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1、南通市三中 易峻引例1：一个口袋中装有8个球，从袋中取出3 个球有几种取法？从中取出5个球有几种取法？ 写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有组合。aabc ， abd ， acd ， bcd .bcddbccdabc abd acd bcd d c b a推广推广: 从从 n个不同元素中取出个不同元素中取出 m个元素的每个元素的每一个组合，与剩下的一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组个元素的每一个组合一一对应，所以从合一一对应，所以从 n个不同元素中取出个不同元素中取出 m个元素的组合数，等于从这个元素的组合数，等于从这n 个元素中取个元素中取出出n-m 个元素
2、的组合数，即个元素的组合数，即 引例变题：引例变题：（课课本本101例例4）一个口袋内装有大）一个口袋内装有大小相同的小相同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球（1 1）从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中含有个球，使其中含有1 1个黑球，个黑球，有多少种取法？有多少种取法？（2 2）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，个球，使其中不含黑球，有多少种取法？有多少种取法？ 解：解：（1） 我我们们可以可以这样这样解解释释：从口袋内的从口袋内的8个球中所取出的个球中所取出的3个球，可以分个球，可以分为为两两类类：一：一类类含有含有1个个黑球，一黑球，一类类不含不含有黑球因此根据分有黑
3、球因此根据分类计类计数原理，数原理，上述等式成立上述等式成立 我我们发现们发现：为什么呢为什么呢推广推广:从从 这这n+1个不同个不同的元素中，取出的元素中，取出m个元素的组合数个元素的组合数 ，这些组合可，这些组合可以分成两类：一类含以分成两类：一类含 ，一类不含，一类不含 。含。含 的组合是的组合是从从 这这n个不同元素中取出个不同元素中取出m-1个元素个元素的组合数为的组合数为 ；不含；不含 的组合是从的组合是从 这这n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m个元素的组合数为个元素的组合数为 ，再由加法原理，得再由加法原理，得性质性质22、性质、性质2的证明的证明要证明这个等式，只要根据组
4、合数的公式变形即可。要证明这个等式，只要根据组合数的公式变形即可。证明：证明： 注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用例计算：例2 求证:证明: 计计算：算： 求求证证：+ 解方程：解方程： 解方程：解方程： 计计算：算： 推广：推广：练习:1、这节课主要学习了组合数、这节课主要学习了组合数的两个性质以及性质的证明和的两个性质以及性质的证明和利用性质计算组合数的方法利用性质计算组合数的方法2、从特殊到一般的归纳思想、从特殊到一般的归纳思想1、计算、计算2、证明、证明3、课本、课本第第3题题
