第八章组合变形时的强度计算

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1、第八章第八章 组合变形时的强度计算组合变形时的强度计算 8-1 概述概述一、组合变形的概念一、组合变形的概念1.组合变形组合变形：构件发生两种或两种以上基本变形的变形形式。：构件发生两种或两种以上基本变形的变形形式。水闸水闸qPhg g2.分类分类-斜弯曲斜弯曲(两个平面弯曲的组合两个平面弯曲的组合) 拉伸拉伸(或压缩或压缩)与弯曲的组合与弯曲的组合 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 扭转与拉伸扭转与拉伸(压缩压缩)及弯曲的组合及弯曲的组合注注:含弯曲的组合变形，一般以弯曲变形为主，不考虑剪切含弯曲的组合变形，一般以弯曲变形为主，不考虑剪切变形变形,其危险截面主要依据其危险截面主要依据Mmax

2、，一般不考虑弯曲切应力。，一般不考虑弯曲切应力。根据危险点的应力状态选用合适的强度准则根据危险点的应力状态选用合适的强度准则根据危险点的应力状态选用合适的强度准则根据危险点的应力状态选用合适的强度准则，建立强度条件，建立强度条件，进行强度计算。进行强度计算。1.叠叠加加原原理理：在在线线弹弹性性、小小变变形形下下，每每一一组组载载荷荷引引起起的的变变形和内力不受彼此影响，可采用代数相加。形和内力不受彼此影响，可采用代数相加。二、基本解法二、基本解法(叠加法叠加法)2.基本分析步骤：基本分析步骤：外力分析外力分析：分解或简化外力，分解或简化外力，使每一组力只产生一种基本变使每一组力只产生一种基本

3、变形，确定构件的变形形式。形，确定构件的变形形式。内力分析内力分析 分别计算各基本变形下的内力，绘制内力图，确定危险截面。分别计算各基本变形下的内力，绘制内力图，确定危险截面。应力分析应力分析i.分析各基本变形的危险截面应力分布，确定危险点。分析各基本变形的危险截面应力分布，确定危险点。将各将各基本变形危险点处应力进行叠加基本变形危险点处应力进行叠加;ii.对危险点进行应力状态分析求出主应力（包括确定截面的几对危险点进行应力状态分析求出主应力（包括确定截面的几何性质）何性质）( 1 2 3) 1.平面弯曲平面弯曲：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或外：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或

4、外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时，力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时，梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。 2.斜弯曲斜弯曲：两对称截面梁在水平和垂直两纵向对称面内同时受：两对称截面梁在水平和垂直两纵向对称面内同时受横向外力作用，分别在水平纵向对称面和垂直纵向对称面内发横向外力作用，分别在水平纵向对称面和垂直纵向对称面内发生对称弯曲。两相互垂直平面内的弯曲也称斜弯曲。生对称弯曲。两相互垂直平面内的弯曲也称斜弯曲。杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横向力）不共杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠

5、曲线与外力（横向力）不共杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横向力）不共杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横向力）不共面。面。面。面。8-2 斜弯曲斜弯曲(skew bending)FqFAFB纵向对称面纵向对称面3.3.3.3.斜弯曲斜弯曲斜弯曲斜弯曲二二. 梁任意横截面上的内力分析梁任意横截面上的内力分析斜弯曲内力斜弯曲内力： My = P1 x ； Mz = P2 (x-a)。一一. 外力分析外力分析 梁发生斜弯曲梁发生斜弯曲以图示椭圆截面悬臂梁为例，说明斜弯曲强度的计算方法。y、z轴为形心主惯性轴。三三. 梁任意横截面上的应力分析梁任意横截面上的应力分析 截面mm上任意点

6、C(y, z) 的正应力为： 式中，式中，Iy和和Iz分别为横截面对于两对称轴分别为横截面对于两对称轴y和和z的惯性矩；的惯性矩；M y和和Mz分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且其力矩矢量分别与其力矩矢量分别与y轴和轴和z轴的正向相一致。在具体计算中，轴的正向相一致。在具体计算中，也可以先不考虑弯矩也可以先不考虑弯矩M y、Mz和坐标和坐标y、z的正负号，以它们的的正负号，以它们的绝对值代入，然后根据梁在绝对值代入，然后根据梁在P1和和P2分别作用下的变形情况，分别作用下的变形情况，来判断上式右边两项的正负号来判断上式右边两项的正负号。

