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1、2021 全国 1 卷文科数学真题及答案2021 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共 5 页，满分 150 分。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A=x|x 2，B=x|32x 0，则AACAB=x|x Bx|x 3232BADAB B=R2为评估一种农作物的种植效果， 选了 n 块地作试验田.这 n 块地的亩产量（单位：kg）分别为 x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是Ax1，x2，xn的平均数Cx1，x2，xn的最大值Bx1，x2，xn的标准差Dx
2、1，x2，xn的中位数3下列各式的运算结果为纯虚数的是Ai(1+i)2Bi2(1-i)C(1+i)2Di(1+i)4 如图， 正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，学 科&网则此点取自黑色部分的概率是A142B8C12D4y25已知F 是双曲线 C：x -=1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则 APF3的面积为1A31B22C33D26如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接 AB 与
3、平面 MNQ 不平行的是2021 全国 1 卷文科数学真题及答案x 3y 3,7设 x，y 满足约束条件x y 1,则 z=x+y 的最大值为y 0,A08.函数y B1C2D3sin2x的部分图像大致为1cosx9已知函数f (x) lnxln(2 x)，则Af (x)在（0,2）单调递增Bf (x)在（0,2）单调递减Dy=f (x)的图像关于点（1,0）对称和两个空白框中，可以分Cy=f (x)的图像关于直线 x=1 对称10如图是为了求出满足3n2n1000的最小偶数 n，学|科网那么在别填入2021 全国 1 卷文科数学真题及答案AA1000 和 n=n+1CA1000 和 n=n+
4、1BA1000 和 n=n+2DA1000 和 n=n+211 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c。已知sin B sin A(sinC cosC) 0，a=2，c=2，则 C=A12B6C4D3x2y212设 A、B 是椭圆 C：，则 m 的取值范1长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足AMB=1203m围是A(0,19,)C(0,14,)B(0,39,)D(0,34,)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 a a=（1，2），b b=（m，1）.若向量 a a+b b 与 a a 垂直，则 m=_.14曲线y x 21在点（1，2）
5、处的切线方程为_.x15已知a(0，),tan =2，则cos ()=_。4216SC 是球 O 的直径。SA=AC，已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，若平面 SCA平面 SCB，SB=BC，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为_。三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17（12 分）2021 全国 1 卷文科数学真题及答案记 Sn为等比数列an的前 n 项和，已知 S2=2，S3=-6.（1）求an的通项公式；（
6、2）求 Sn，并判断 Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。18（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，且BAP CDP 90（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC,APD 90,且四棱锥 P-ABCD 的体积为19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）下面是检验员在一天内依次抽取的16 个零件的尺寸：抽取次序零件尺寸抽取次序19.959210.12109.9139.961149.9612510.01139.2269.921479.9815810.0
7、4169.958，求该四棱锥的侧面积.3零件尺寸10.2610.1310.0210.0410.0511611611622xi 9.97，s 经计算得x (xi x) (xi16x2) 0.212，16i116i116i1(i8.5)i1162其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i 1,2,1618.439，(xi x)(i 8.5) 2.78，i116（1）求(xi,i)(i 1,2,16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若| r | 0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺
8、寸在(x 3s,x 3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查2021 全国 1 卷文科数学真题及答案（）从这一天抽检的结果看，学.科网是否需对当天的生产过程进行检查？（）在(x 3s,x 3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到0.01）附：样本(xi, yi)(i 1,2, ,n)的相关系数r (x x)(y y)iii1n(x x)(y y)2iii1i1nn，0.008 0.09220（12 分）x2设 A，B 为曲线 C：y=上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4.4（1）
9、求直线 AB 的斜率；（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AMBM，求直线 AB 的方程.21（12 分）已知函数f (x)=ex(exa)a2x（1）讨论f (x)的单调性；（2）若f (x) 0，求 a 的取值范围（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x 3cos,xOyC在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线l 的参数方程为y sin,x a 4t,（t为参数）.y 1t,（1）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C
