1.数字电路基础PPT课件

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1、数字电路基础数字电路基础课程内容课程内容u数字电路基础数字电路基础u组合逻辑电路组合逻辑电路l逻辑门电路逻辑门电路l组合逻辑电路组合逻辑电路u时序逻辑电路时序逻辑电路u半导体存储器和可编程逻辑器件半导体存储器和可编程逻辑器件u脉冲波形的产生与变换脉冲波形的产生与变换u数模与模数转换器数模与模数转换器内容描述：内容描述：本部分介绍数字信号、数字电路等基本概念，各种本部分介绍数字信号、数字电路等基本概念，各种进制数的表示方法，逻辑代数的基本概念、公式和定进制数的表示方法，逻辑代数的基本概念、公式和定理，逻辑函数的代数化简法和卡诺图化简法。理，逻辑函数的代数化简法和卡诺图化简法。逻辑代数是分析和设计

2、数字电路的基本工具，逻辑逻辑代数是分析和设计数字电路的基本工具，逻辑函数化简是数字电路分析及设计的基础，它们是学好函数化简是数字电路分析及设计的基础，它们是学好后面几个课题的重要知识。后面几个课题的重要知识。知识要点：知识要点：常见的数制与码制；基本逻辑关系、复合逻辑关系；常见的数制与码制；基本逻辑关系、复合逻辑关系；逻辑代数基本定律与基本规则；逻辑函数及表示方法；逻辑代数基本定律与基本规则；逻辑函数及表示方法；逻辑函数的变换与化简方法。逻辑函数的变换与化简方法。 0.1 概述概述0.1.1 数字信号和模拟信号数字信号和模拟信号模拟信号模拟信号模拟信号是指在时间和幅值上都连续变化的信模拟信号是

3、指在时间和幅值上都连续变化的信号，从自然界感知的大部分物理量都是模拟性质号，从自然界感知的大部分物理量都是模拟性质的，例如温度、压力等物理量通过传感器变成的的，例如温度、压力等物理量通过传感器变成的电信号，模拟语音的音频信号和模拟图像的视频电信号，模拟语音的音频信号和模拟图像的视频信号等，如图信号等，如图0-1(A)所示。对模拟信号进行传输、所示。对模拟信号进行传输、处理的电路称为模拟电路处理的电路称为模拟电路 数字信号：数字信号：数字信号是指在时间和幅值上都不连续的离数字信号是指在时间和幅值上都不连续的离散信号，通常是由数字散信号，通常是由数字0和和1来表示，在电路中来表示，在电路中由低电平

4、和高电平来表示，例如计算机中各部由低电平和高电平来表示，例如计算机中各部件之间传输的信息、件之间传输的信息、VCD中的音视频信号等，中的音视频信号等，如图如图0-1(B)所示。对数字信号进行传输、处理所示。对数字信号进行传输、处理的电路称为数字电路，如数字电子钟、数字万的电路称为数字电路，如数字电子钟、数字万用表的电子电路都是由数字电路组成的。用表的电子电路都是由数字电路组成的。 0.1.2 数字电路的特点数字电路的特点（1）数字电路在稳态时，电子器件（如二极管、三极管）数字电路在稳态时，电子器件（如二极管、三极管）处于开关状态，即工作在饱和区和截止区。处于开关状态，即工作在饱和区和截止区。（

5、2）数字电路的基本单元电路比较简单，对元件的精度）数字电路的基本单元电路比较简单，对元件的精度要求不高，允许有较大的误差。要求不高，允许有较大的误差。（3）在数字电路中，研究的主要内容是输入信号和输出）在数字电路中，研究的主要内容是输入信号和输出信号之间的逻辑关系，反映电路的逻辑功能。信号之间的逻辑关系，反映电路的逻辑功能。 （4）由于数字电路工作状态、研究内容与模拟电路不同，）由于数字电路工作状态、研究内容与模拟电路不同，所以分析方法也不同。所以分析方法也不同。 （5）数字电路能够对数字信号进行各种逻辑运算和算术）数字电路能够对数字信号进行各种逻辑运算和算术运算运算 。0.1.2 数字电路的

6、分类和应用数字电路的分类和应用1. 按集成度分类：数字电路可分为小规模（按集成度分类：数字电路可分为小规模（SSI，每片数十器件）、中规模（，每片数十器件）、中规模（MSI，每片数百，每片数百器件）、大规模（器件）、大规模（LSI，每片数千器件）和超，每片数千器件）和超大规模（大规模（VLSI，每片器件数目大于，每片器件数目大于1万）数字万）数字集成电路。集成电路。2. 按所用器件制作工艺的不同：数字电路可分为按所用器件制作工艺的不同：数字电路可分为双极型（双极型（TTL型）和单极型（型）和单极型（MOS型）两类。型）两类。以双极型晶体管作为基本器件的数字集成电路以双极型晶体管作为基本器件的数

7、字集成电路称为双极型数字集成电路，如称为双极型数字集成电路，如TTL、ECL集成集成电路等；以单极型电路等；以单极型MOS管作为基本器件的数字管作为基本器件的数字集成电路称为单极型数字集成电路，如集成电路称为单极型数字集成电路，如NMOS、PMOS、CMOS集成电路等。集成电路等。3. 按照电路的结构和工作原理的不同：数字电路可按照电路的结构和工作原理的不同：数字电路可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两类。组合逻辑电分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两类。组合逻辑电路没有记忆功能，其输出信号只与当时的输入信号有路没有记忆功能，其输出信号只与当时的输入信号有关，而与电路以前的状态无关。时序逻辑电路具有

8、记关，而与电路以前的状态无关。时序逻辑电路具有记忆功能，其输出信号不仅和当时的输入信号有关，而忆功能，其输出信号不仅和当时的输入信号有关，而且与电路以前的状态有关。且与电路以前的状态有关。4. 数字集成电路从应用的角度又可分为通用型和专数字集成电路从应用的角度又可分为通用型和专用型两大类型。用型两大类型。数字电路是近代电子技术的一个重要组成部分。它数字电路是近代电子技术的一个重要组成部分。它包含的内容十分广泛，主要有各种基本逻辑门、编码包含的内容十分广泛，主要有各种基本逻辑门、编码器、译码器、显示器、算术运算器、数据选择器、数器、译码器、显示器、算术运算器、数据选择器、数据比较器及各种触发器、

