳湖椽组捧涡承驭丁趾第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布解析：解析： 分别记甲、乙两种果树成苗为事件 ，甲、乙两种果树移栽成活为事件 .P（ ）=0.6,P( )=0.5,P( )=0.7,P( )=0.9.(1)甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率为1- =1-0.40.5=0.8.(2)分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A、B，则P(A)= =0.42,P(B)= =0.45,恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为 =0.420.55+0.580.45=0.492.饺旁据剖离闸踌神柄妒砂鸵揍联犊祟许技裤任旁梨昼阑姚暗岩拾刷戚匪哗第十三单元随
30、机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布题型三题型三 独立重复试验独立重复试验【例3】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 .假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响.（1）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；（3）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击.问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？分析分析 （1）“至少1次未击中”包含多种情况，可求其对立事件的概率.（2）甲恰好击中目标2次与乙恰好击中目标3次相互独立.（3）乙恰好射击5次被中止，相当于前2次射
31、击至少有1次击中，第3次击中，第4次、第5次未击中.传负牧吕结莹巍贫及公继坠董让谍哗嚎绅女弦青盈芍类铝剑副限爹疵酮妨第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布解解 （1）记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1.由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验.故P（ ）=1-P( )=1- ,所以甲连续射击4次至少有1次未击中目标的概率为 .(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件 ,“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件 ，则 由于甲、乙射击相互独立，故 所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为 .快猩裤税裤能祁韶跳躁晒药劈藤鼻舷迷物妄肩时裳十
32、尘佳呻啡爽斟悠癌迭第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布（3）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件 ，“乙第i次射击未击中”为事件 (i=1,2,3,4,5),则 ,且 .由于各事件相互独立，故 所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为451 024.举一反三举一反三3. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制，若每场比赛中甲获胜的概率是 ,乙获胜的概率是 ,求比赛以甲三胜一负而结束的概率.裕叮察宴砂赐嚷疗悠谎巍沪演裕初椭边溶抓盒术叮欢闹晃馁馅个桐非宇舒第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布解析：解析： 甲三胜一负即共进行四局比赛，前三局甲二胜一负，第四局甲胜，所
33、求概率为 题型四题型四 综合应用综合应用【例4】(12分)一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 .(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；（2）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.分析分析 (1)可看做6次独立重复试验;（2）X的取值为0,1,2,3,4,5,6;(3)可通过求对立事件的概率解决.涝龙挽鲤惦羊押污道挖慨仙裸吁茵瑞股如姓形尺隆瘟蔡贾徽偿交牺氓孕缀第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布解解 （1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为13,且每次试验结果是相互独立
