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1、 微分方程建模的若干微分方程建模的若干问题问题 微分方程模型的建模基本步骤微分方程模型的建模基本步骤 (1) 翻译或转化翻译或转化 . 在实际问题中，有许多表示导数的常用在实际问题中，有许多表示导数的常用 词，例如词，例如 “速度速度”、“速率速率”、 “增长率增长率”、“衰变衰变率率”、“边际边际”等等，要会进行翻译成未知函数的导数等等，要会进行翻译成未知函数的导数工作。针对语言叙述的情况，找出其中涉及的原则或物工作。针对语言叙述的情况，找出其中涉及的原则或物理定律，转化为文字方程。理定律，转化为文字方程。（2）建立瞬时表达式）建立瞬时表达式 . 在自变量有微小变化时，建立各在自变量有微小变
2、化时，建立各 种因变量变化量之间的相等或近似相等关系，然后令种因变量变化量之间的相等或近似相等关系，然后令 自变量微小变化量趋于零，得到上述相等或近似相等自变量微小变化量趋于零，得到上述相等或近似相等 关系的瞬时表达式，即微分方程。关系的瞬时表达式，即微分方程。(3) 配备相同单位配备相同单位 . 在建模中应注意相同的量，应采用在建模中应注意相同的量，应采用 同样的单位。等式的左右两边，各种量的最后运算结同样的单位。等式的左右两边，各种量的最后运算结 果，应是相同的复合单位。果，应是相同的复合单位。 (4) 确定定解条件确定定解条件 . 找出关于系统在某一特定时刻或边找出关于系统在某一特定时刻
3、或边 界上的信息，它们独立于微分方程而成立。在微分方界上的信息，它们独立于微分方程而成立。在微分方 程解出后，利用它们来确定有关常数，这些常数包括程解出后，利用它们来确定有关常数，这些常数包括 比例系数，微分方程中的参数，或（和）解中的积分比例系数，微分方程中的参数，或（和）解中的积分 常数常数。一、常微分方程建模实例一、常微分方程建模实例 盛水的容器底部有一小洞，水通过该小洞流出，需时多盛水的容器底部有一小洞，水通过该小洞流出，需时多 少水能流完？少水能流完？ 容器中液体流完所需时间的计算模型 建模过程建模过程 设在任何时刻设在任何时刻 t , 水面高度为水面高度为 y = y(t) , 该
4、高度处容器的截面积该高度处容器的截面积 S 为高度为高度 y 的已知函数的已知函数 S = S(y) . 记初始时刻水面高度为记初始时刻水面高度为 h , 即即 y(0) = h . 考察时段考察时段 t , t +t 内，液面高度变化导致液体体积的内，液面高度变化导致液体体积的 改变量近似值为改变量近似值为 : S ( y ) y ( t ) y ( t +t) . 根据托利策利定理，水流出小洞的速度根据托利策利定理，水流出小洞的速度 v 与水面高度与水面高度 y 应有关系：应有关系： 设容器出口面积为已知常数设容器出口面积为已知常数 A , 容器的收缩比为容器的收缩比为 c， 在时在时 段
5、段 t , t +t 内流出的液体内流出的液体体积近似值为：体积近似值为： 流出液体体积的近似值应等于容器中液体体积减少近似流出液体体积的近似值应等于容器中液体体积减少近似 值，故有：值，故有： 。 练习练习1：如果容器为一个锥形漏斗，锥顶角为：如果容器为一个锥形漏斗，锥顶角为 45 度，锥度，锥 高为高为 10 公分，容器收缩比为公分，容器收缩比为 0.745, 锥孔面积为锥孔面积为 A = 0.25 cm2 , 求出装满漏斗的液体流完所需时间为多少？求出装满漏斗的液体流完所需时间为多少？练习练习2：牛奶装在聚乙烯软袋中，牛奶在：牛奶装在聚乙烯软袋中，牛奶在 B 点的一个小洞点的一个小洞倒出
