圆锥曲线的最值问题常见类型及解法.共37页课件

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1、圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题常见类型及解法常见类型及解法PingdujiuzhongPingdujiuzhongzhangdongmeizhangdongmei高考地位高考地位: 最最值问题是高考的是高考的热点，而点，而圆锥曲曲线的最的最值问题几乎是高考的必考点，不几乎是高考的必考点，不仅会会在在选择题或填空或填空题中中进行考察，在行考察，在综合合题中也往往将其中也往往将其设计为试题考考查的核心。的核心。类型一类型一:两条线段最值问题两条线段最值问题 利用利用圆锥曲曲线的定的定义求解求解 根据根据圆锥曲曲线的定的定义，把所求的最，把所求的最值转化化为平面上两点之平面上两点之间的距离、点

2、的距离、点线之之间的距离等，的距离等，这是求是求圆锥曲曲线最最值问题的基本方法。的基本方法。关关键：用好：用好圆锥曲曲线的定的定义例例1 1、已知点、已知点F F是双曲是双曲线 的左焦点，定点的左焦点，定点 A A（1 1，4 4），），P P是双曲是双曲线右支上右支上动点，点，则的最小的最小值为 . . 思思维导图：根据双曲根据双曲线的定的定义，建立点，建立点A A、P P与两焦点之与两焦点之间的关系的关系两点之两点之间线段最短段最短F FA AP Py yx x例例1 1、已知点、已知点F F是双曲是双曲线 的左焦点，定点的左焦点，定点 A A（1 1，4 4），），P P是双曲是双曲线右

3、支上右支上动点，点，则的最小的最小值为 . . 解析：解析：设双曲双曲线右焦点右焦点为F F/ /F FA AP Py yx x例例2： 如图，由椭圆的定义：椭圆上的点到两个如图，由椭圆的定义：椭圆上的点到两个定点之间的距离为定值定点之间的距离为定值|MF|+|MF|=10|MF|+|MA|=10- |MF|+|MA|=10+ (|MA|-|MF|)10+ |AF|因此，当因此，当|AF|最大时，最大时， |MA|+|MF|是最大值。是最大值。具体解题过程如下：具体解题过程如下：已知椭圆已知椭圆 的右焦点的右焦点F，且有定点，且有定点A（1，1），），又点又点M是椭圆上一动点。问是椭圆上一动点

4、。问|MA|+|MF|是否有最值，是否有最值，若有，求出最值并指出点若有，求出最值并指出点M的坐标的坐标分析：分析：则则F的坐标为的坐标为(4,0)解：解： 设椭圆的左焦点为设椭圆的左焦点为F由椭圆的定义得：由椭圆的定义得： |MF|+|MF|=10|MF|+|MA|=10- |MF|+|MA|连连AF，延长交椭圆于，延长交椭圆于M则则| |MA|-|MF| | |AF|当且仅当当且仅当M,A,F三点共线时，等号成立。三点共线时，等号成立。 |MA|-|MF|的最大值为的最大值为 |AF|，这时，这时M与与M 重合重合 |AF|= |MF|+|MA| 的最大值为的最大值为要使要使|MF|+|M

5、A|最大，最大， 即要使即要使|MA|-|MF|最大，最大，问题：本题解题到此结束了吗？问题：本题解题到此结束了吗？最小值为最小值为 变式训练：变式训练： 1 . 1 . 已知已知P P点点为抛物抛物线 上的点，那上的点，那么么P P点到点点到点Q Q（2 2，-1-1）的距离与）的距离与P P点到抛物点到抛物线焦焦点的距离之和的最小点的距离之和的最小值为 _ _ _，此，此时P P点坐点坐标为 _ _. .Q Q Q Qx xy y圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题解法：xoyFABMCND2 2、已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2, ,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABA

6、B中点纵坐标的中点纵坐标的最小值最小值. .类型二：类型二：圆锥圆锥曲曲曲曲线线上点到某条直上点到某条直上点到某条直上点到某条直线线的距离的距离的距离的距离 的最的最的最的最值值切切 线 法法 当所求的最当所求的最值是是圆锥曲曲线上点到某条上点到某条直直线的距离的最的距离的最值时，可以通，可以通过作与作与这条条直直线平行的平行的圆锥曲曲线的切的切线，则两平行两平行线间的距离就是所求的最的距离就是所求的最值，切点就是曲，切点就是曲线上取的最上取的最值时的点。的点。例例1：在圆在圆x2+y2=4上求一点上求一点P，使它到直线，使它到直线L：3x-2y-16=0的距离最短。的距离最短。略解：略解：圆