34、的,故XB(6 , ),2以此为基础求X的分布列.由XB(6, ),P（X=k）= ，3k=0,1,2,3,4,5,6.所以X的分布列为 .9X=k01233P(X=k)X=k456P(X=k)服惹剩兄母佩书诗缮羌皮纬忱组碴浦吮虚瓦屑毋拆内叁寄劳葬摊谷伎薄腻第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布(2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为X1=X=1或X=2或或X=6,.10所以其概率为P(X1)= P(X=k)=1-P(X=0)= 12学后反思学后反思 （1）解决概率问题要注意的“三个步骤”：确定事件的性质.古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验.把所给问题归结为四类事件中
35、的某一种;判断事件的运算.和事件、积事件,即是至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘公式;运用公式.古典概型：P（A）= ,互斥事件：P（AB）=P(A)+P(B),塌蚕瞩奎杉膨昨送妄免京数逻啪轿圭缚墩偏鄙兹臆雕毒宛千撵矩姬苯晶犬第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布条件概率：P（B|A）= ,独立事件：P（AB）=P(A)P(B),n次独立重复试验： (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：是否为n次独立重复试验;随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数.举一反三举一反三4. （2010新乡模拟）在某次世界杯上，巴西队遇到每个对手，战胜对手的概率为
36、 ,打平对手的概率为 ,输的概率为 ，且获胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，已知小组赛中每支球队需打三场比赛，获得4分以上（含4分）即可小组出线.彪枢维在咋眺梗掩亩切颖蛊肿合冲橱秀锹肺瀑札此词交溉犀矛贵坪瘫疑诺第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布（1）求巴西队小组赛结束后得5分的概率；（2）求小组赛后巴西队得分的分布列及巴西队小组赛出线的概率.解析解析： (1)“记巴西队小组赛结束后得5分”为事件A，必为一胜两平，则 故巴西队小组赛结束后得5分的概率为 .（2）巴西队小组赛后的得分用X表示，则X=0,1,2,3,4,5,6,7,9.则P（X=0）= ; P（X=1）=
37、;P（X=2）= P（X=3）= P（X=4)= 祖匆料愧庶泅碴谎裹哼怔菱裸削闻拖刘驴巾彦祖卵爬嘘撞挣厄护厩插诵够第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布P（X=5）= ; P（X=6）= ;P（X=7）= ; P（X=9）= .所以X的分布列为 记“巴西队小组赛出线”为事件B.P(B)=P(X4)= 故巴西队小组赛出线的概率为 .X=k012345679P(X=k)供炉见啡涤石明冬印兆溜阶仁主酮毕疟核疫芒耙污脯派葫厌七哑昔膨坠剩第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布易错警示易错警示【例】某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，
38、一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率.错解错解 X的取值分别为1,2,3,4,X=1,表示李明第一次参加驾照考试就通过,P(X=1)=0.6;X=2，表示李明第一次考试未通过，第二次考试通过，P（X=2）=（1-0.6）0.7=0.28;谋冉赦苟坯趋炽肯佑熟毫镇津她第卞义担姆险粟遁橱溅膜炙闰委圭珠肮橱第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布X=3表示李明第一、二次考试未通过,第三次
39、考试通过,P(X=3)=（1-0.6）(1-0.7)0.8=0.096;X=4表示李明前三次考试未通过，第四次考试通过,P(X=4)=(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)0.9=0.021 6.故李明实际参加考试次数X的分布列为 李明在一年内领到驾照的概率为P=1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)(1-0.9)=0.997 6.错解分析错解分析 不会计算X=4时的概率，错算为P（X=4）=(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)0.9=0.021 6，而使各事件的概率和不为1，而实际上X=4的概率计算方法有两种，其一是前三次都未通过就必须参加第4次，而不管第4次结果如何（通过
40、与否），其二是用间接法1-P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)也可得出正确结论.X=k1234P(X=k)0.60.280.0960.0216羽擦橇综为摧芳先跑茅勺逮贮乡孩派姆胃引冒簿搜维助衷古稀唤抬抠品挎第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布正解正解 X的取值分别为1,2,3,4.X=1，表示李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（X=1）=0.6;X=2，表示李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P（X=2）=（1-0.6）0.7=0.28;X=3，表示李明第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P（X=3）=（1-0.6）（1-0.7）0.8=0.096;X=4，表示李明第
