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1、第二章 测试系统的特性u测试系统概述u测试系统的静态特性u测试系统的动态特性一测试系统1、定义：回顾一下测试系统的组成指示仪（模拟）指示仪传感器放大电源记录仪（数字）PC单片机非电量电信号被测量 测试装置输入x输出y 这样， 系统的特性包括：a）输入特性； b）传递特性 c）输出特性可以简单的表示成： 静态特性：被测量不随时间变化或缓慢变化时，y与x 之间的关系，用代数方程表示。动态特性：被测量随时间迅速变化， y与x 之间的关系，微分方程表示静态特性动态特性2-1测试系统的静态特性 输入x与输出y不随时间变化时，可以用代数方程y=Sx表示系统的静态特性，称为静态特性方程。例：称不同重量的物体
2、时，弹簧秤表现出的特性，就是测试系统（弹簧秤）的静态特性。因为物体的重量是恒定的，不随时间变化的。一、静态特性指标1、灵敏度灵敏度：灵敏度是指测试装置在静态测量时，输出增量y与输入增量x之比，即 Sy/x 线性装置的灵敏度S为常数，是输入与输出关系直线的斜率。非线性装置的灵敏度S是一个变量，输入量不同，灵敏度就不同，通常用拟合直线的斜率表示装置的平均灵敏度。y0x拟合曲线实测曲线灵敏度的量纲由输入和输出的量纲决定。若输出和输入的量纲相同，则称放大倍数。 应该注意的是，装置的灵敏度越高，就越容易受外界干扰的影响，即装置的稳定性越差，同时测量范围越小。F还是以弹簧为例：F=KXX=(1/K)F,
3、这里，x是输出量，F是输入量。S=1/K=a/b, 这里a,b是由K决定的常数2、线性度线性度：理想的测试装置静态特性曲线是条直线，但实际上大多数测试装置的静态特性曲线是非线性的。实际特性曲线与拟合直线偏离的程度称为线性度，用线性误差表示为 LLm/A100 Lm：实际曲线与拟合直线的最大偏差，实际曲线也被称为标定曲线实际曲线与拟合直线的最大偏差，实际曲线也被称为标定曲线 A：输出量程输出量程 应当注意，量程越小，线性化带来的误差越小，因此要求线性化误差小的场 合可以采取分段线性化。yymxA0xm拟合曲线标定曲线Lm3、回差回差：实际测试装置在输入量由小增大和由大减小的测试过程中，对于同一输
4、入量会得到大小不等的输出量，在全部测量范围内，这个差别的最大值与标称输出范围之比称回差。即 hhm/ym100 , hm:正反行程的最大差值，ym：标称输出范围回差是由迟滞现象产生的，即由于装置内部的弹性元件、磁性元件的滞后特性以及机械部分的摩擦、间隙、灰尘积塞等原因造成的。 ymyhmxmx04、漂移：漂移：指输入量不变时，经过一定的时间后输出量产生的变化。由于温度变化而产生的漂移称温漂。5、分辨力：分辨力：指仪器可能检测出的输入信号最小变化量。分辨力除以满量程称分辨率。2-22-2测试系统的动态特性测试系统的动态特性 动态测量时，被测信号随时间迅速变化，系统特性就必须用微分方程描述。通常我
5、们希望测试系统为理想的线性时不变系统。一、一、线性系统线性系统输入的加权得到输出的加权；输入的加权得到输出的加权；假设：系统x1(t)Y1(t)系统x2(t)Y2(t)系统ax1(t)+bx2(t)Y(t)Y(t)= aY1(t) +bY2(t)判断：(1)y=2x+3 (2)y=2x (3)y=x2解：（1）x1(t)Y1(t)=2x1(t)+3x2(t)Y2(t)=2x2(t)+33 x1(t)+4 x2(t)Y(t)=23 x1(t)+4 x2(t)+3= 6x1(t)+8 x2(t)+3如果为线性系统，其输出应为：Y3(t)=3y1(t)+4y2(t)= 6x1(t)+9+8 x2(t