7、四四. 横截面上中性轴方程横截面上中性轴方程 为确定横截面上最大正应力点的位置，应先求截面上的为确定横截面上最大正应力点的位置，应先求截面上的中性轴位置。由于中性轴上各点处的正应力均为零，令中性轴位置。由于中性轴上各点处的正应力均为零，令y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴的方程为：代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴的方程为： 由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。它由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。它与与y轴的夹角轴的夹角为：为：公式中角度公式中角度 是横截面上合成弯矩是横截面上合成弯矩 M 的矢量与的矢量与 y 轴的夹角轴的夹角 .横截面上合成弯矩横截面

8、上合成弯矩 M 为：为： 讨论：（1） 一般情况下，截面的一般情况下，截面的 Iz Iy ,故中性轴与合成弯矩故中性轴与合成弯矩 M 所在平面不垂直，此为斜弯曲的所在平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征受力特征。导致挠曲线与外。导致挠曲线与外力（合成弯矩）所在面不共面力（合成弯矩）所在面不共面,此为斜弯曲的此为斜弯曲的变形特征。变形特征。 （2） 对于圆形、正方形等对于圆形、正方形等 Iy=Iz 的截面，有的截面，有 = ，中性轴，中性轴和合成弯矩和合成弯矩M垂直，梁发生平面弯曲，正应力可用合成弯矩垂直，梁发生平面弯曲，正应力可用合成弯矩 M 按正应力计算公式计算。按正应力计算公式计算。(这样的截

9、面不可能发生斜弯曲这样的截面不可能发生斜弯曲)五、强度分析五、强度分析 在确定中性轴的位置后，作平行于中性轴在确定中性轴的位置后，作平行于中性轴的两直线，分别与横截面周边相切于的两直线，分别与横截面周边相切于D1、D2两点，该两点即分别为横截面上拉应力和压应两点，该两点即分别为横截面上拉应力和压应力为最大的点。是危险点。力为最大的点。是危险点。 对于工程中常用的矩形、工字形等对于工程中常用的矩形、工字形等截面梁，其横截面都有两个相互垂直的截面梁，其横截面都有两个相互垂直的对称轴，且截面的周边具有棱角，故横对称轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱截面上的最大正应力必发

10、生在截面的棱角处。于是，可根据梁的变形情况，直角处。于是，可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大泣、压应力点的位置，接确定截面上最大泣、压应力点的位置，而无需定出其中性轴。而无需定出其中性轴。 在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的最大正应力后，由于危险点处是单轴应危险点处的最大正应力后，由于危险点处是单轴应力状态，可将力状态，可将最大正应力最大正应力与与材料的许用正应力材料的许用正应力相比相比较来建立较来建立强度条件强度条件，进行强度计算。至于横截面上，进行强度计算。至于横截面上的剪应力，一般因其数值都比较小，故在强度计算的剪应力，一般

11、因其数值都比较小，故在强度计算中可不必考虑中可不必考虑。【例8-1】 矩形截面的悬臂梁承受荷载 如图所示。试确定危险截面、危险点所在位置，计算梁内最大正应力的值。若将截面改为直径 D= 50 mm 的圆形，试确定危险点位置，并计算最大正应力。 解解: (1) 外力分析外力分析此梁在P1力作用下将在 XOY 平面内发生平面弯曲，在 P2 力作用下将在 XOZ 平面内发生平面弯曲,故此梁的变形为两个平面弯曲的组合 斜弯曲。(2) 内力分析内力分析 绘制弯矩图绘制弯矩图分别绘出 MZ (x) 和 MY(x) 图，两个平面内的最大弯矩都发生在固定端A截面上，其值为MZ = 1 kN.m；MY = 1

12、kN.m由图中可以看出，A 截面为梁的危险截面。（3） 应力分析应力分析弯距MZ 引起的正应力 的分布图弯距弯距My 引起的正引起的正应力力 的分布图 （4 4）危险点应力）危险点应力（5）分析与讨论）分析与讨论若将截面改为直径 D = 50 mm的圆形，则截面的惯性矩因为危险截面上 MZ =M y= 1kN.m ，则中性轴位置 = 45 o，梁将发生平面弯曲平面弯曲。危险点是 e 、f 两点。合成弯矩为：小结小结1、两相互垂直平面内的弯曲又称作斜弯曲 。其受力特征是：中性轴与外力所在平面不垂直； 变形特征是：挠曲线与外力不共面。3、正应力计算公式 ，4、强度计算 max 2、中性轴方程8-3