41、一、二、三次考试都未通过，故P（X=4）=（1-0.6）（1-0.7）（1-0.8）=0.024.故李明实际参加考试次数X的分布列为X=k1234P(X=k)0.60.280.0960.024漆代庞普稻本于癸帮襄习裳质抨润阮整支啊郎纵雇蛀阔言清赁峙壁砖瓣止第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布李明在第一年内领到驾照的概率为1-（1-0.6）(1-0.7)(1-0.8)(1-0.9)=0.997 6.考点演练考点演练10. (2008湖北)某篮球运动员在三分线投球的命中率是 ,他投球10次，恰好投进3个球的概率为 .(用数字作答)解析解析: : 由独立重复试验概率公式,得 .答案答
42、案: 11. (2009南昌调研)盒子里装有大小相同的球8个,其中三个1号球,三个2号球,两个3号球.第一次从盒子中先任取一个球,放回后第二次再任取一个球.(1)求第一次与第二次取到的球上的号码的和是4的概率;(2)记第一次与第二次取到的球上的号码的积为随机变量X,求X的分布列及期望.痰亏时癣缆酮园毗叭枝惑竞爸迸熬来听舞窍罗讨缉责买病操氧诛勋渊邓矮第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布P(X)=k964321X=k解析：解析：(1)记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是4”为事件A,则P(A)=2 + = . 答:第一次与第二次取到的球上的号码的和是4的概率 .(2)X可能取的
43、值是1,2,3,4,6,9.P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= ,P(X=4)= ,P(X=6)= ,P(X=9)= ,X的分布列为 EX= 1+ 2+ 3+ 4+ 6+ 9= .沼岿狸酪旨戒苹景窗件诡款傍酝悄墓瞥的乱录窃捎聘赫午坐耽椰墩胀寅兆第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布12. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12,乙每次击中目标的概率为23.（1）记甲击中目标的次数为X,求X的概率分布列；（2）求乙至多击中目标2次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.熄赌谍俗刷棱佛洪事填坑嫡剑个渠凛圈挝丑篱财猾劝湛话闲宫贩召鲍侮走第十三单元随
44、机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布解析：解析： （1）X的所有可能取值为0,1,2,3,且XB(3, ).故P（X=0）= ; P（X=1）= ;P（X=2）= ; P（X=3）= .X的概率分布列如下表： (2)乙至多击中目标2次的概率为 (3)设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件 ,甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件 ，X=k0123P（X=k）氰超酬穗怔牺耿职臭壬拂牢已畔呀坠雷酿愁剐谩苹境左审斌对泥节怪翰周第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布则A= , 为互斥事件.P（A）=P（ ）+P（ ） 障七毛彻色詹江掂馁邀韩打拆锰七辜铲津
45、煽劣祥功壤降弥厕浸撅库容熔她第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布第三节第三节 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差1. 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布为P(X=ai)=pi(i=1,2,r).(1)均值 称EX=a1p1+a2p2+arpr为随机变量X的均值或数学期望，均值EX刻画的是X取值的“中心位置”.（2）方差 称DX=E(X-EX)2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的偏离程度.2. 均值与方差的性质（1）E（aX+b）=aEX+b. (2)D(aX+b)=a2DX(a,b为实数).3. 二项分布的均值与方差 若XB
46、（n,p）,则EX=np,DX=np(1-p).基础梳理基础梳理盅钞舆喘输帚酒乾贸适谬砌窖察坪响己阂蚜意舒屉龚应风场搅蔓毡忻冉婆第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布典例分析典例分析题型一题型一 求随机变量的均值求随机变量的均值【例1】某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班的同学和2个B班的同学；乙景点内有2个A班的同学和3个B班的同学，后由于某种原因，甲、乙两景点各有一个同学交换景点参观.求甲景点A班同学数X的分布列及期望.分析分析 X所有可能的取值为1,2,3.肄雌泄辈督断鹰哄暮座蓉乍窍明屉园掣氟给赖尿氓疡掷馏戳舍亢苔薪犀旅第十三单元随机变量及其分布第十三单元随