10、 上的点到 l 的距离的最大值为17，求 a.23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数 f（x）=x2+ax+4，g（x）=x+1+x1.（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求 a 的取值范围.2021 全国 1 卷文科数学真题及答案20212021 年高考新课标年高考新课标 1 1 文数答案文数答案1.A2.B3.C4.B5.D6.A7.D8.C9.C10.D11.B12.A13.714.y x115.3 1016.361017.（12 分） 【解析】 （1）设an的公比为q.由题设可得n故an的通项公式为an (2
11、).a1(1q) 2a1(1qq ) 62，解得q 2，a1 2.n1a1(1qn)2n2 (1)（2）由（1）可得Sn.1q33n3n142n22n2n2 2(1) 2Sn，由于Sn2 Sn1 (1)3333故Sn1，Sn，Sn2成等差数列.18. （12 分） 【解析】 （1）由已知BAPCDP90，得AB AP,CD PD.由于ABCD，故AB PD，从而AB 平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB 平面PAD.（2）在平面PAD内作PE AD，垂足为E.由（1）知，AB 平面PAD，故AB PE，可得PE 平面ABCD.设AB x，则由已知可得AD 故四棱锥P ABCD的体积V
12、PABCD2x，PE 2x.211AB ADPE x3.332021 全国 1 卷文科数学真题及答案由题设得138x ，故x 2.33从而PA PD 2，AD BC 2 2，PB PC 2 2.可得四棱锥P ABCD的侧面积为1111PAPDPA ABPDDC BC2sin60 62 3.222219. （12 分） 【解析】 （1）由样本数据得(xi,i)(i 1,2,16)的相关系数为r (x x)(i8.5)ii116(x x)(i8.5)2ii1i1161622.78 0.18.0.212 1618.439由于| r | 0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系
13、统地变大或变小.（2）（i） 由于x 9.97,s 0.212， 由样本数据可以看出抽取的第13 个零件的尺寸在(x 3s,x 3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查.（ii）剔除离群值，即第 13 个数据，剩下数据的平均数为生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.1(169.979.22) 10.02，这条生产线当天15xi1162i160.2122169.9721591.134，剔除第 13 个数据，剩下数据的样本方差为这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008 0.09.20.（12 分）解：x12x22（1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则x1 x2，
14、y1，y2，x1+x2=4，441(1591.1349.2221510.022) 0.008，152021 全国 1 卷文科数学真题及答案于是直线 AB 的斜率k y1 y2x1 x21.x1 x24x2x（2）由y ，得y .42x设 M（x3，y3） ，由题设知31，解得x3 2，于是 M（2，1）.2设直线 AB 的方程为y x m，故线段 AB 的中点为 N（2,2+m） ，|MN|=|m+1|.x2将y x m代入y 得x24x 4m 0.4当 16(m1) 0，即m 1时，x1,2 2 2 m 1.从而|AB|= 2 | x1 x2| 4 2(m 1).由题设知| AB| 2| M
15、N |，即4 2(m 1) 2(m 1)，解得m 7.所以直线 AB 的方程为y x 7.（1）函数f (x)的定义域为(,)，f (x) 2e21.（12 分）若a 0，则f (x) e，在(,)单调递增.若a 0，则由f (x) 0得x lna.当x(,ln a)时，f (x) 0；当x(lna,)时，f (x) 0，所以f (x)在(,ln a)单调递减，在2x2xaexa2 (2exa)(exa)，(lna,)单调递增.若a 0，则由f (x) 0得x ln().当x(,ln()时，f (x) 0；当x(ln(),)时，f (x) 0，故f (x)在(,ln()单调递减，在(ln(),
16、)单调递增.（2）若a 0，则f (x) e，所以f (x) 0.若a 0，则由（1）得，当x lna时，f (x)取得最小值，最小值为f (lna) a lna.从而当且仅当22xa2a2a2a2a2a2lna 0，即a 1时，f (x) 0.若a 0，则由（1）得，当x ln()时，f (x)取得最小值，最小值为f (ln() a2ln().a2a234a22021 全国 1 卷文科数学真题及答案3a从而当且仅当a ln() 0，即a 2e4时f (x) 0.4223综上，a的取值范围为2e ,1.22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）34x2 y21.解： （1）曲线C的普通方
17、程为9当a 1时，直线l的普通方程为x 4y 3 0.21x x4y3 0x 3225由x解得或.224y 0y y 1 925从而C与l的交点坐标为(3,0)，(21 24,).25 25（2）直线l的普通方程为x4y a4 0，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为d |3cos4sina4|.17当a 4时，d的最大值为a9a917，所以a 8；.由题设得1717a1a117，所以a 16.由题设得1717当a 4时，d的最大值为综上，a 8或a 16.、23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）解： （1）当a 1时，不等式f (x) g(x)等价于x x| x1| | x1| 4 0.2当x 1时，式化为x 3x4 0，无解；22当1 x1时，式化为x x2 0，从而1 x1；2当x 1时，式化为x x4 0，从而1 x 1 17.2所以f (x) g(x)的解集为x|1 x 1 17.22021 全国 1 卷文科数学真题及答案（2）当x1,1时，g(x) 2.所以f (x) g(x)的解集包含1,1，等价于当x1,1时f (x) 2.又f (x)在1,1的学科&网最小值必为f (1)与f (1)之一，所以f (1) 2且f (1) 2，得1 a 1.所以a的取值范围为1,1.