13、 拉伸（压缩）与弯曲拉伸（压缩）与弯曲 一一.受力特点受力特点作用在杆件上的 外力既有轴向拉 ( 压 ) 力,还有横向力，杆将发生拉伸 (压缩 )与弯曲组合。二二. 拉拉(压压)与弯曲内力分析与弯曲内力分析 杆件横截面上一般产生弯矩MZ或My (或二者皆有)、轴力N、以及剪力。因为剪力引起的切应力较小，故一般不考虑。三三. 应力分析应力分析横截面上任意一点 ( z, y) 处的正应力计算公式 以上图 为例分析拉弯组合变形拉弯组合变形构件横截面上的正应力：1.轴力轴力跨中截面是杆的危险截面,弯矩弯矩：2.与轴力对应的拉伸正应力与轴力对应的拉伸正应力 与弯矩对应的最大弯曲正应力与弯矩对应的最大弯曲

14、正应力 杆危险截面下边缘各点处的上的拉应力为：内力分析内力分析应力分析应力分析四四. 强度条件：强度条件： 由于危险点处的应力状态仍为单轴应力状态，由于危险点处的应力状态仍为单轴应力状态，故其强度条件为：故其强度条件为： 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉、别建立杆件的抗拉、 压强度条件。压强度条件。【例8-2】 悬臂吊车如图所示。横梁用20a工字钢制成。其抗弯刚度Wz=237cm3,横截面面积A=35.5cm2，总荷载P=34kN，横梁材料的许用应力=12.5MPa。校核横梁AB的强度。解：解：分析AB的受力： NAB=P

15、RA=0.5P HA=0.866P所以所以 可知：AB发生平面弯曲与压缩的组合变形 中间截面为危险截面。最大压应力发生在该截面的上边缘。中间截面为危险截面。最大压应力发生在该截面的上边缘。压缩正应力最大弯曲正应力强度校核所以，强度满足要求所以，强度满足要求8-4 8-4 偏心拉伸（压缩）偏心拉伸（压缩）截面核心截面核心 一一. .偏心拉伸（压缩）偏心拉伸（压缩）定义：作用在直杆上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，将同时引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形。以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力 F为例为例 .偏心距为偏心距为e，作用点坐

16、标为（，作用点坐标为（zp，yp）。）。1.将外力向截面形心简化，使每个力将外力向截面形心简化，使每个力(或力偶或力偶)只产生只产生一种基本变形形式。一种基本变形形式。轴向拉力：F；两附加力偶：my，mz ：F 使杆发生拉伸变形，My 使杆发生 XZ 平面内的平面弯曲变形（y 为中性轴),Mz使杆发生 XY 平面内的平面弯曲变形（z 为中性轴），故杆件发生拉伸与弯曲的组合变形。2.任意横截面任意横截面 n-n上的内力分析上的内力分析轴力轴力 FN = F ，弯矩，弯矩3.任意横截面任意横截面n-n上上C点的应力分析点的应力分析由 FN产生的正应力 由 my 产生的正应力由 mz 产生的正应力假

17、设假设C 点在第一象限内点在第一象限内,根据杆件的变形可知根据杆件的变形可知, 均为拉应力，由叠加原理，即得 C点处的正应力为：任意横截面 n-n上的 C点的正应力为式中：A为横截面面积；Iy , Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩。式中：iy , iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性半径。c所以4. 中性轴的确定中性轴的确定上式是一个平面方程。表明正应力在横截面上按线性规律变化。上式是一个平面方程。表明正应力在横截面上按线性规律变化。应力平面与横截面的交线（直线应力平面与横截面的交线（直线 = 0）就是中性轴。）就是中性轴。令令 y0 , z0 代表中性轴上任一点的坐标，

18、即得中性轴方程代表中性轴上任一点的坐标，即得中性轴方程。讨论:（1）在偏心拉伸（压缩）情况下，中性轴是一条不通过截面）在偏心拉伸（压缩）情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。形心的直线。（2） 用用 ay 和和 az 记中性轴在记中性轴在 y , z 两轴上的截距，则有两轴上的截距，则有（3）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧。）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧。（4）中性轴将横截面上的应力区域分为拉应力区域和压应力区域）中性轴将横截面上的应力区域分为拉应力区域和压应力区域 。横截面上最大拉应力和最大压应力分别为。横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D1 , D2 两