9、计数器、存储器、数模和模据比较器及各种触发器、计数器、存储器、数模和模数转换器、可编程逻辑器件等典型的数字单元电路。数转换器、可编程逻辑器件等典型的数字单元电路。因此数字电子技术在数字通讯、自动控制、数字电子因此数字电子技术在数字通讯、自动控制、数字电子计算机、数字测量仪表以及家用电器等各个技术领域计算机、数字测量仪表以及家用电器等各个技术领域中的应用日益广泛。中的应用日益广泛。0.2 常用的数制与编码常用的数制与编码0.2.1 常用的数制常用的数制1、十进制、十进制数码为：数码为：09；基数是；基数是10。运算规律：逢十进一，如：运算规律：逢十进一，如：9110。任意十进制数可表示为任意十进

10、制数可表示为 （0-1）式中式中Ki表示第表示第i个数码，个数码，R表示基数，表示基数，Ri表示位权。表示位权。【例例0-1】 (209.04)10 2102 0101910001014 1022、二进制、二进制数码为：数码为：0、1；基数是；基数是2。运算规律：逢二进一，如：运算规律：逢二进一，如：1110。任意二进制数可表示为任意二进制数可表示为 （0-2）【例例0-2】 （101.101）2 =122 +021 +120 +12-1 +02-2 +12-3 3、八进制、八进制数码为：数码为：07；基数是；基数是8。运算规律：逢八进一，如：运算规律：逢八进一，如：7110。任意八进制数可表

11、示为任意八进制数可表示为 （0-3）【例例0-3】 (207.04)8 282 0817800814 82 4、十六进制、十六进制数码为：数码为：09、AF；基数是；基数是16。运算规律：逢十六进一，如：运算规律：逢十六进一，如：F110。任意十六进制数可表示为任意十六进制数可表示为 （0-4）【例例0-4】 (D8.A)16 13161 816010 1610.2.2 不同进制间的转换不同进制间的转换1、非十进制数转换为十进制数、非十进制数转换为十进制数若将非十进制数转换为十进制数，只要将非十进制数按位权展若将非十进制数转换为十进制数，只要将非十进制数按位权展开，即可以转换为十进制数。开，即

12、可以转换为十进制数。【例例0-5】 (101101011)2 =128 +027 +126 +125 +024 +123 +022 +121 +120 =256+64+32+8+2+1=(363)102、二进制数与八进制数的相互转换、二进制数与八进制数的相互转换（1）二进制数转换为八进制数：）二进制数转换为八进制数： 将二进制数由小数点开始，将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够位分成一组，不够3位补位补零，则每组二进制数便是一位八进制数。零，则每组二进制数便是一位八进制数。【例例0-6】 （1101010 .01）2=001 1

13、01 010 .010 = (152.2)8（2）八进制数转换为二进制数：将每位八进制数用）八进制数转换为二进制数：将每位八进制数用3位二进制位二进制数表示。数表示。【例例0-7】 (374.26)8 = 011 111 100 . 010 110=11111100 . 010113、二进制数与十六进制数的相互转换、二进制数与十六进制数的相互转换二进制数与十六进制数的相互转换，按照每二进制数与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数对应位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。于一位十六进制数进行转换。【例例0-8】111010100. 011 0001 1101 0100. 0110 (1E8

14、.6)16【例例0-9】 (AF4.76)16 = 1010 1111 0100. 0111 0110= 101011110100. 01110114、十进制数转换为二进制数、十进制数转换为二进制数采用的方法采用的方法: 除基数取余数法、乘基数取整数法除基数取余数法、乘基数取整数法步骤：将整数部分和小数部分分别进行转换。整数部分采用除步骤：将整数部分和小数部分分别进行转换。整数部分采用除基数取余数法，小数部分基数取余数法，小数部分 采用乘基数取整数法采用乘基数取整数法,转换后再合转换后再合并。并。【例例0-10】 将十进制数将十进制数44.375转换成二进制数。转换成二进制数。解：整数部分采用

15、基数连除法，先得到的余数为低位，后得到解：整数部分采用基数连除法，先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。小数部分采用乘基数取整数法，先得到的整的余数为高位。小数部分采用乘基数取整数法，先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。数为高位，后得到的整数为低位。所以：所以：(44.375)10(101100.011)2 除基数取余数法、乘基数取整数法，可将十除基数取余数法、乘基数取整数法，可将十进制数转换为任意的进制数转换为任意的N进制数。进制数。 0.2.3 常用的编码常用的编码1.二二 - 十进制码（十进制码（BCD码）码） 2.ASCII码码ASCII码是美国信息交换标准代码码是美国信息交换标

16、准代码(American StAndard Code for Information Interchange)的简称，是目前国际上最通用的的简称，是目前国际上最通用的一种字符码。计算机输出到打印机的字符码就采用一种字符码。计算机输出到打印机的字符码就采用ASCII码。码。 ASCII码采用码采用7位二进制编码表示十进制符号、英文大小写字位二进制编码表示十进制符号、英文大小写字母、运算符、控制符以及特殊符号。母、运算符、控制符以及特殊符号。3.奇偶校验码奇偶校验码奇偶校验码是最简单的检错码，它能够检测出传输码组中的奇偶校验码是最简单的检错码，它能够检测出传输码组中的奇数个码元错误。奇数个码元错误