6、)+12=6x1(t)+8 x2(t)+21Y(t)不等于Y3(t),所以系统为非线性系统x2(t)Y2(t)=2x2(t)Y1(t)=2x1(t)（2）x1(t)3 x1(t)+4 x2(t)Y(t)=23 x1(t)+4 x2(t)= 6x1(t)+8x2(t)=3y1(t)+4y2(t)所以该系统为线性系统所以该系统为线性系统(3) 很明显是非线性系统很明显是非线性系统时不变系统是指输入的延时得到输出的延时。时不变系统是指输入的延时得到输出的延时。时不变线性系统满足时不变线性系统满足叠加性，比例特性，叠加性，比例特性，频率保持性频率保持性。频率保持性频率保持性指时不变线性系统稳态输出信号
7、频率与输入信号的频率指时不变线性系统稳态输出信号频率与输入信号的频率相同。如果系统处于线性工作范围内，输入信号频率已知，则输相同。如果系统处于线性工作范围内，输入信号频率已知，则输出信号与输入信号有相同的频率分量。如果输出信号中出现与输出信号与输入信号有相同的频率分量。如果输出信号中出现与输入信号频率不同的分量，说明系统中存在着非线性环节或超出了入信号频率不同的分量，说明系统中存在着非线性环节或超出了系统线性工作范围。系统线性工作范围。 这就是说加于常系数线性系统的各输入分量所引这就是说加于常系数线性系统的各输入分量所引起的输出是互不影响的。因此，分析常系数线性系统起的输出是互不影响的。因此，
8、分析常系数线性系统在复杂输入作用下的总输出时，可以先将复杂的输入在复杂输入作用下的总输出时，可以先将复杂的输入量分解成许多简单的输入分量，求出每个简单输入分量分解成许多简单的输入分量，求出每个简单输入分量得输出，再对这些输出求和。量得输出，再对这些输出求和。二、二、系统传递特性的描述系统传递特性的描述用用 ：any(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(0)(t)=bmx(m)(t)+bm-1x(m1)(t)+b1x(1)(t)+b0x(0)(t) 微分方程来描述系统的传递微分方程来描述系统的传递特性。特性。系统为线性时不变系统时，该方程为常系数微分方程。系统为线
9、性时不变系统时，该方程为常系数微分方程。从系统的微分方程中需要掌握：从系统的微分方程中需要掌握： nm,且且n代表系统微分方程的阶次；代表系统微分方程的阶次；比如：比如：y(t)=kx(t)是零阶系统；（代数方程）是零阶系统；（代数方程） a1y/+a0y=b0x(t)是一阶系统是一阶系统a2y/ +a1y/+a0y=b0x(t)是二阶系统是二阶系统通常系统中有通常系统中有n个储能元件，便是个储能元件，便是n阶系统。阶系统。 an，an-1a0和和bm，bm-1b0是由系统本身结构特性（物理是由系统本身结构特性（物理元件的参数）唯一确定的常数。元件的参数）唯一确定的常数。若初始条件为零，也即若
10、初始条件为零，也即x(0)=y(0)=0，而且而且x(0)与与y(0的各阶导数也为零，对该方程两边作拉普拉斯变换的各阶导数也为零，对该方程两边作拉普拉斯变换，上式定义为系统的上式定义为系统的传递函数。传递函数。传递函数的特点：传递函数的特点：1）H(S)与输入量无关；与输入量无关；2）不同的物理系统可以有相同的传递函数。）不同的物理系统可以有相同的传递函数。 Y(s)y/(t)s Y(s)y(t)y/(t)s2 Y(s)得到：得到：式22各种具体的物理系统，只各种具体的物理系统，只要具有相同的微分方程，要具有相同的微分方程，其传递函数也就相同，即其传递函数也就相同，即同一个传递函数可表示不同一