6、，空气由倒出，空气由 A 点剪开的小洞入，由于点剪开的小洞入，由于 A 点有洞，奶袋点有洞，奶袋限定有一个不变的最大倾角限定有一个不变的最大倾角 = 10 o，流出孔面积，流出孔面积 B = 0.258 cm2 ,容器收缩比为容器收缩比为 c = 0.745 , 牛奶容量为牛奶容量为 V = 0.568 升，升， 袋高袋高 a = 12.7 cm , 袋宽袋宽 b = 15.2cm, 求牛奶流求牛奶流 完所需的时间。完所需的时间。 B A 提示：开始时，牛奶可分成两部分，上部近似于一提示：开始时，牛奶可分成两部分，上部近似于一 个斜椭圆柱，其底面积近似于一个面积为个斜椭圆柱，其底面积近似于一个
7、面积为 S0 的椭圆；的椭圆；下部近似于一个底面积为椭圆下部近似于一个底面积为椭圆 S0 的斜椭圆的斜椭圆 锥锥 。 参考答案参考答案 T 27.7 秒秒 。y(t) y = y(x) 曲线曲线( 0, at ) (x(t),y(t)( c, 0 ) x(t)设设 曲线曲线 y = y(x) 为拦截导为拦截导弹的拦截轨道线弹的拦截轨道线 导弹拦截轨道模型导弹拦截轨道模型 一枚战略导弹从原点以速度一枚战略导弹从原点以速度 a 沿沿 y 轴方向直线射出，（轴方向直线射出，（1）与此同）与此同 时，时， 另一枚拦截导弹另一枚拦截导弹 从（从（c , 0）点以速度）点以速度 b（b a）追踪射出。）追
8、踪射出。 求出拦截导弹的拦截轨道和击落战略导弹所需时间。求出拦截导弹的拦截轨道和击落战略导弹所需时间。 (2) 如果拦截导弹滞后于战略导弹时刻如果拦截导弹滞后于战略导弹时刻 T0 发出发出 ，建立这时的轨线，建立这时的轨线 模型模型, 再求出这种情况下拦截导弹击落战略导弹所需时间。再求出这种情况下拦截导弹击落战略导弹所需时间。 （1）在点）在点 处追及处追及 ，耗时，耗时 两边对两边对 x 求导：求导： 香烟燃烧中摄入人体的毒物总量计算模型香烟燃烧中摄入人体的毒物总量计算模型 将一支香烟吸完后，毒物被吸入人体的总量是多少？将一支香烟吸完后，毒物被吸入人体的总量是多少？ 建模假设：建模假设：(1
9、) 假定烟草和过滤嘴长度分别为假定烟草和过滤嘴长度分别为 l 1 和和 l 2 , 香烟总长为香烟总长为 l = l 1 + l 2 ； (2) 毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量 比例为常数比例为常数 a 和和 a , a + a = 1 ; (3) 烟雾穿行的速度为常数烟雾穿行的速度为常数 v , 香烟燃烧速度为常数香烟燃烧速度为常数 ； (4) 未燃烧的烟草和过滤嘴对毒物的吸收率（未燃烧的烟草和过滤嘴对毒物的吸收率（ % / 秒）分秒）分 别为常数别为常数 b 和和 ； (5) 毒物总量为毒物总量为 M (毫克毫克) ，均匀分布在烟草中。，均匀分布在
10、烟草中。 时刻时刻 t 在香烟长在香烟长 x 处单位长度烟草中的毒物含量为处单位长度烟草中的毒物含量为 w ( x , t ) (毫克毫克 / 厘米厘米) ； 毒物在香烟抽完后，被吸入人体的总量为毒物在香烟抽完后，被吸入人体的总量为 Q (毫克毫克) , 建模过程建模过程 定义：时刻定义：时刻 t 在香烟长在香烟长 x 处单位时间内通过处单位时间内通过 的毒物量为的毒物量为 q ( x , t ) ( 毫克毫克 / 秒秒 ) ； （1）先求出对任意时刻）先求出对任意时刻 t 时的毒物流量函数：时的毒物流量函数： q ( x , t ) , t x l ; 当当 l 1 x l 时，在微小段时，
11、在微小段 x , x+x 中，中， 时间时间 t 内的毒物吸收量内的毒物吸收量 q ( x , t ) - q ( x+x , t ) q ( x , t ) t 当当 t x l 1 时，在微小段时，在微小段 x , x+x 中，中， 时间时间 t 内的毒物吸收量内的毒物吸收量 q ( x , t ) - q ( x+x , t ) b q ( x , t ) t 取取香烟香烟的一小段的一小段 x , x +x , 故毒物流量故毒物流量(毫克毫克/ 秒秒)方程：方程： 在在 x = t 处处 ，点燃的烟草在单位时间内放出的毒物量，点燃的烟草在单位时间内放出的毒物量 记为记为 H(t) , 则