17、。奇偶校验码的编码方法：在信息码组中增加奇偶校验码的编码方法：在信息码组中增加1位奇偶校验位，位奇偶校验位，使得增加校验位后的整个码组具有奇数个使得增加校验位后的整个码组具有奇数个1或偶数个或偶数个1的特点。的特点。如果每个码组中如果每个码组中1的个数为奇数，的个数为奇数， 则称为奇校验码；如果每个则称为奇校验码；如果每个码组中码组中1的个数为偶数，则称为偶校验码。的个数为偶数，则称为偶校验码。0.3 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑代数也称布尔代数，是逻辑代数也称布尔代数，是19世纪英国数学家乔治世纪英国数学家乔治布尔首布尔首先提出的。所谓逻辑是指事物因果之间所遵循的规律。为了避先提出的。所谓逻

18、辑是指事物因果之间所遵循的规律。为了避免用冗繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数采用逻辑变量和一免用冗繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数采用逻辑变量和一套运算符组成逻辑函数表达式来描述事物的因果关系。套运算符组成逻辑函数表达式来描述事物的因果关系。它是用代数的方法来研究、证明、推理逻辑问题的一种数学它是用代数的方法来研究、证明、推理逻辑问题的一种数学工具。和普通代数一样，逻辑代数也可用工具。和普通代数一样，逻辑代数也可用A、B等字母表示变量等字母表示变量及函数，所不同的是，在普通代数中，变量的取值可以是任意及函数，所不同的是，在普通代数中，变量的取值可以是任意实数，而在逻辑代数中，每一个变量只有实数

19、，而在逻辑代数中，每一个变量只有0、1两种取值，因而两种取值，因而逻辑函数值也只能是逻辑函数值也只能是0或或1。逻辑值。逻辑值0和和1不再具有数量的概念，不再具有数量的概念，仅是代表两种对立逻辑状态的符号。仅是代表两种对立逻辑状态的符号。逻辑函数与普通代数中的函数相似，是随自变量的变化而变逻辑函数与普通代数中的函数相似，是随自变量的变化而变化的因变量。因此，如果用自变量和因变量分别表示某一事件化的因变量。因此，如果用自变量和因变量分别表示某一事件发生的条件和结果，那么该事件的因果关系就可以用逻辑函数发生的条件和结果，那么该事件的因果关系就可以用逻辑函数来描述。来描述。任何事物的因果关系均可用逻

20、辑代数中的逻辑关系表示，基任何事物的因果关系均可用逻辑代数中的逻辑关系表示，基本的逻辑关系有与逻辑、或逻辑和非逻辑三种，与之对应的逻本的逻辑关系有与逻辑、或逻辑和非逻辑三种，与之对应的逻辑运算叫与运算、或运算和非运算。辑运算叫与运算、或运算和非运算。 0.3.1 三种基本逻辑关系（运算）三种基本逻辑关系（运算）1.与逻辑（与运算）与逻辑（与运算）当决定某一事件发生的所有条件都具备时，该事件当决定某一事件发生的所有条件都具备时，该事件才会发生，这种因果关系称为才会发生，这种因果关系称为“与逻辑与逻辑”。也叫与运。也叫与运算或逻辑乘。算或逻辑乘。例如在表例如在表0-3所示的串联开关电路中，只有在开

21、关所示的串联开关电路中，只有在开关A和和B都闭合的条件下，灯都闭合的条件下，灯Y才亮，这种灯亮与开关闭合才亮，这种灯亮与开关闭合的关系就称为与逻辑关系。如果设开关的关系就称为与逻辑关系。如果设开关A、B闭合为闭合为1，断开为，断开为0，设灯，设灯Y亮为亮为1，灭为，灭为0，则，则Y与与A、B的逻辑的逻辑关系可以用表关系可以用表0-3所示的真值表、逻辑表达式和逻辑符所示的真值表、逻辑表达式和逻辑符号来描述。号来描述。这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。来的表格叫做真值表。2. 或逻辑（或运算）或逻辑（或运算）当决定某一事件发

22、生的所有条件具备一个或一个以当决定某一事件发生的所有条件具备一个或一个以上时，该事件才会就发生，这种因果关系称为上时，该事件才会就发生，这种因果关系称为“或逻或逻辑辑”。也叫或运算或叫逻辑加。也叫或运算或叫逻辑加。例如在下表所示的并联开关电路中，在开关例如在下表所示的并联开关电路中，在开关A或或B其其中之一闭合的条件下，灯中之一闭合的条件下，灯Y就会亮，这种灯亮与开关就会亮，这种灯亮与开关闭合的关系就称为或逻辑关系。如果设开关闭合的关系就称为或逻辑关系。如果设开关A、B闭闭合为合为1，断开为，断开为0，设灯，设灯Y亮为亮为1，灭为，灭为0，则，则Y与与A、B的逻辑关系可以用下表所示的真值表、逻

23、辑表达式和的逻辑关系可以用下表所示的真值表、逻辑表达式和逻辑符号来描述。逻辑符号来描述。 3.非逻辑（非运算）非逻辑（非运算）当当条条件件具具备备时时，事事件件不不会会发发生生;而而条条件件不不具具备备时时，事事件件一定会发生。一定会发生。这这种种因因果果关关系系称称为为“非非逻逻辑辑”。也也叫叫非非运运算算。非非逻逻辑辑指指的的是是逻逻辑辑的的否否定定或或取取反反。例例如如所所示示灯灯的的控控制制电电路路中中，图图中中开开关关A与与灯灯Y状状态态是是相相反反的的，开开关关闭闭合合灯灯就就灭灭，如如果果想要灯亮，则开关必须断开。想要灯亮，则开关必须断开。Y与与A的的逻逻辑辑关关系系可可以以用用

24、所所示示的的真真值值表表、逻逻辑辑表表达达式式和和逻辑符号来描述。逻辑符号来描述。0.3.2 逻辑代数基本公式逻辑代数基本公式1. .代入代入规则规则 将将逻辑逻辑等式两等式两边边出出现现的同一的同一变变量都代之以一个相同的量都代之以一个相同的逻辑逻辑函数函数F，逻辑逻辑等式仍然成立，等式仍然成立，这这个个规则规则称称为为代入代入规则规则。利用代入利用代入规则规则可以在可以在等式等式变换变换中中导导出新公式。例如在出新公式。例如在中，所有变量中，所有变量B都用（都用（B+C）代入，则可得到代入，则可得到等式等式。据此可以证明。据此可以证明N个变量的德个变量的德摩根定理成立摩根定理成立。【例例0