7、心到直线圆心到直线L的距离的距离d1= 所以圆上的点到直线的最短距离为所以圆上的点到直线的最短距离为 d=d1-r思考：思考： 例例1是否还有其他解题方法？是否还有其他解题方法？问题：直线问题：直线L L的方程改为的方程改为 3x-2y-6=03x-2y-6=0， 其结果又如何？其结果又如何？圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离另解：另解：设平行于直线设平行于直线L且与圆相切的直线方程：且与圆相切的直线方程：3x-2y+m=013x2+6mx+m2-16=0直线与圆相切直线与圆相切=36 m2-52(m2-16)=0 m=m2=52，代入

8、圆代入圆x2+y2=4整理得：整理得：例例2 2、求、求椭圆 上的点到直上的点到直线 的距的距离的最大离的最大值和最小和最小值，并求取得最，并求取得最值时椭圆上点的坐上点的坐标. .思思维导图：求与求与 平行的平行的椭圆的切的切线切切线与直与直线 的距离的距离为最最值，切点就是所求的点，切点就是所求的点. . x xy yo o例例2 2、求、求椭圆 上的点到直上的点到直线 的距的距离的最大离的最大值和最小和最小值，并求取得最，并求取得最值时椭圆上点的坐上点的坐标. .解：解：设椭圆与与 平行的切平行的切线方程方程为 变式训练：变式训练： 动点点P P在抛物在抛物线 上，上，则点点P P到直到

9、直线 的距离最小的距离最小时，P P点的坐点的坐标为_._.例例3 求点求点 到椭圆到椭圆 上点的最大距离，上点的最大距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。并求出此时椭圆上的点的坐标。本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的点的坐标，然后根据两点间的距离公式借点的坐标，然后根据两点间的距离公式借助于二次函数求出此最大值，并求出点的助于二次函数求出此最大值，并求出点的坐标。坐标。分析：分析：类型三：类型三：圆锥圆锥曲曲曲曲线线上点到上点到上点到上点到x x x x轴轴（Y Y Y Y轴轴）上某）上某）上某）上某 定点的距离的最定点的距离的最定点的距离的最定点的距离的最

10、值值此时，此时，所以所以 的最大值为的最大值为即此时即此时Q的坐标为：的坐标为：设点设点 Q(x,y)为椭圆为椭圆 上的任意一点，上的任意一点，则则又因为又因为x2 = 4- 4y2 所以所以（1y1）解：解：例例3 求点求点 到椭圆到椭圆 上点的最大距离，上点的最大距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。并求出此时椭圆上的点的坐标。思考题：思考题：变式训练：变式训练： 已知双曲已知双曲线C C： ，P P为C C上任一点，点上任一点，点A A（3 3，0 0），），则|PA|PA|的最小的最小值为_._.例例1 1： 已知抛物线已知抛物线y y2 2=4x=4x，以抛物线上两点，以抛物线上两点A(

11、4,4)A(4,4)、B(1,-2)B(1,-2)的连线为底边的的连线为底边的ABPABP，其顶点，其顶点P P在抛物线的弧在抛物线的弧ABAB上运动，求：上运动，求： ABPABP的最大面的最大面积及此时点积及此时点P P的坐标。的坐标。 动点在弧动点在弧AB上运动，可以设出点上运动，可以设出点P的坐标，只要求的坐标，只要求出点出点P到线段到线段AB所在直线所在直线AB的最大距离即为点的最大距离即为点P到线段到线段AB的最大距离，也就求出了的最大距离，也就求出了ABP的最大面积。的最大面积。 要使要使ABP的面积最大，只要点的面积最大，只要点P到直线到直线AB的距离的距离d最大。最大。设点设

12、点P( )解：由已知：解：由已知： |AB|=2x-y-4=0直线直线AB：*解题过程如下：解题过程如下：*分析：分析：类类型型型型四四四四d=由已知由已知：2y4dmax=此时，此时，y=1, x = d =点的坐标为点的坐标为( ，1 )Smax= 我们可以连接我们可以连接AB，作平行，作平行AB的直线的直线L与抛物线相切，与抛物线相切，求出直线求出直线L的方程，即可求出直线的方程，即可求出直线L与与AB间的距离，从而间的距离，从而求出求出ABP面积的最大值和点面积的最大值和点P的坐标。的坐标。分析：分析：y2-2y+2m=0设直线设直线L与抛物线与抛物线 y2=4x相切，相切，直线直线A