11、个传递函数可表示不同的物理系统。例如，液同的物理系统。例如，液柱温度计和简单的柱温度计和简单的RC低通低通滤波器同是一阶系统，具滤波器同是一阶系统，具有相同的传递函数；动图有相同的传递函数；动图式电表、振动子、弹簧式电表、振动子、弹簧质量阻尼系统和质量阻尼系统和LRC振振荡电路都是二阶系统，具荡电路都是二阶系统，具有相同的传递函数。有相同的传递函数。3）传递函数与微分方程是等价的。）传递函数与微分方程是等价的。 由于拉普拉斯变换是一一对应变换，不丢失由于拉普拉斯变换是一一对应变换，不丢失任何信息，故传递函数与微分方程完全等任何信息，故传递函数与微分方程完全等价。价。 Y(S)=H(S). X(
12、S)。如果已知如果已知 H(S),和输入和输入x(t)，可以先求可以先求X(S)，由上式求出由上式求出Y(S），），然后然后通过拉普拉斯反变换，求出通过拉普拉斯反变换，求出y(t),这样就避开这样就避开了求解微分方程的难题。了求解微分方程的难题。三、频率响应频率响应若系统是稳定的，那么将若系统是稳定的，那么将sj代入式代入式22，得，得H(j)称为系统的频率响应函数。称为系统的频率响应函数。注意：这两个变换存在的条件不同。注意：这两个变换存在的条件不同。由线性时不变系统由线性时不变系统(LTI)的频率保持特性可知：的频率保持特性可知：X=sintLTI系统系统Y=Asin(t+)H(j)给出了
13、不同频率的成分通过系统时的给出了不同频率的成分通过系统时的A(), ();H（j）= A（）ej(), 即即H(j)是是的的函数函数同时，H（j）的复数形式可以表示为： H（j）= P（）+ jQ（）， A()表示输出与输入的幅值比随频率变化的关系，称为系统的幅频特性, 表现了不同频率成分通过系统的放大倍数。()表示输出与输入的相位差随频率变化的关系，称为系统的相频特性，表现了不同频率成分通过系统的相位角变化（延时）。用频率响应函数来描述系统的最大优点是它可以通过实验用频率响应函数来描述系统的最大优点是它可以通过实验来求得。实验求得频率响应函数的原理，比较简单明了：来求得。实验求得频率响应函数
14、的原理，比较简单明了：依次用不同频率依次用不同频率i的简谐信号去激励被测系统，同时测出激的简谐信号去激励被测系统，同时测出激励和系统的稳态输出的幅值励和系统的稳态输出的幅值 Xi、Yi和相位差和相位差i。这样对于某这样对于某个个i，便有了一组便有了一组Yi/Xi=Ai和和i，全部的全部的Ai-i和和i-i，i=1,2,3,便可表达系统的频率响应函数。便可表达系统的频率响应函数。 需要特别指出，频率响应函数是描述系统的简谐输人和相需要特别指出，频率响应函数是描述系统的简谐输人和相应的稳态输出的关系。因此，在测量系统频率响应函数时，应的稳态输出的关系。因此，在测量系统频率响应函数时，应当在系统响应