12、有则有 因此，香烟燃烧端毒物密度（函数）：因此，香烟燃烧端毒物密度（函数）：(2) 再求出香烟尾端毒物流量（函数）再求出香烟尾端毒物流量（函数） (3) 为求为求出出 q (l , t) ， 需求出（需求出（，）：，）： 考察烟草截面处在考察烟草截面处在时间内毒物密度的增加量时间内毒物密度的增加量 （，（，）（，），）（，）， 由质量守恒，这个量应等于单位长度烟草在烟雾通过时由质量守恒，这个量应等于单位长度烟草在烟雾通过时 毒物被吸收部分的量，故有：毒物被吸收部分的量，故有：（秒（秒（毫克秒）（厘米秒）（毫克秒）（厘米秒）秒）秒） 对此方程积分：对此方程积分： 以以代入，再两端乘以代入，再两端
13、乘以 并记并记 得：得： (4)最后计算摄入人体的毒物总量最后计算摄入人体的毒物总量: 人工肾通过一层医用薄膜与需要带走废物的血管相通人工肾通过一层医用薄膜与需要带走废物的血管相通. 人工肾中通以某种液体人工肾中通以某种液体, 其流动方向与血液在血管中的其流动方向与血液在血管中的 流动方向相反流动方向相反, 血液中的废物透过薄膜单向渗透进入血液中的废物透过薄膜单向渗透进入 人工肾人工肾. 人工肾工作模型人工肾工作模型 试建立人工肾在单位时间内带走废物数量的计算模型试建立人工肾在单位时间内带走废物数量的计算模型， 并说明藉此模型如何利用实测数据将并说明藉此模型如何利用实测数据将医用薄膜的物理性质
14、医用薄膜的物理性质 如渗透率等如渗透率等 测定出来，测定出来， （ 即进行数学模型中的参数测即进行数学模型中的参数测 定工作）。定工作）。 ku : 血管中血流速度血管中血流速度 (cm / s ) kv ： 人工肾中流速人工肾中流速 ( cm / s ) 血管血管 人工肾人工肾 x x+dx 建模假设：建模假设： (1) 设血管和人工肾中液体的流速设血管和人工肾中液体的流速 ku 和和 kv 均为常数均为常数 ; 人工肾总长度为人工肾总长度为 L ； 1. 先利用微分方程方法建立计算模型先利用微分方程方法建立计算模型 . (2) 废物从血管进入人工肾的渗透速度与它在血管中的废物从血管进入人工
15、肾的渗透速度与它在血管中的 浓度和人工肾中的浓浓度和人工肾中的浓 度之差成正比，比例系数为度之差成正比，比例系数为 常数常数 （1 / s ) ;建模过程建模过程 u(x) : 在点在点 x 处，血管中的废物浓度处，血管中的废物浓度( g / cm ); v(x) : 在点在点 x 处，人工肾中的废物浓度处，人工肾中的废物浓度( g / cm ) ku : 血管中血血管中血 流速度流速度 (cm / s ) kv ： 人工肾中人工肾中 流速流速 ( cm / s ) 血管血管 人工肾人工肾 x x+dx 在血管的微小段在血管的微小段 x , x + x 上，利用微元法，应有：上，利用微元法，应
16、有： 这小段中，单位时间内这小段中，单位时间内血管中血管中废物减少量废物减少量 ( g / s ) = 单位时间单位时间内血管中内血管中废物排出量废物排出量 ( g / s ) 而而 等式左端等式左端 = ku u ( x ) - - u ( x + x ) ， 等式右端等式右端 = 在单位时间内单位长度废物排出量在单位时间内单位长度废物排出量 乘以乘以该小段长度小段长度 x 于是有：于是有： ku u ( x ) - u ( x + x ) = u ( x ) v ( x ) x 因为根据假设，因为根据假设，在单位时间内单位长度废物排出量与在单位时间内单位长度废物排出量与 薄膜两侧的废物浓度