13、B：2x-y-4=0直线直线L的方程为：的方程为：2x-y+m=0 （*）=4-8m=0,m=此时，此时，y=1,x= 直线直线L的方程为：的方程为：2x-y+ =0两直线间的距离两直线间的距离 d=另解：另解：把（把（*）代入抛物线的方程得）代入抛物线的方程得其他过程同上。其他过程同上。回顾反思与能力提升：回顾反思与能力提升：1 1、此法用了哪种数学思想方法？、此法用了哪种数学思想方法？2 2、有没有、有没有别的的办法？法？3 3、要注意画出草、要注意画出草图，根据，根据图形确定何形确定何时取最大取最大 值，何，何时取最小取最小值. .类型五类型五:基本不等式法基本不等式法 先将所求最先将所

14、求最值的量用的量用变量表示出来，再利量表示出来，再利用基本不等式求用基本不等式求这个表达式的最个表达式的最值. . 这种方法是求种方法是求圆锥曲曲线中最中最值问题应用最用最为广泛的一种方法广泛的一种方法. .圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题例4.已知椭圆的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M(-a,b)、N(a,b)、F2和F1组成了一个高为，面积为的等腰梯形.（1）求椭圆的方程;（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求F2AB面积的最大值.练习、设椭圆中心在坐中心在坐标原点原点A A（2 2，0 0）、）、B B（0 0，1 1）是它的）是它的两个两个顶点，直点，直线 与与椭圆交于交

15、于E E、F F两点，求两点，求四四边形形AEBFAEBF面面积的最大的最大值. .A AF FE EB Bx xy y思思维导图：用用k k表示四表示四边形的面形的面积根据基本不等式求最根据基本不等式求最值 例例4 4、设椭圆中心在坐中心在坐标原点原点A A（2 2，0 0）、）、B B（0 0，1 1）是它的）是它的两个两个顶点，直点，直线 与与椭圆交于交于E E、F F两点，求两点，求四四边形形AEBFAEBF面面积的最大的最大值. .解析：依解析：依题意意设得得椭圆标准方程准方程为 直直线ABAB、EFEF的方程分的方程分别为 设根据点到直根据点到直线距离公式及上式，点距离公式及上式，

16、点E E、F F到到ABAB的距离分的距离分别为四四边形形AFBEAFBE的面的面积为变式训练：变式训练： 已知已知椭圆 的左右焦点的左右焦点分分别为F F1 1、F F2 2，过F F1 1的直的直线交交椭圆于于B B、D D两点，两点，过F F2 2的直的直线交交椭圆于于A A、C C两点，且两点，且ACACBDBD，求四，求四边形形ABCDABCD面面积的最小的最小值. .方法四方法四:函函 数数 法法 把所求最把所求最值的目的目标表示表示为关于某个关于某个变量的量的函数，通函数，通过研究研究这个函数求最个函数求最值，是求各，是求各类最最值最最为普遍的方法普遍的方法. .关关键：建立函数

17、关系式：建立函数关系式例例5 5、点、点A A、B B分分别是是椭圆 的的长轴的左右端的左右端点，点，F F为右焦点，右焦点，P P在在椭圆上，位于上，位于x x轴的上方，且的上方，且PAPFPAPF若若M M为椭圆长轴ABAB上一点，上一点，M M到直到直线APAP的距离等于的距离等于|MB|.|MB|.求求椭圆上点到点上点到点M M的距离的最小的距离的最小值. .x xy yA AB BF FM MP P思思维导图：把所求距离表示把所求距离表示为椭圆上点的横坐上点的横坐标的函数的函数求求这个函数的最小个函数的最小值 解析：由已知可得点解析：由已知可得点A(-6A(-6，0)0)、F(4,0),F(4,0),设点点P(x,y)P(x,y)，则由由(1)(1)、(2)(2)及及y0y0得得APAP的方程的方程为设M(mM(m，0)0)，则点点M M到直到直线APAP的距离的距离设椭圆上点（上点（x x0 0,y,y0 0）到）到M M距离距离为d d则作业作业:小结小结: 圆锥曲曲线的最的最值问题解决方法解决方法较多，多，常常见的有五种的有五种. .有些有些题目可以用多种方法目可以用多种方法解决，遇到此解决，遇到此类题目目时，要，要选取适当地取适当地方法。方法。