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1、1.5 方向导数与梯度方向导数与梯度实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行
2、一、问题的提出一、问题的提出二、方向导数的定义二、方向导数的定义（如图）（如图） 讨论函数讨论函数 在一点在一点P0沿某一方沿某一方向向 的变化率问题的变化率问题xleP0(x0 ,y0)oyLlP(x,y)eP0(x0 ,y0)oxy（如图）（如图）记为记为说明：说明：1. 2.定义给出了求方向导数的一种方法定义给出了求方向导数的一种方法例例1. 设设 求求 f 沿沿e = (cos , sin ) 在点在点 (0,0)的方向导数的方向导数. 解：当解：当 cos 0 时时, 当当 cos = 0时时, 因为因为 f (t cos , t sin ) = 0证明证明由于函数可微，则增量可表示
3、为由于函数可微，则增量可表示为两边同除以两边同除以得到得到故有方向导数故有方向导数说明说明1.方向导数还可以写成两个向量的数量积形式，方向导数还可以写成两个向量的数量积形式，2.从方向导数的数量积形式中可知，从方向导数的数量积形式中可知，当当3.该定理反过来末必成立，见习该定理反过来末必成立，见习P80,2.即函数在某一点不可微，末必在该点处的沿一定方即函数在某一点不可微，末必在该点处的沿一定方向的方向导数不存在。向的方向导数不存在。但沿任何方向的方向导数存在。但沿任何方向的方向导数存在。解解解解故故例例4. 设设 z = 3x4 +xy +y3 , 求求z 在在M (1,2)点处点处 沿方向
4、沿方向角为角为 =135 的的方向的方向导数。方向的方向导数。解：解：推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义三、梯度的概念三、梯度的概念结论结论在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图等高线等高线梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量等高线的画法等高线的画法播放播放例如例如,梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系： 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大
5、值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故Example5. 设设 u = x y + e z , M0(1,-1,0), P(3,-3,1), 求求 (1)在在 M0 沿沿M0 P 的方向导数的方向导数; (2)在在 M0 沿曲线沿曲线x=t , y= t 2-2, z= t t 3的切线方向的方向导数的切线方向的方向导数(本节本节不讲不讲);(3)在在 M0 的最大方向导数与梯度。的最大方向导数与梯度。Solution. (1) (3)在在 M0 的最大方向导数与梯度的最大方向导数与梯度:2. 梯度梯度 三元函数
6、 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微机动 目录 上页 下页 返回 结束 梯度在方向 l 上的投影.1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）四、小结四、小结思考题思考题思考题解答思考题解答思考与练习：思考与练习： 1若函数在点连续，能否判定在点的偏导数必定存在？ 解：否 在（0，0）处连续，但不存在备用题 1. 函数在点处的梯度解解:则注意 x , y , z 具有轮换对称性(92考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 练练 习习 题题练习题答案练习题答案