25、-11】 证明反演律证明反演律 解：利用真值表证明。将等式两端列出真值表见下表，由表可解：利用真值表证明。将等式两端列出真值表见下表，由表可知，在逻辑变量知，在逻辑变量A、B所有的可能取值中，所有的可能取值中， 和和 的函数的函数值均相等，所以等式成立。值均相等，所以等式成立。真值表真值表0.3.3 逻辑代数基本规则逻辑代数基本规则2.反演规则反演规则对于任何一个逻辑函数表达式对于任何一个逻辑函数表达式Y，将逻辑函数，将逻辑函数Y的表的表达式中所有的算符达式中所有的算符“”变成变成“+”，“+”变成变成“”;常量常量“0”变成变成“1”，“1”变成变成“0”，所有，所有“原变量原变量”变成变成

26、“反变量反变量”，“反变量反变量”变成变成“原变原变量量”，则变换后所得的函数式就是原函数，则变换后所得的函数式就是原函数Y的反函数。的反函数。这个规则称为反演规则。这个规则称为反演规则。利用反演规则可以容易地求出一个函数的反函数。利用反演规则可以容易地求出一个函数的反函数。【例例0-12】求函数求函数Y = 的反函数。的反函数。解：根据反演规则，解：根据反演规则， 。使用反演规则时应注意保持原函数中的运算顺序，使用反演规则时应注意保持原函数中的运算顺序，即先算括号里的，然后按先与后或的顺序运算，同时即先算括号里的，然后按先与后或的顺序运算，同时应该注意不属于单变量上的非号应保留不变。应该注意

27、不属于单变量上的非号应保留不变。3.对偶规则对偶规则将逻辑函数将逻辑函数Y表达式中所有的算符表达式中所有的算符“”变成变成“+”，“+”变成变成“”;常量常量“0”变成变成“1”，“1”变成变成“0”，则变换，则变换后得到一个新的逻辑函数后得到一个新的逻辑函数Y，Y称为称为Y的对偶式。的对偶式。对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则可知，若一个等式成立，则它们的对数也相等。利用对偶规则可知，若一个等式成立，则它们的对偶式也必定成立，可以使所需证明和记忆的等式减少一半。偶式也必定成立，可以使所需证明和记忆的等

28、式减少一半。例如：若等式例如：若等式A(A+B)=A成立，则其对偶式成立，则其对偶式A+AB=A也是成也是成立的。立的。使用对偶规则时也应注意保持原函数中的运算顺序不变。使用对偶规则时也应注意保持原函数中的运算顺序不变。前面讨论的逻辑代数基本公式中的公式前面讨论的逻辑代数基本公式中的公式2均为公式均为公式1的对偶式。的对偶式。例如分配律例如分配律A(B+C)=AB+AC，则其对偶式，则其对偶式A+BC=(A+B)(A+C)也也必定成立。必定成立。0.3.4 其他常用公式其他常用公式1、 （0-5）两个乘积项相加时，若一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的。两个乘积项相加时，若一项取反后是另

29、一项的因子，则此因子是多余的。证明：左式证明：左式=A+ B=（A + ）（）（A+B）=1（A+B）=A+B=右式右式所以等式成立。所以等式成立。 2、 （0-6）两个乘积项相加时，若两项中除去一个变量相反外，其余变量都相同，则两个乘积项相加时，若两项中除去一个变量相反外，其余变量都相同，则可用相同的变量代替这两项可用相同的变量代替这两项.证明：左式证明：左式= A A1=A=右式右式所以等式成立。所以等式成立。3、 （0-7）若两个乘积项中分别包含了若两个乘积项中分别包含了A、两个因子，而这两项的其余因子组成第三个两个因子，而这两项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以

30、去掉。该等式又叫冗余项定理。乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以去掉。该等式又叫冗余项定理。证明证明：:左左=AB+ C+BC=AB+ C+BC（A+ ）=AB+ C+ABC+ BC=AB（1+C）+ C（1+B）=AB+ C=右式右式所以等式成立。所以等式成立。推论：推论：AB+ C+BCDE = AB+ C0.4 逻辑函数逻辑函数0.4.1 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法在数字电路中，若输入变量在数字电路中，若输入变量A、B、C的取值确定后，的取值确定后，输出变量输出变量Y的值也就被惟一地确定了。这样，我们就称的值也就被惟一地确定了。这样，我们就称Y是是A、B、C的逻辑函数。它

31、的一般表达式可写作的逻辑函数。它的一般表达式可写作: Y=f（A，B，C）需要特别注意的是：二值逻辑的取值需要特别注意的是：二值逻辑的取值0和和1只表示任何只表示任何事物的两种相反的状态，而不表示数量的大小，即没有事物的两种相反的状态，而不表示数量的大小，即没有数量上的含义。例如：数量上的含义。例如：1表示开关接通，表示开关接通，0表示开关断开。表示开关断开。 表示一个逻辑函数有多种方法，常用的有表示一个逻辑函数有多种方法，常用的有:真值表、真值表、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图等。它们各有特点，又相逻辑函数式、逻辑图和卡诺图等。它们各有特点，又相互联系，还可以相互转换。互联系，还可以相互转换。

32、0.4.2逻辑函数的代数变换与化简逻辑函数的代数变换与化简1、逻辑表达式的五种形式、逻辑表达式的五种形式 一个逻辑函数可以有不同的表达式，基本形式有与一个逻辑函数可以有不同的表达式，基本形式有与或、或与两种。此外还有与非或、或与两种。此外还有与非-与非、或非与非、或非-或非、或非、与或非这三种形式。与或非这三种形式。例如：例如：Y=A +BC （与或式（与或式积之和）积之和）=（A+B）（）（ +C） （或与式（或与式和之积）和之积） = （与非（与非-与非式）与非式） = （或非（或非-或非式）或非式） = （与或非式）（与或非式） 2.最简与或表达式最简与或表达式在理论分析上，与或式最常用