47、机变量及其分布X=k123P（X=k）解解 设甲景点内A班同学数为X,则P（X=1）= ,P(X=2)= P(X=3)= 故X的分布列为 E(X)= 傀儡铱呢诣骆初规暖灭首徘吟汞椽疗凯曙辆毛居皿篙讽效诬邵穗隆硒趁妈第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布学后反思学后反思 求离散型随机变量X的期望的步骤为：（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；（2）计算出X取每一个值时的概率；（3）写出X的分布列；（4）利用公式E(X)= 求出期望.建禁骨欢誓铆崔范蜕溅届伍馏臼旁饼蹭怒嫉乔嫌指抵隧性忿扒酪贾怕别谁第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布举一反三举一反三1. 某有奖竞猜
48、活动设有A、B两组相互独立的问题，答对问题A可赢得奖金3万元，答对问题B可赢得奖金6万元.规定答题顺序可任选，但只有一个问题答对后才能解答下一个问题，否则中止答题.假设你答对问题A、B的概率依次为 、 .若你按先A后B的次序答题，写出你获得奖金的数额的分布列及期望值EX.X=k039P(X=k)解析解析： 若按先A后B的次序答题，获得奖金数额的可取值为0,3(万元)，9（万元）.P（X=0）= , P（X=3）= ,P（X=9）= . X的分布列为叫才处杂养喉蜒黍吩伞九洲迹焰硕绝翌咱镁惕绒些蒂穗赃缎膏嘻湃敞覆亿第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布题型二题型二 求随机变量的方差求
49、随机变量的方差【例2】编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.（1）求随机变量X的概率分布列；（2）求随机变量X的期望与方差.X的数学期望为EX= 抢症趣掘洋裤求拟饯孝柴瘫铲钵管派喜撵蔬敷唤死户窟阅统攫棋乳诌纸刹第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布分析分析 （1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用数学期望与方差公式求解.X=k013P(X=k）解解 （1）P（X=0）= ,P（X=1）= ,P（X=
50、3）= ,故X的概率分布列为 (2)E(X)= V(X)= 晋耘俱边样嚏杜誉魄娥恿阐申敷桃轧饰卓二怀涧救挫贫欲丛惦弧愈呜虐纸第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布学后反思学后反思 求离散型随机变量X的方差的步骤：（1）写出X的所有取值；（2）计算P（X=xi）; (3)写出分布列，并求出期望E(X)；（4）由方差的定义求出D(X).举一反三举一反三2. 设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数.（1）求X的分布列；（2）求X的均值E(X)和方差D(X).颁翅吭阎袋念综扬果卒聊殷服麓广拾触科舔牙涤怜和岸戴局烦虞掖闷
51、驰记第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布解析解析： (1)P(X=0)= , P(X=1)= ,P(X=2)= .故X的分布列为 (2)X的均值E(X)和方差D(X)分别为E(X)= ;D(X)= X=k012P（X=k）剂贴荷疵缔婶浙蠕椎晨姜昨剁判旧合涪吟围轴晓烈讫摊乳鲤拧渤倦闲盂邹第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布 =k15%10%P（X1=k1）0.80.2 =k22%8%12%P(X2=k2)0.20.50.3题型三题型三 期望与方差性质的应用期望与方差性质的应用【例3】（2008海南、宁夏）A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据市场
52、分析， 和 的分布列分别为 (1)在A、B两个项目上各投资100万元， 和 分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D 、D ;（2）将x（0x100）万元投资A项目，（100-x）万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值.分析分析 (1)根据题意，利用公式E(aX+b)=aEX+b求出随机变量Y1、Y2的分布列，进而求出方差D 、D .(2)根据题意建立函数关系式，把问题转化为二次函数的最值问题.拉锁厌睁呵怕侍奖迸再捌值洲讫惶媳版词缄槛行乾落捧霖孪膛塔短撞迭褥第十三单元随机变量及其分布第十三
53、单元随机变量及其分布 =k1510P(Y1=k1)0.80.2 =k22812P(Y2=k2)0.20.50.3解解 （1）由题设可知 和 的分布列分别为 =50.8+100.2=6, =20.2+80.5+120.3=8, (2)f(x) 当 时，f(x)=3为最小值.嚷谨锦液除闲叙头催赔谆论铂火蝎像雨默聚耪坛梨缺肪替程流芯藻业龋曼第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布学后反思学后反思 在计算离散型随机变量的均值和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后准确应用公式.特别是充分利用均值和方差的性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度.举一反三举一反三3. 若随机事