15、达到稳态阶段时才进行测量。应当在系统响应达到稳态阶段时才进行测量。 尽管频率响应函数是对简谐激励而言的，但如前所述，任尽管频率响应函数是对简谐激励而言的，但如前所述，任何信号都可分解成简谐信号的叠加。因而在任何复杂信号何信号都可分解成简谐信号的叠加。因而在任何复杂信号输人下，系统频率特性也是适用的。这时，幅频、相频特输人下，系统频率特性也是适用的。这时，幅频、相频特性分别表征系统对输人信号中各个频率分量幅值的缩放能性分别表征系统对输人信号中各个频率分量幅值的缩放能力和相位角前后移动的能力。力和相位角前后移动的能力。 31.频率响应的图形表示法频率响应的图形表示法 幅频特性曲线和相频特性曲线。以
16、幅频特性曲线和相频特性曲线。以为自变量，以为自变量，以A（）和）和（）为因为因变量画出曲线。它表示输出与输入的幅值比和相位差随频率变量画出曲线。它表示输出与输入的幅值比和相位差随频率的变化关系。的变化关系。波特图。对自变量波特图。对自变量取对数取对数lg作为横坐标，以作为横坐标，以20lgA()和和()作纵坐标，作纵坐标，画出的曲线。它把画出的曲线。它把轴按对数进行了压缩，便于对较宽范围的信号进行研究，轴按对数进行了压缩，便于对较宽范围的信号进行研究，观察起来一目了然，绘制容易，使用方便。观察起来一目了然，绘制容易，使用方便。 奈奎斯特图。将奈奎斯特图。将H（j）的虚部和实部分别作为纵横坐标画
17、出的图形。它的虚部和实部分别作为纵横坐标画出的图形。它反映了频率变化过程中系统过程中系统响应反映了频率变化过程中系统过程中系统响应H（j）的变化。的变化。（1）一阶系统的频率响应）一阶系统的频率响应对上式两边取拉氏变换得对上式两边取拉氏变换得 令令 s=s=j,j,代入上式，得频率响应函数代入上式，得频率响应函数 32.常见的测试装置的频率响应常见的测试装置的频率响应K：刚度刚度C：阻尼系数阻尼系数X(t) 力力y(t)位位移移KC由力平衡可得：由力平衡可得：Cy/+K.y=x(t)令令S1/k;C/k; 则左式为：则左式为：（）H（j）arctg（）一阶系统的幅频特性曲线和相频特性曲线如上图
18、所示。一阶系统的幅频特性曲线和相频特性曲线如上图所示。可见：可见：幅值比幅值比A（）随）随的增大而减小。的增大而减小。A（）和）和（）的变化表示输出与的变化表示输出与输入之间的差异，称为稳态响应动态误差。输入之间的差异，称为稳态响应动态误差。 系统的工作频率范围取决于时间常数系统的工作频率范围取决于时间常数。在。在较小时，幅值和相位得失较小时，幅值和相位得失真都较小。当真都较小。当一定时，一定时，越小，测试系统的工作频率范围越宽。越小，测试系统的工作频率范围越宽。 因此为了减小一阶测试系统得稳态响应动态误差，增大工作频率，应尽可能因此为了减小一阶测试系统得稳态响应动态误差，增大工作频率，应尽可
19、能采用时间常数采用时间常数小的测试系统。小的测试系统。一阶系统的频率响应曲线一阶系统的频率响应曲线例：用传递函数为例：用传递函数为的装置测量信号的装置测量信号x(t)=0.6sin10t+0.6sin(100t-30), 试求稳态输出试求稳态输出y(t);K：刚度C：阻尼系数X(t) 力y(t)位移KCM（2）二阶系统的频率响应二阶系统中存在两个储能元件，故需能量在两个储能元件之间先达到动平衡，然后才会输出稳态响应；例：如右图所示的质量弹簧阻尼系统；令对二阶系统而言，主要的动态特性参数对二阶系统而言，主要的动态特性参数是系统固有频率是系统固有频率n和阻尼系数和阻尼系数。固有频固有频率为系统幅频