17、成正比薄膜两侧的废物浓度成正比 ， 故在单位时间内单位长度废物排出量故在单位时间内单位长度废物排出量 = u ( x ) v ( x ) ( g / s cm ) 对人工膜一侧有类似的结论对人工膜一侧有类似的结论 : 在单位时间内在单位时间内 血管中血管中废物增加量废物增加量 = 血管中血管中废物进入量废物进入量 ( g / s ) 等式左端等式左端 = kv v ( x ) - - v ( x + x ) 等式右端等式右端 = u ( x ) v ( x ) x kv v ( x ) - v ( x + x ) = u ( x ) v ( x ) x ku u ( x ) - u ( x +
18、 x ) = ( u ( x ) v ( x ) x kv v ( x ) - v ( x + x) = (u ( x ) v ( x ) x ku u(x) = - - ( u ( x ) v ( x ) )kv v(x) = - - ( u ( x ) v ( x ) ) 这样，联立起来有：这样，联立起来有： 利用利用 Mathmatica 软件求解此微分方程组软件求解此微分方程组 ： 运用定解条件运用定解条件 u (0) = u 0 , v (L) = 0 ， 所以，单位时间内带走废物的总数量：所以，单位时间内带走废物的总数量： 2.再说明如何利用实验的实测数据来确定这种医用薄膜再说明如
19、何利用实验的实测数据来确定这种医用薄膜 的渗透率的渗透率 用面积为用面积为 s 的薄膜将容器分成体积分别为的薄膜将容器分成体积分别为 VA 与与 VB ( VA VB ) 的两部分，在这两部分中分别注入该物质的两部分，在这两部分中分别注入该物质的两种不同浓度的溶液，在的两种不同浓度的溶液，在 VB 中测出不同时刻中测出不同时刻 t1 , t2 , , tn 时的物质溶液的浓度时的物质溶液的浓度 CB( t 1 ) ，CB( t2 ) ， , CB( t n ) , 拟利用这些实测数据由此来测出该医用薄膜拟利用这些实测数据由此来测出该医用薄膜 的渗透率的渗透率 。 实测数据为：实测数据为： VA
20、 = VB = 100 cm3 , s = 10 cm2 ti 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 CB( t i ) 4.54 4.99 5.35 5.65 5.9 6.1 6.26 6.33 6.5 6.59 建模过程建模过程 : 在在 t , t + t 时段上，时段上，A 侧物质质量减少侧物质质量减少 数为：数为：VA CA( t ) - CA( t +t ) , A 侧向侧向 B 侧渗透物质质量数为：侧渗透物质质量数为： s v t = s CA( t ) CB( t ) t , 由质量守恒定律由质量守恒定律 B 侧物质质量增加数为侧物质
21、质量增加数为 ：VB CB( t +t ) - CB( t) ,渗透到渗透到 B 侧物质质量数为：侧物质质量数为：s CA( t ) CB( t ) t 其中其中 CA( 0 ) = c1 和和 CB( 0 ) = c2 分别是开始时薄膜分别是开始时薄膜 两侧的溶液浓度两侧的溶液浓度 。 利用利用 Mathmatica 软件求解此微分方程组软件求解此微分方程组 其中其中 （ = 0.01012 , b = 0.003 ） 或者，对或者，对 b , k 运用最小二乘法运用最小二乘法 ： 原模型的解具体为原模型的解具体为 其中其中 问题变成问题变成 ： 合理确定用药时间间隔的问题合理确定用药时间间
22、隔的问题 病人开处方中用药的剂量（单位：毫克 / 毫升）已知时，相应的 每次用药时间间隔（单位：小时）的确定是一个十分重要的问题。 一般而言，药物在体内的浓度低于已知数量 L 时药性会无效，而 高于已知数量 H 时则会发生危险。 根据药理学的临床研究以及相关文献记载，可以假定：药物在体内因吸收而导致药物浓度随时间减少的变化率大小（绝对值）的对数值与当时的药物浓度数量成正比 建模假设 。 如给药方式为静脉注射时，试建立此时的数学模型并由此确定出（1）每隔 T 小时药用剂量为 Q 毫克 / 毫升时，体内药物剩余浓度 的最终极限值 U ；（2）最佳用药时间间隔 T 的确定方式（计算公式）。 记 u（