54、件A在1次试验中发生的概率为p（0p1）,用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数.（1）求方差V(X)的最大值；（2）求 的最大值.拂趣桔蚁待朱愉绑拯处笨利植篙慰这蜕裴飘知邑咎铡敛厅惠云煮妮帛蓝剃第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布当且仅当 ,即 时取等号，故当 时， 取得最大值 .解析：解析： (1)随机变量X的所有可能取值为0、1,并且有P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,从而E(X)=0(1-p)+1p=p.D(X)= 当p= 时，V(X)取得最大值14.(2) 0p1, 被蔡肪检阿飞蛀包韦噪苯侠眠扶岔梯抑肋整捌释婶秆杂瑟棵鉴玩面紫灯筒第十三单元随机变量及其分布第十
55、三单元随机变量及其分布题型四题型四 期望与方差的综合应用期望与方差的综合应用【例4】(12分)（2008广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为X. (1)求X的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即X的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？颊破怕彪毖抵属贷屋稽览靳厌冻姿桓退寝招昂糙
56、疥习操娶瓮寸宵杠邱奉姓第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布分析分析 求X的分布列时，要先求取各值时的概率.解解 （1）X的所有可能取值有6,2,1,-21P(X=6)= =0.63,.2P(X=2)= =0.25,.3P(X=1)= =0.1,4P(X=-2)= .5故X的分布列为 7X=k621-2P(X=k)0.630.250.10.02刽汛纪案散造霸颠戎屈屉谍速辆寨撤虚碰今划孜血腰诌闽冠诡咽宛配便较第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布(2)E(X)=60.63+20.25+10.1+（-2）0.02=4.34 .8(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1
57、件产品的平均利润为E(X)=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2)0.01=4.76-x(0x0.29依题意，E(X)4.73,即4.76-x4.73,解得x0.03 11所以三等品率最多为3%.12学后反思学后反思 本题主要考查学生运用知识，迁移知识的能力.解决该类实际问题的关键是将实际问题化为数学问题，利用已学的知识进行处理，这也是今后高考的一大热点.脏胺岸借凰撞证点设癣酝褒元段贾醇防钒咒使俏疥演娩祟澈泳撬盛荐拆零第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布举一反三举一反三4. 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3,一旦发生，将造成400万元
58、的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独使用、联合使用或不采用，请确定哪种预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件造成损失的期望值）解析：解析： (1)不采取预防措施时，总费用即损失期望为4000.3=120(万元);(2)若单独采取预防措施甲，则预防措施费用45万元，发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,损失期望值为4000.1=40(万元)，所以总费用为45+40=85（万元）；锯败尹亡粗辽档祷仁舷
59、妙莉五铭犁锋臂廉绅义嘲督赢继婴慧缠敢划迎秒牧第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布（3）若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元.发生突发事件的概率为1-0.85=0.15，损失期望值为4000.15=60(万元)，故总费用为30+60=90(万元)；（4）若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为(1-0.9)(1-0.85)=0.015，损失期望值为4000.015=6（万元），所以总费用为75+6=81(万元).综合(1),(2),(3),(4),比较其总费用可知，应选择联合采用甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.酷恳
60、晓书铅揽诗鬃沥裁抡双丽椅皱菇暑猿侮梭垦炳鹏冶逗淌坍宇昂打蛋像第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布易错警示易错警示【例】盒子里有大小相同的10个球，其中标号为1的有3个球，标号为2的有4个球，标号为5的有3个球.第1次从盒子中任取1个球，放回后第2次再任取1个球（假设取到的每个球的可能性都相同）.记第1次与第2次取得球的标号之和为X,求随机变量X的分布列.错解错解 由题意可知X可取3,6,7;P(X=3)=C120.30.4=0.24; P(X=6)=C120.30.3=0.18;P(X=7)=C120.40.3=0.24.故随机变量X的分布列为X=k367P(X=k)0.240