19、切点。两切点。（5）对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处，并可根据杆件的变形来确定。角处，并可根据杆件的变形来确定。例如：例如： 横截面是矩形截面时，与各内力分量相对应的正应力变横截面是矩形截面时，与各内力分量相对应的正应力变化规律分别如上图所示。最大拉应力化规律分别如上图所示。最大拉应力 t, max 和和最大压应力最大压应力 c, min分别在截面的棱角分别在截面的棱角 处。无需先确定中处。无需先确定中性轴的位置性轴的位置 ,直接观察确定危险点的位置即可。直接观察确定危险点的位置即可。由于危险点处仍为由于危险点处仍为单轴应力状态单

20、轴应力状态，因此，求得最大正应力后，因此，求得最大正应力后，建立的强度条件为建立的强度条件为5.强度条件强度条件【例例8-3】下图所示为一夹具。在夹紧零件时下图所示为一夹具。在夹紧零件时, 夹具受到的外力夹具受到的外力为为 P = 2kN。已知：。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离为外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离为 e = 60 mm，竖杆横截面的尺寸为，竖杆横截面的尺寸为b=10 mm，h = 22 mm,材料许材料许用应力用应力 = 170 M Pa。 试校核此夹具竖杆的强度试校核此夹具竖杆的强度。解解:(1)外力 P 向竖杆轴线平移，如图。可知竖杆发生拉弯组合变形。 (2)竖杆任

21、一横截面 n-n 上的内力轴力，弯矩 (3)强度分析 竖杆的危险点在横截面的内侧边缘处，该处对应与轴力和弯矩的正应力同号，都是拉应力。危险点处的正应力为所以强度是安全 【例8-4】矩形截面柱如图所示。P1的作用线与杆轴线重合，P2作用在 y 轴上。已知， P1= P2=80kN，b=24cm , h=30cm。如要使柱的mm截面只出现压应力，求P2的偏心距e。解：1、将力P2向截面形心简化，梁上的外力有轴向压力：力偶矩 2、轴力产生压应力：弯矩产生的最大正应力 3、横截面上不产生拉应力的条件为解得： e =10cm二二. .截面核心截面核心由公式：由公式：；其中：为外力作用点的坐外力作用点的坐

22、标 为中性中性轴的截距的截距 由中性轴的性质知道，力由中性轴的性质知道，力F的作用点越靠近坐标原点，中性轴的作用点越靠近坐标原点，中性轴离坐标原点越远。当中性轴与图形相切或远离图形时，整个图离坐标原点越远。当中性轴与图形相切或远离图形时，整个图形上将只有拉应力或只有压应力。形上将只有拉应力或只有压应力。 当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时，就可以保证当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时，就可以保证中性轴不穿过横截面，这个区域就称为截面核心。中性轴不穿过横截面，这个区域就称为截面核心。 当外力作用在截面核心的边界上时，与此相应的中性轴正好与当外力作用在截面核心的边界上时，与此相应的

23、中性轴正好与截面的周边相切。截面核心的边界就由此关系确定。截面的周边相切。截面核心的边界就由此关系确定。1、截面核心定义、截面核心定义2、作截面核心步骤：、作截面核心步骤：（1）作截面周边的任一切线，将其看作中性轴，它在 y , z 两个形心主惯性轴上的截距分别为 和（2） 根据 和可求得对应的外力作用点1，亦即截面核心边界 上一个点的坐标 （3）同理，分别作切线 、等，求得对应的截面核心边界上点 2、3、 等点的坐标。（4）连接1、2、3、 等点，得到的一条封闭曲线，该曲线所含面积，即为截面核心。结论结论：I、与 z轴平行的中性轴所对应的外力作用点一定在 y轴上。与y 轴平行的中性轴所对应的

24、外力作用点一定在 z轴上。II、设B点的坐标为是这一系列中性轴所共有的，将其代入中性轴方程得：这是表示外力作用点坐标的直线方程。当中性轴绕B点旋转时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条连结点1，2的直线。 3、矩形截面的截面核心确定、矩形截面的截面核心确定（1）作切线，得两截距分别为 矩形截面的 对应的核心边界上点1的坐标为（2）分别作中性轴、，对应的截面核心边界上的点2、3、4 的坐标依次为： 中性轴绕B点到中性轴。因此，相应的外力作用点的轨迹是一条连结点 1、2 的直线。同理，将1、2、3、4点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心。结论：结论：I、 对于具有棱角的截面，均可按上述方法