33、，也容易转换成其他在理论分析上，与或式最常用，也容易转换成其他类型的表达式。因此，下面着重研究最简与或式。类型的表达式。因此，下面着重研究最简与或式。 对于一个与或式，在不改变其逻辑功能的情况下，对于一个与或式，在不改变其逻辑功能的情况下，如果满足如果满足:（1）表达式所含的乘积项个数最少）表达式所含的乘积项个数最少; （2）表达式中每个乘积项所含的变量个数最少。）表达式中每个乘积项所含的变量个数最少。 则这个与或式就叫做最简与或式。那么，如何才则这个与或式就叫做最简与或式。那么，如何才能得到一个逻辑函数的最简与或式呢能得到一个逻辑函数的最简与或式呢?这就需要对逻辑这就需要对逻辑函数进行化简。

34、函数进行化简。3.代数化简法代数化简法 （1）并项法）并项法利用公式利用公式AB+A =A，将两乘积项合并为一项，并消，将两乘积项合并为一项，并消去一个互补（相反）的变量。去一个互补（相反）的变量。【例例0-13】化简函数化简函数Y=AB + B 解：解：Y=（A+ ）B =B【例例0-14】化简函数化简函数Y=ABC+AB +A 解：解：Y=AB（C+ ）+A =A（2）吸收法）吸收法利用公式利用公式A+AB=A吸收多余的乘积项。吸收多余的乘积项。【例例0-15】化简函数化简函数Y= B+ BC 解：解：Y= B+ BC= B（3）消去法）消去法利用公式利用公式A+ B=A+B消去多余因子；

35、利用公式消去多余因子；利用公式AB+ C+BC=AB+ C（冗余定理）消去多余项（冗余定理）消去多余项BC。 【例例0-16】化简函数化简函数Y= +AC+B D解：解：Y= +C+B D= +C+BD【例例0-17】化简函数化简函数Y=AD+ EG+DEG解：式中解：式中DEG是多余项，可以消去，则是多余项，可以消去，则Y=AD+ EG （4）配项法）配项法 利用公式利用公式A+A=A，A+ =1及及AB+ C+BC=AB+ C等，给某函等，给某函数配上适当的项，进而可以消去原函数式中的某些项。数配上适当的项，进而可以消去原函数式中的某些项。 【例例0-18】化简函数化简函数Y= 解法解法1

36、 ：Y= = 解法解法2：若前二项配项，后二项不动，则：若前二项配项，后二项不动，则Y= 0.5逻辑函数的图形化简法逻辑函数的图形化简法1、最小项的定义、最小项的定义 在具有在具有N个变量的逻辑函数表达式中，如果某一个变量的逻辑函数表达式中，如果某一乘积项包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项乘积项包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中以原变量或以反变量的形式出现一次且仅出现一中以原变量或以反变量的形式出现一次且仅出现一次，则该乘积项就定义为逻辑函数的一个最小项。次，则该乘积项就定义为逻辑函数的一个最小项。N个变量的全部最小项共有个变量的全部最小项共有2 个。个。 为了表述方便，用为了表述方

37、便，用mi表示最小项，其下标为最小表示最小项，其下标为最小项的编号。编号的方法是项的编号。编号的方法是:最小项中的原变量取为最小项中的原变量取为1，反变量取为，反变量取为0，则最小项取值为一组二进制数，其，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。例如对应的十进制数便为该最小项的编号。例如:三变量三变量A、B、C共有共有8个最小项，个最小项，ABC是其中一个最小项，是其中一个最小项，按编号方法，对应的变量取值为按编号方法，对应的变量取值为110，与之对应的十，与之对应的十进制数是进制数是6，因此，因此，ABC的最小项编号为的最小项编号为m6 。三变。三变量的全体最小项及其

38、编号见表量的全体最小项及其编号见表.N2、最小项的性质、最小项的性质（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为值为1，而其他各种变量取值均使它的值为，而其他各种变量取值均使它的值为0;（2）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为为0;（3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。3、最小项的逻辑相邻性、最小项的逻辑相邻性 如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项具有逻辑相邻

39、关变量均相同，则这样的两个最小项具有逻辑相邻关系，并称它们为相邻最小项，简称相邻项。例如系，并称它们为相邻最小项，简称相邻项。例如:三三变量最小项变量最小项ABC和和AB ，其中，其中C与与 互为反变量，其互为反变量，其余变量（余变量（AB）都相同，所以它们是相邻最小项。最）都相同，所以它们是相邻最小项。最小项的逻辑相邻性在化简中有重要作用，当两个相小项的逻辑相邻性在化简中有重要作用，当两个相邻项相加时可以消去互反变量，合并为一项，例如邻项相加时可以消去互反变量，合并为一项，例如: ABC+AB =AB（C+ ）=AB。4、逻辑函数的标准与或式、逻辑函数的标准与或式最小项表达式最小项表达式所谓

40、标准与或式就是由若干个最小项逻辑相加构成的所谓标准与或式就是由若干个最小项逻辑相加构成的表达式，亦称最小项表达式。任何一个函数表达式表达式，亦称最小项表达式。任何一个函数表达式都可以利用基本定律和配项法写成标准与或式，并都可以利用基本定律和配项法写成标准与或式，并且标准与或式是惟一的。且标准与或式是惟一的。 如：如：Y（A，B，C）= B+AC （一般与或式）（一般与或式） = B（ +C）+AC（ +B） （配项法）（配项法） = （标准与或式）（标准与或式） =m2 + m3+ m5+ m7 = m（2，3，5，7）（简化标准与或式）（简化标准与或式求和形式求和形式 我们称我们称m2、m3