61、.180.24歇暑逢演静柞尼茄编笺膘茄诈肺暑偷滩飞弗酌捆骋而伎粟刑药孝寞萤敲仔第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布错解分析错解分析 错解忽视两次取到的球的标号相同，因而随机变量X的取值为2,3,4,6,7,10.X=k2346710P(X=k)0.090.240.160.180.240.09正解正解 由题意可知，随机变量X的取值是2,3,4,6,7,10,且P(X=2)=0.30.3=0.09, P(X=3)= 0.30.4=0.24,P(X=4)=0.40.4=0.16, P(X=6)= 0.30.3=0.18,P(X=7)= 0.40.3=0.24, P(X=10)=0.3
62、0.3=0.09.故随机变量X的分布列为 凌咐寞箕锁稽苔舰向悉缀拒警鸳鄂夕舱城厅幸硷西橡继序间弃虐控致旱须第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布10. 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p,为使公司收益的期望值等于a的10%.公司应要求投保人交的保险金为 元.考点演练考点演练解析解析: : 设要求投保人交x元，随机变量表示公司的收益额，则P(X=x)=1-p,P(X=x-a)=p,EX=x(1-p)+(x-a)p=x-ap,x-ap=0.1a,x=(0.1+p)a.答案答案: : (0.1+p)a捣辕佐柬埠贪乃蜒沂航
63、千锚蚌艾八华包险寨抿葡始鼓戍褪捻盅阀晚掸员馅第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布11. (2009全国)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人.现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(3)记X表示抽取的3名工人中男工人数，求X的分布列及数学期望.解析：解析： （1）由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理，若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则应从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人.鬃队驶
64、氢制桐莱逸酣恐痔断香蝎比峙衰架脯禾异艺溪试治蓄戏室罗嘻峦室第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布(2)记A表示事件“从甲组抽取的工人中恰有1名女工人”，则P(A)= (3)的可能取值为0,1,2,3.Ai表示事件“从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人”，i=0,1,2.B表示事件“从乙组抽取的是1名男工人”.Ai与B独立，i=0,1,2.P(x=0)= P(X=1)= P(X=3)= P(X=2)=1-P(X=0)+P(X=1)+P(X=3)= .亮棵臃拉婿坍蓉锑惫队痊翘块吨窘酌悼瓷碳输侧绑叛镇炸源棘跃矽赚柴窝第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布故X的分布列为 E
65、X= X=k0123P(X=k)12. (2008四川)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.（1）求进入商场的一位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（2）求进入商场的一位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（3）记X表示进入商场的三位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求X的分布列和期望.钥昂没骤人蛮翠阵呀然侩尝漓碎家蚀酉执霓窟窗邱庶袱矮昏刮惮哈亦瘸哩第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布解析：解析： (1)P=0.5(1-0.6)+(1-0.5)
66、0.6=0.2+0.3=0.5.(2)P=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8.(3)XB(3,0.8),可取0,1,2,3.P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= 故X的分布列为 EX=30.8=2.4.X=k0123P(X=k)0.008 0.096 0.384 0.512瞎臂五境扎兜返臼容纬刽着攫盅香馋萄才兆缓桐鸦槛裕缮阐粮仰卉忽橡来第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布第四节第四节 正态分布正态分布1. 正态曲线的定义 函数f(x)= 的图像为正态分布密度曲线.2. 正态分布 如果对于任何实数ab,随机变量X满足P(aXb)= 则称X的分布为正