25、确定截面核心 II、 对于周边有凹进 部分的截面（如T字形截面），不能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性轴，因为这种直线穿过横截面 截面核心边界是一个以 o 为圆心，以 为半径的圆 圆截面的截面核心圆截面的截面核心【例8-5】 试确定图示试确定图示T字形截面的截面核心。图中字形截面的截面核心。图中 y, z 两两轴为截面的形心主惯性轴轴为截面的形心主惯性轴。 （1）求截面的有关几何性质）求截面的有关几何性质 （2） 列表求出各值列表求出各值中性轴编号对应的截面核心边界上的点中性轴的截距（m）核心边界上点的坐标值(m)10.45-0.10202-0.400.23-0.450.10204-0.4

26、51.080.102-0.07450.60-0.13360.451.08-0.102-0.074研究对象研究对象：圆截面杆受力特点受力特点：杆件同时承受外力偶矩和横向力作用。变形特点变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形。研究内容研究内容：杆件发生扭转和弯曲组合变形时的强度计算。 8 - 5 扭转与弯曲扭转与弯曲1. 外力分析外力分析 设一直径为 d 的等直圆杆 AB , B 端具有与 AB 成直角的刚臂，受力P作用。分析圆杆AB的强度。 将力 P 向 AB 杆右端截面的形心B简化得横向力 P （引起平面弯曲），力偶矩 m = Pa （引起扭转）。故AB杆发生弯扭组合变形。2. 研究研究AB杆的

27、内力杆的内力画内力图如图示，可知固定端为危险截面。3.应力分析应力分析 危险截面上的最大弯曲正应力 发生在铅垂直径的上、下两端点 C1 、C2 处 。最大扭转剪应力 发生在截面周边上的各点处。危险点为 C1 和 C2。 对于许用拉、压应力相等的塑性材料制成的杆,这两点的危险程度是相同的。可取任一点C1 来研究。C1 点处于平面应力状态如图，为平面复杂应力状态。：4.强度分析强度分析（1）主应力计算）主应力计算 （2） 相当应力计算相当应力计算第三强度理论第三强度理论, 第四强度理论第四强度理论 （3） 强强 度计算度计算 讨论：讨论： ， 该公式适用于图示的平面应力状态。 1. 是横截面上危险

28、点的正应力，是横截面上危险点的切应力。且横截面不限于圆形截面。可以是由弯曲，拉（压）或弯曲与拉（压）组合变形引起。是由扭转变形引起。2.对于圆形截面杆有：弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为式中 为杆的抗弯截面系数。 为杆的抗扭截面数 。上两式只适用于弯、扭组合变形下的圆截面杆上两式只适用于弯、扭组合变形下的圆截面杆 【例8-6】 图 示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮 C 上作用有铅垂切向力5 kN,径向力1.82 kN;齿轮D上作用有水平切向力10 kN,径向力 3.64 kN 。齿轮 C的节圆直径dC = 400 mm ,齿轮D的节圆直径dD =200 mm。设许用应力=100 MP

29、a ,试按第四强度理论求轴的直径 。解：1 、外力的简化将每个齿轮上的切向外力向该轴的截面形心简化，可得一个力和一个力偶 。2、 轴的变形分析 A：5kN 和 3.64kN 两力使轴在 xz 纵对称面内产生弯曲。 B：1.82kN 和 10kN 两力使轴在 xy 纵对称面内产生弯曲 。C：1 kN.m 的力偶使轴产生扭转。 3、绘制轴的内力图MyC=0.57kN.m；MyB=0.36kN.m；MZC=0.227kN.m，MZB=1kN.m，T=1kN.m ，危险截面在B截面。注：由分析可知：圆杆发生的是弯曲与扭转的组合变形。由于注：由分析可知：圆杆发生的是弯曲与扭转的组合变形。由于通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面，故轴在通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面，故轴在 xz 和和 xy两两平面内弯曲的合成结果仍为平面弯曲，从而可用总弯矩来计算平面内弯曲的合成结果仍为平面弯曲，从而可用总弯矩来计算该截面正应力。该截面正应力。4、危险截面上的内力计算B截面的总弯矩为B 截面的扭矩值为5.由强度条件求轴的直径由于 轴需要的直径为