41、、 m5、m7 这四个最小项为函数这四个最小项为函数Y的的最小项，不同的三变量函数最小项，不同的三变量函数Y将拥有将拥有m0 m7 种不同种不同的若干个最小项。的若干个最小项。 0.5.2.卡诺图卡诺图 1、变量的卡诺图、变量的卡诺图N个变量卡诺图，共能分割出个变量卡诺图，共能分割出 个小方格，每个小方格代表一个小方格，每个小方格代表一个最小项。个最小项。（1）三变量卡诺图）三变量卡诺图矩形（二行、四列），共分割出矩形（二行、四列），共分割出 （8）个小方格。如图）个小方格。如图0-6所所示。示。卡诺图中左上角斜线下面的变量（卡诺图中左上角斜线下面的变量（A）称为行变量，斜线上面）称为行变量，

42、斜线上面的变量（的变量（BC）称为列变量。）称为列变量。 应当注意应当注意:图中两个列变量图中两个列变量BC的排列顺序不是按自然二进制的排列顺序不是按自然二进制码（码（00，01，10，11）由小到大排列，而是按循环码（）由小到大排列，而是按循环码（00，01，11，10）的顺序排列的，这样才能保证卡诺图中最小项）的顺序排列的，这样才能保证卡诺图中最小项的相邻性。下面介绍的四变量卡诺图行、列排列顺序与此相的相邻性。下面介绍的四变量卡诺图行、列排列顺序与此相同（即按循环码的顺序排列）。同（即按循环码的顺序排列）。 （2）四变量卡诺图）四变量卡诺图正方形（四行、四列），分割出正方形（四行、四列），

43、分割出 （16）个小方格，如图）个小方格，如图0-7所所示。示。（3）关于卡诺图的相邻性）关于卡诺图的相邻性 卡诺图的最大优点就是形象地表达了各最小项之间的相邻性，相邻性卡诺图的最大优点就是形象地表达了各最小项之间的相邻性，相邻性包括几何相邻性和逻辑相邻性。包括几何相邻性和逻辑相邻性。几何相邻几何相邻最小项在卡诺图几何图形位置上的相邻关系主要包括三种情况：一是相最小项在卡诺图几何图形位置上的相邻关系主要包括三种情况：一是相挨（任意挨在一起的两个小方格）；二是相对（任意一行或一列的两端）；挨（任意挨在一起的两个小方格）；二是相对（任意一行或一列的两端）；三是相重（对折起来位置重合）。三是相重（对

44、折起来位置重合）。 逻辑相邻逻辑相邻任意两个最小项中只有一个变量不同（互反），那么，称这两个最小项任意两个最小项中只有一个变量不同（互反），那么，称这两个最小项在逻辑上具有相邻性。如在图在逻辑上具有相邻性。如在图0-6（a）中，）中，m0 = 和和m1 = ，二者只，二者只有有C变量不同，故变量不同，故m0与与m1逻辑相邻。同理，逻辑相邻。同理， m0 还与还与m2、m4逻辑相邻。逻辑相邻。结论：结论： 在卡诺图中，凡是几何相邻的最小项必定逻辑相邻。如图在卡诺图中，凡是几何相邻的最小项必定逻辑相邻。如图0-6（a）所）所示，示，m0 与与m1、m2 、m4 分别为几何相邻；同时前面已验证分别为

45、几何相邻；同时前面已验证m0与与m1、m2、m4又为逻辑相邻，可见，上面的结论是正确的。卡诺图的这一结论是很重又为逻辑相邻，可见，上面的结论是正确的。卡诺图的这一结论是很重要的，它体现了卡诺图作为化简工具的实质。同时说明要的，它体现了卡诺图作为化简工具的实质。同时说明:行、列变量只有按行、列变量只有按循环码顺序标注，才能满足卡诺图有这个重要的结论。循环码顺序标注，才能满足卡诺图有这个重要的结论。相邻的最小项合并时，可以消去有关变量，从而达到化简的目的。如相邻的最小项合并时，可以消去有关变量，从而达到化简的目的。如: m0 = 和和m1 = ，因二者相邻，则，因二者相邻，则m0 + m1 = +

46、 = ，消去了，消去了C变量；同理，变量；同理，m0 + m2 = ，消去了，消去了B； m0 + m4 = ，消去了，消去了A，可，可见消去的是互反的变量。见消去的是互反的变量。（4）卡诺图的性质）卡诺图的性质卡诺图具有如下性质：卡诺图具有如下性质： 卡诺图上任何两个卡诺图上任何两个( )标标1的相邻最小项，可以合的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量，如图所示。并为一项，并消去一个变量，如图所示。 卡诺图上任何卡诺图上任何4个个( 个个)标标1的相邻最小项，可以合的相邻最小项，可以合并为一项，并消去两个变量，如图所示。并为一项，并消去两个变量，如图所示。 卡诺图上任卡诺图上任8个个(

47、 个个)标标1的相邻最小项，可以合的相邻最小项，可以合并为一项，并消去并为一项，并消去3个变量。如图所示。个变量。如图所示。2、逻辑函数的卡诺图、逻辑函数的卡诺图所谓逻辑函数的卡诺图，就是已知函数所谓逻辑函数的卡诺图，就是已知函数Y表达式，表达式，用卡诺图将用卡诺图将Y表示出来，即把函数填入到卡诺图中去。表示出来，即把函数填入到卡诺图中去。步骤如下步骤如下: 根据根据Y表达式的变量个数表达式的变量个数N，画出，画出N变量卡诺图变量卡诺图;根据函数根据函数Y拥有的若干个最小项的编号，在相应拥有的若干个最小项的编号，在相应编号的小方格中填编号的小方格中填1，其余小方格中填，其余小方格中填0（或不填

48、）。（或不填）。【例例0-20】已知函数标准与或式已知函数标准与或式 ，试画出函数试画出函数Y的卡诺图。的卡诺图。 解：这是一个三变量函数，解：这是一个三变量函数，N=3，先画出三变量卡诺图。由，先画出三变量卡诺图。由于已知于已知Y为标准与或式为标准与或式: Y（A，B，C）=m2 + m3 + m5 + m7 = m（2，3，5，7） 故对应卡诺图中故对应卡诺图中2、3、5、7号小方格中填号小方格中填1，其余小方格不填，其余小方格不填，即画出了即画出了Y的卡诺图。如图所示。的卡诺图。如图所示。 【例例0-21】已知已知Y（A，B，C，D）=（ +AB）+ + + ，试画出，试画出Y的卡诺图。