23、t）：药物在体内的浓度 ； T ：用药时间间隔模型：模型：求解：求解：第一次用药后最终残余药物浓度 ： 第二次用药最初时刻时的药物浓度 ：第二次用药后的时段 （T , 2T ) 内微分方程模型 ：第二次用药后的时段 （T , 2T ) 内的药物浓度 ： 第二次用药后最终残余药物浓度 ： 第三次用药最初时刻时的药物浓度 ：第三次用药后时段 （2T , 3T ) 内的微分方程模型 ：第三次用药后的时段 （2T , 3T ) 内的药物浓度 ： 第三次用药后最终残余药物浓度 ： 用归纳法，类似可得第 n 次用药后最终残余药物浓度 ： （1）每隔 T 小时, 药用剂量为 Q 时，体内药物剩余浓度的最终
24、极限值为了确定最佳用药时间间隔，应考虑： 一次用药量尽可能充分 ， 即 每次用药时间间隔尽可能长， 但必须应保证 即（2）最佳用药时间间隔 T 的计算公式为 野猪的生态管理问题野猪的生态管理问题一、某森林地区有野猪生存。在自然环境中，已知野猪的数量降到数量 a 以下, 野猪就会灭绝；而野猪数量超过数量 b 以上，野猪就会因疾病和缺乏足够食物而下降到 b 。 现在，该地区野猪数量已偏多，影响到该地区村落居民的正常生活和农作物生长，地区管理部门决定发放捕猎野猪许可证，用以控制该森林地区的野猪 数量（一张许可证只能捕猎一头野猪）。 （1）试建立一个野猪在自然环境中繁衍的数学模型； （2）求解（1）中
25、数学模型，并借此预测长时间后野猪数量将是多少； （3）为了野猪不致灭绝而使当地生态环境受到破坏，管理部门应发放多少张捕猎野猪许可证？二、若该地区在某天突然发生地震，导致地震后的生存环境变差；（1）这时自然繁衍数学模型将如何变化？（2）从地震前某时刻开始到地震后某时刻终止，试画出“地震前后” 野猪数量曲线图，藉以说明野猪的数量在环境变化影响中是如何变动的。（3）针对地震对野猪生态环境的不同影响，结合你们建立的数学 模型，讨论管理部门应部署何种必要的管理措施，采取何种 合适的生态管理对策，写出一份给当地管理部门的建议报告。记野猪数为 表示在 t 时刻，野猪每天增加（减少）头数 模型求解 一、（1）
26、在自然环境中繁衍的数学模型： 根据题意， 野猪的数量降到数量 a 以下, 野猪就会灭绝 ； 而野猪数量超过数量 b 以上，野猪就会下降到 b ；i) 时， ， 将递减趋于零，且在时刻 时 ， 一、（2）长时间后野猪数量的变化趋势 ii) 时， 将随 t 趋于无穷而递增趋于 b ， 即 iii) 时， ， 将随 t 趋于无穷而递减趋于 b ， 即 一、（3）假设该地区捕猎强度为 r （头 / 天）， 在拟定的时段中，发放 m 张捕猎许可证后，猎人为了使用完这些捕猎许可证，需时 天 ; 野猪繁衍数学模型应修改为： 则管理部门应该控制发放捕猎野猪许可证的张数 m , 使得在 t* 时刻 的野猪数满足
27、i) 当捕猎强度 r 足够大，使得 x(t) 0 时, ii) 当捕猎强度 r 不够大时, 则管理部门应采取措施加强地区的 捕猎强度来达到控制该森林地区的野猪数量过多。 二、该地区在某天突然发生地震，导致地震后的生存环境变差 ，具体应反映在两个数据上： i) 最大生存数 b 变小 ; ii) 地震发生时刻 所对应的野猪数 迅即变小 ; (1) 在区间段 （ t + ）上，自然繁衍数学模型将变为 ： 其中 从地震前某时刻开始到地震后某时刻终止， “地震前后” 野猪数量曲线函数应是一个分段函数：(2) 根据地震发生后 ， 野猪的剩余数 c* 的大小情况 ，此函数 曲线示意图如下：i) b * c* a 情况 c*ab*ii) c* b* 情况c*ab*b（3）为了讨论在地震后给管理部门提出应采取何种必要的管理措 施，较为关键的是须调查出地震后野猪的残存数量 c* 的大小， 这可以通过 抽样方法进行。