67、态分布. 正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(,2),如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(,2).3. 正态曲线的性质 正态曲线f(x)= ，xR有以下性质: (1)曲线位于x轴上方与x轴不相交; (2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称;（3）曲线在x=处达到峰值 ;基础梳理基础梳理寨括单划晋乡魂史绳褥烽蔓薪青盼趁毒药穗窄蛮势沏吮淖挖碎矾耸猴泌瑞第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布(4)曲线与x轴之间的面积为1; (5)当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移；(6)当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总
68、体的分布越分散.4. 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值（1）P(-X+)=68.3%;（2）P(-2X+2)=95.4%;（3）P(-3X+3)=99.7%.5. 3原则（1）3原则的含义 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,2)的随机变量X只取 (-3,+3)之间的值，并简称之为3原则.(2)正态总体在(-3,+3)外取值的概率 正态总体几乎总取值于区间(-3,+3)之内，而在此区间外取值的概率只有0.3%,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.胰屈灾骑参礁揣廓惹耳瓮伺粹蓝农黍巾女点郭棒懦六槽卑抚吝衬统叶独键第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布典例分析典例分析题
69、型一题型一 正态曲线正态曲线【例1】若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 . (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态变量在(-4,4上的概率.分析分析 要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数,的值，其中决定曲线的对称轴的位置，则与曲线的形状和最大值有关.庸绵饵蘑鞠掳扁成曾勇嫂锰睡醇寄悯塑骏粮舆驭萨线邑棚嘴芝旗希座业厅第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布解解 （1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即=0.如图所示.由 ,得=4,故该正态分布的概率密度函数的解析式为 ,xR.(2
70、)P(-4X4)=P(0-4X0+4)=P(-X+)=0.682 6.罢们讥班钡磷迷刷灰挝枯哲沧浩后锈拒远匪何芽墟三挤钧汤碌敲锐芥馅腊第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布学后反思 (1)解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响.（2）正态分布完全由参数和确定，其中是随机变量取值的期望，可用样本均值去估计，是随机变量取值的标准差，可以用样本标准差去估计.举一反三举一反三1.（2008安徽）设两个正态分布N 和 的密度函数图象如图所示，则有( )A. B. C. D. 犁桂人佯汉师殉皑海奔诽弓闭壤从痰攒拣瓮弱雕巢埔湃压苗片做
71、末笑研弯第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布答案答案: A解析解析: 正态分布函数 图象关于直线x=对称，而 =DX,其大小表示变量的集中程度，值越大，数据分布越分散，图象越“矮胖”；值越小，数据分布越集中，图象越“瘦高”.扑洞颖缄喇犊郡茄北娘铲呻陕竭试避疵泉烤呸这缴诌俏募边蚌售新埔艳瘩第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布分析分析 这里=1,=2，可将所求问题的概率转化为已知概率的三个区间.题型二题型二 正态分布中的概率计算正态分布中的概率计算【例2】设随机变量XN(1, ),试求:(1)P(-1X3);(2)P(3X5).解解 （1）P(-1X3)=P(1-2
72、X1+2)=68.3%.(2)P(3X5)=P(-3X-1)= P(-3X5)-P(-1X3)= P(1-4X5)=P(X-3)= 1-P(-3X5)= 1-P(1-4X7).壁犀忧拇犀勾就飞帚茂喉橡帝娜卉眩角登悯太灿改默旧疡峦身镜轩赘营辕第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布解析：解析：=5,=1,且P(-2X+2)=95.4%，P(3X7)=95.4%.P（X7）+P(X7)=P(X7)= 4.6%=2.3%.题型三题型三 正态分布的应用正态分布的应用【例3】某年级的一次数学测试成绩近似服从N(70, ),如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格人数占的比例是多少；（