49、的卡诺图。解：由于已知解：由于已知Y式不是与或式，先将其变成一般与或式，而后，式不是与或式，先将其变成一般与或式，而后，有两种方法有两种方法: 其一，将其一，将Y式配项变成标准与或式，再画出卡诺图，但这样式配项变成标准与或式，再画出卡诺图，但这样做较麻烦，一般不采用做较麻烦，一般不采用; 其二，利用变量在卡诺图中的分布规律直接将一般与或式填其二，利用变量在卡诺图中的分布规律直接将一般与或式填入卡诺图，这种方法较快捷方便。入卡诺图，这种方法较快捷方便。 三变量和四变量卡诺图变三变量和四变量卡诺图变量分布规律如图所示。中括号内所指所有最小项均包含该变量分布规律如图所示。中括号内所指所有最小项均包含

50、该变量的原变量，中括号外的所有最小项均包含该变量的反变量。量的原变量，中括号外的所有最小项均包含该变量的反变量。首先把已知首先把已知Y式展开成一般与或式：式展开成一般与或式：Y（A，B，C，D）= + + + + ，然后画出四变，然后画出四变量卡诺图。量卡诺图。对于乘积项，包含变量的最小项有对于乘积项，包含变量的最小项有m4、 m5；对于乘积项，；对于乘积项，包含变量的最小项有包含变量的最小项有m12、 m13；对于乘积项，包含变量的最；对于乘积项，包含变量的最小项有小项有m3、 m11；对于乘积项，包含变量的最小项有；对于乘积项，包含变量的最小项有m2、 m10；对应的最小项为；对应的最小项

51、为m9 。最后将上式中的所有乘积项包含的。最后将上式中的所有乘积项包含的最小项直接填入卡诺图，便得到该函数的卡诺图，如图所示。最小项直接填入卡诺图，便得到该函数的卡诺图，如图所示。正确填写函数的卡诺图是利用卡诺图进行化简的基础。只有正确填写函数的卡诺图是利用卡诺图进行化简的基础。只有正确画出了函数的卡诺图，才能保证化简的正确性。正确画出了函数的卡诺图，才能保证化简的正确性。3、用卡诺图化简逻辑函数、用卡诺图化简逻辑函数 （1）卡诺图化简法（圈）卡诺图化简法（圈1法）化简逻辑函数的步骤法）化简逻辑函数的步骤化简逻辑函数过程可分为以下四步：化简逻辑函数过程可分为以下四步： 首先将逻辑函数变换为与或

52、表达式。首先将逻辑函数变换为与或表达式。 画出逻辑函数的卡诺图。画出逻辑函数的卡诺图。 合并相邻的最小项。把卡诺图中合并相邻的最小项。把卡诺图中2N 个为个为1的相邻方的相邻方格用包围圈圈起来进行合并，每个包围圈对应写成格用包围圈圈起来进行合并，每个包围圈对应写成一个乘积项，直到圈完所有的标一个乘积项，直到圈完所有的标1的方格为止。的方格为止。 将整理后的各个乘积项加起来，就是所求的化简结将整理后的各个乘积项加起来，就是所求的化简结果果最简与或式。最简与或式。（2）用包围圈合并相邻最小项的几个原则）用包围圈合并相邻最小项的几个原则在化简逻辑函数的步骤中，其中最关键的一步就是第三步，即在化简逻辑

53、函数的步骤中，其中最关键的一步就是第三步，即用包围圈合并相邻的最小项，虽然这一步没有固定步骤，但用包围圈合并相邻的最小项，虽然这一步没有固定步骤，但在化简过程中应遵循以下几个原则：在化简过程中应遵循以下几个原则： 包围圈越大越好。但每个包围圈中标的方格数目必须为包围圈越大越好。但每个包围圈中标的方格数目必须为2N个，个，N=0，1，2，3，4。 每个包围圈应至少含有一个新的最小项。标每个包围圈应至少含有一个新的最小项。标1的方格可以被的方格可以被不同的包围圈多次圈用，但每个圈里至少有不同的包围圈多次圈用，但每个圈里至少有1个标个标1方格未被方格未被其它包围圈所圈过，这个未被其它包围圈圈过的方格

54、所对应其它包围圈所圈过，这个未被其它包围圈圈过的方格所对应的最小项称为新的最小项。否则，这个包围圈为多余包围圈的最小项称为新的最小项。否则，这个包围圈为多余包围圈（对应的乘积项就是多余项）。（对应的乘积项就是多余项）。 包围圈的个数应尽量少。由于一个包围圈对应一个乘积项，包围圈的个数应尽量少。由于一个包围圈对应一个乘积项，包围圈的个数越少，化简后的乘积项就越少。包围圈的个数越少，化简后的乘积项就越少。 不能漏掉任何一个标的方格。不能漏掉任何一个标的方格。 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简

55、的，要经过比较、组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。检查才能确定。 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不一定是唯一的。即一个函数的最简与或表达式不一定是唯一的。【例例0-22】 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数Y（A，B，C，D）= m（2，3，4，5，8，10，11，12，13）。）。解解 ：（：（1）由于函数）由于函数Y为标准与或式，可直接画为标准与或式，可直接画出函数出函数Y的卡诺图。如图的卡诺图。如图1-12所示。所示。（2）画包围圈，合并相邻最小项。）画包围圈

56、，合并相邻最小项。先圈仅先圈仅2个相邻的标个相邻的标1方格（方格（a圈）圈）;再圈再圈4个相邻的标个相邻的标1方格（方格（b、c圈），注意圈），注意c圈圈为上下两两相邻为上下两两相邻;（3）提取每个包围圈中最小项的公因子构成乘）提取每个包围圈中最小项的公因子构成乘积项，然后将这些乘积项加起来，就得到最积项，然后将这些乘积项加起来，就得到最简与或式。简与或式。一个包围圈对应一个乘积项，在写乘积项时，如果包围圈在一个包围圈对应一个乘积项，在写乘积项时，如果包围圈在变量内部时，该变量以原变量形式作为因子在乘积项中出现。变量内部时，该变量以原变量形式作为因子在乘积项中出现。包围圈在变量外部时，该变量以