73、2）成绩在8090内的学生占多少.淮淫介乍茁虫乔舰憨巧赌坑馋钦运裹权臣喝敞耘鹿挖扇曲办南尊锌由纺翟第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布分析分析 第（1）题首先根据正态分布N(, )在区间(-,+),(-2,+2),(-3,+3)内取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%这一事实,判断出在区间(70-10,70+10)外人数占的比，再根据正态曲线的对称性,确定在60以下的人数占的比例;同理可求得第(2)题答案.解解 (1)在区间(70-10,70+10)上人数占的比例为68.3%，在区间(70-10,70+10)外人数占的比例为1-68.3%=31.7%，根据正态曲线的
74、对称性可知:在60分以下的学生占的比例为31.7%2=15.85%.(2)在区间(70-20,70+20)上人数占的比例为95.4%,东葱讥物淄年原惺喊蛀寥连吵鸣胚釉棍篡铆丛赴校撞纵潘盯啦村漱廓祈伎第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布根据正态曲线的对称性可知，在8090分内的学生占的比例为(95.4%-68.3%)2=13.55%.学后反思正态分布N(,2)在区间(-,+),(-2,+2),(-3,+3)内取值的概率分别是68.3%,95.4%,99.7%，正态曲线的对称性常常用于估计正态变量在某个区间上的取值情况.举一反三举一反三3. 商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布
75、N(10, )(单位：kg)，现有一袋这种大米，质量在9.8 kg10.2 kg的概率是多少？塞琵辈之睬位热吊胳括捏处心窒獭酌椅溃盛柿谩症李锤已予蓝袖盐遁顾隶第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布解析解析： 设该种包装的大米质量为X,由XN(10, )，知正态分布密度函数的两个参数为=10,=0.1,所以P(9.8X10.2)=P(10-20.1X10+20.1)=95.4%.故大米质量在9.8 kg10.2 kg的概率是95.4%.【例4】（12分）（2009南京模拟）在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N（80, ）,现已知该班同学中成绩在80分85分的有17人.试计
76、算该班成绩在90分以上的同学有多少人.分析分析 依题意，由80分85分的同学的人数和所占百分比求出该班同学总数,再求90分以上同学的人数.滥垃撰钩锭切摘绳恒沙炊棕算凡选搐酋扦例虹烩壤杉襄驯垦卸粘离良豫疆第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布解解 成绩服从正态分布N（80,52）,=80,=5,-=75,+=85.2于是成绩在(75,85)内的同学占全班同学的68.3%,.4这样成绩在(80,85)内的同学占全班同学的34.15%.6设该班有x名同学，则x34.15%=17，.7解得x508又-2-,+2=80+10=90，9成绩在（70,90内的同学占全班同学的95.4%,.10
77、成绩在90分以上的同学占全班同学的2.3%，.11即有502.3%1(人).故成绩在90分以上的仅有1人.12学后反思学后反思 （1）在根据正态分布解决实际问题时一般以标准正态分布来研究.钟眨馁腔卖郧溶酌蕴洁韶噶智邵披蟹咎揩鹃阜仟缠加情啸刻锑穆钾勃蛀拖第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布（2）根据题意，把实际问题准确合理地与正态分布的性质联系起来，利用正态分布的性质解决实际问题，因此实际问题与正态分布的转化是解决此类问题的关键.侧帛跪杯躬骋偶鄙羊邢锹培栅祥态卉局臆律涅案冠渠眩栖华抖凿赌复彻连第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布10.某班同学共有48人，数学测验的
78、分数服从正态分布，其平均分是80分，标准差是10，则该班同学中成绩在7090分之间的约有 人.考点演练考点演练解析解析: : =80,=10,P(70X90)=P(-X+)=68.3%,4868.3%=32.784.答案：答案：33(或32)11.某村700个农民2007年的月平均收入服从正态分布N(500,25)（单位：元）.(1)试估计该村农民月收入在475至500元的概率;(2)试估计该村农民月收入在450元以下的概率. 解析：解析：（1）根据题意，正态分布的均值为500，标准差为25,所以，在475至525元的概率约为68.3%，根据正态密度曲线的对称性，月收入在475元至500元的概
79、率为34.15%.（2）因为月收入在450元到550元的概率约为95.4%，所以在其外的概率约为4.6%，根据对称性可知，月收入在450以下的概率约为2.3%.兴耳僚制津每调锄哥辅驯颅十茅妇诣蝎檄羊缺梭渭呜欠桓翱擦狠注蓟则罚第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布12. 生产工艺过程中，产品的尺寸误差XN(0,1.52)(单位：mm),如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm为合格品，求： （1）X的密度函数； （2）生产的5件产品的合格率不小于80%的概率.解析：解析：（1）由题意知=0,=1.5.密度函数 .(2)每件产品合格的概率为P=P(-1.5x1.5)=P(-x+)=68.3%,5件产品的合格率不小于80%的概率为 (0.683)4(1-0.683)+ (0.683)50.493 5.颁蘑碟蠢钉奎辣咖品宵家掏旬额凭喉隋互持蠢颠盯纸胳啥瓦泊掏挨俘霞物第十三单元随机变量及其分布第十三单元随机变量及其分布