57、反变量形式作为因子在乘积包围圈在变量外部时，该变量以反变量形式作为因子在乘积项中出现。若包围圈一半在变量内部，一半在变量外部时，项中出现。若包围圈一半在变量内部，一半在变量外部时，该变量不写（即消掉该变量）。所以，该变量不写（即消掉该变量）。所以，a圈对应的乘积项为圈对应的乘积项为 ，b圈对应的乘积项为圈对应的乘积项为 ， c圈对应的乘积项为圈对应的乘积项为 。所以该函数最简与或式为所以该函数最简与或式为 【例例0-23】 用卡诺图化简用卡诺图化简Y= 。解：（解：（1）函数）函数Y为一般与或式，可直接填出函数为一般与或式，可直接填出函数Y的卡诺图。的卡诺图。（2）画包围圈。如图所示。）画包围

58、圈。如图所示。（3）写最简与或表达式。由最小项）写最简与或表达式。由最小项m5、m 7、m13、m15构成构成的包围圈因无新最小项，该包围圈为无效包围圈，其所对应的包围圈因无新最小项，该包围圈为无效包围圈，其所对应的乘积项为无效项。的乘积项为无效项。 所以最简与或表达式为所以最简与或表达式为0.6 具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简1约束、约束项、约束条件约束、约束项、约束条件对于十字路口的交通信号灯，设红、绿、黄灯分别用对于十字路口的交通信号灯，设红、绿、黄灯分别用A、B、C来表示；灯亮用来表示；灯亮用1表示，灯灭用表示，灯灭用0表示；停车时表示；停车时Y=1，通车时，通车时Y

59、=0。在实际工作中，一次只允许一个灯亮，不允许有两个。在实际工作中，一次只允许一个灯亮，不允许有两个或两个以上的灯同时亮。如果在灯全灭时，允许车辆感到安或两个以上的灯同时亮。如果在灯全灭时，允许车辆感到安全时可以通行，所以任何两个变量都不会同时取值为全时可以通行，所以任何两个变量都不会同时取值为1（同（同时有效），即时有效），即A、B、C三个变量的取值只能出现三个变量的取值只能出现000、001、010、100，而不会出现，而不会出现011、101、110、111这四种情况。这四种情况。 （1）约束的概念）约束的概念 由上例可见，三个变量由上例可见，三个变量A、B、C之间存在着相互制约的关系，

60、之间存在着相互制约的关系，这种关系即为约束。实际逻辑问题往往具有约束，约束是一这种关系即为约束。实际逻辑问题往往具有约束，约束是一个非常重要的概念。个非常重要的概念。 （2）约束项）约束项 由上例，由上例，011、101、110、111这四种组合不会出现，由它们这四种组合不会出现，由它们对应写出的最小项对应写出的最小项 叫约束项（或叫无关项、叫约束项（或叫无关项、任意项），在逻辑函数中用字母任意项），在逻辑函数中用字母d和相应的编号表示，在卡和相应的编号表示，在卡诺图中用诺图中用“”表示。表示。（3）约束条件）约束条件 由于约束项不会出现，也就是说约束项的值不会为由于约束项不会出现，也就是说约

61、束项的值不会为1，其，其值恒为值恒为0。将约束项加起来恒为。将约束项加起来恒为0的等式叫约束条件表达式。的等式叫约束条件表达式。值得说明的是，约束条件表达式不能单独存在（无意义），值得说明的是，约束条件表达式不能单独存在（无意义），必须和逻辑函数表达式在一起，作为该实际逻辑函数成立的条必须和逻辑函数表达式在一起，作为该实际逻辑函数成立的条件。我们把有约束条件限制的逻辑函数，叫做件。我们把有约束条件限制的逻辑函数，叫做具有约束的逻辑具有约束的逻辑函数函数。如上例函数可由下式表示。如上例函数可由下式表示Y（A，B，C）= m（0，1，2，4）+ d（3，5，6，7） 2.具有约束的逻辑函数的化简具

62、有约束的逻辑函数的化简在卡诺图中约束项既可看做在卡诺图中约束项既可看做1，也可看做，也可看做0。画。画包围圈时可以把约束项包括在里面，也可以包围圈时可以把约束项包括在里面，也可以把约束项包括在外面。其原则仍然是相邻最把约束项包括在外面。其原则仍然是相邻最小项构成包围圈最大，包围圈数目最少。但小项构成包围圈最大，包围圈数目最少。但要注意包围圈中必须包含有效最小项，不能要注意包围圈中必须包含有效最小项，不能全是约束项，而且只要按此原则把全是约束项，而且只要按此原则把1圈完有些圈完有些约束项不是非利用不可。约束项不是非利用不可。【例例0-24】 下表是下表是8421BCD码表示的十进制数码表示的十进

63、制数09，其中，其中10101111六个状态不会出现，六个状态不会出现，为约束项。要求当十进制数为奇数时，输出为约束项。要求当十进制数为奇数时，输出Y=1。求。求Y的最简与或式。的最简与或式。解：画出函数解：画出函数Y对应的卡诺图，如图所示。对应的卡诺图，如图所示。（1）若不考虑约束项，化简可得）若不考虑约束项，化简可得Y= （自行推导）（自行推导） （2）若考虑约束项，并利用约束项）若考虑约束项，并利用约束项“”进行化简，进行化简，如图所示，其结果为如图所示，其结果为Y=D可见，利用约束项可使结果大大简化。同时说明该逻可见，利用约束项可使结果大大简化。同时说明该逻辑问题的实质简化为辑问题的实质简化为“D=1时，时，Y=1，即当，即当D=1时，时，十进制数为奇数十进制数为奇数”。休息一下！同学们来学校和回家的路上要注意安全同学们来学校和回家的路上要注意安全