20、特性曲线峰值点对应的频率为系统幅频特性曲线峰值点对应的频率，阻尼系数则可以由峰值点附近的两率，阻尼系数则可以由峰值点附近的两个半功率点的频率计算个半功率点的频率计算可见：可见：频率响应和阻尼率频率响应和阻尼率有关。有关。从幅频特性曲线可知：从幅频特性曲线可知：当当 0.7时，幅值比时，幅值比A（）1，称为过阻尼；称为过阻尼；当当 0.7时，在时，在/0 1处产生谐振，称为欠阻尼；处产生谐振，称为欠阻尼；谐振频率谐振频率：对于欠阻尼系统，对于欠阻尼系统， A（）有峰值，峰值对应的频率有峰值，峰值对应的频率， 称称为谐振频率为谐振频率,低于固有频率低于固有频率n。当当0时，时， A（），出现共振，
21、称为无阻尼，此时，出现共振，称为无阻尼，此时， 0。二阶系统的频率响应曲线二阶系统的频率响应曲线从相频特性曲线可知：从相频特性曲线可知：当当 0时，在时，在/n1处，处，从从0-180，（）的变化情况与阻尼率有的变化情况与阻尼率有关，但在关，但在/n1时，对所有的时，对所有的来讲都有来讲都有（）-90。 频率响应与频率响应与n有关有关。系统的频率响应不但随阻尼率。系统的频率响应不但随阻尼率而变，同时随固有而变，同时随固有角频率而不同。固有角频率角频率而不同。固有角频率n越高，稳态动误差小的工作频率范围越宽，越高，稳态动误差小的工作频率范围越宽，反之越窄。反之越窄。测试系统在典型输入下的响应测试
22、系统在典型输入下的响应1.单位脉冲响应单位脉冲响应若装置的输人为单位脉冲若装置的输人为单位脉冲（t），因单位脉冲因单位脉冲（t）的拉普拉的拉普拉斯变换为斯变换为1，因此装置的输出，因此装置的输出y（t）的拉普拉斯变换必将是的拉普拉斯变换必将是H（s），即，即Y（s）=H（s），或，或y（t）=L-1H（S），并可以并可以记为记为h（t），常称它为装置的脉冲响应函数或权函数。脉冲响常称它为装置的脉冲响应函数或权函数。脉冲响应函数可视为系统特性的时域描述。应函数可视为系统特性的时域描述。 因为一阶系统的传递函数为： 若系统灵敏度S=1，则 响应速度：工程中采用时间较短的脉冲信号近似单位脉冲。工程中
23、采用时间较短的脉冲信号近似单位脉冲。至此，系统特性在时域、频域和复数域可分别用脉冲响应函数至此，系统特性在时域、频域和复数域可分别用脉冲响应函数h（t）、频率响应函数频率响应函数H（）和传递函数和传递函数H（s）来描述。来描述。h（t）和传递函数和传递函数H（s）是一对拉普拉斯变换对；是一对拉普拉斯变换对；h（t）和频率和频率响应函数响应函数H()又是一对博里叶变换对。又是一对博里叶变换对。2.2.阶跃响应阶跃响应若若系系统统的的输输入入信信号号为为单单位位阶阶跃跃信信号号，即即x(t)=u(t)，则则X(s)=1/s， 此此 时时Y(s)=H(s)/s， 有有y（t）= L-1H(s)/s。
24、 二阶系统的单位阶跃响应：二阶系统的单位阶跃响应：分析分析固有频率固有频率n n：又称无阻尼固有频率；：又称无阻尼固有频率；振荡频率振荡频率d d：又称有阻尼固有频率；：又称有阻尼固有频率；谐振频率谐振频率r r：A(A() )峰值处的频率；峰值处的频率；当当0 0时，无阻尼系统，时，无阻尼系统， n n r r当1时，时， 也认为也认为n约等于约等于r输出最大值输出最大值y ym m(t(t) )与稳态值与稳态值y()y()之差称为最大过冲量之差称为最大过冲量M1,M1,而而M1M1与与y()y()之比的百分数称为超调量。之比的百分数称为超调量。1 1）1,1,系统无超调，无振荡，到达稳态的
25、时间长；系统无超调，无振荡，到达稳态的时间长；2 2）1,1,系统超调系统超调100%,100%,持续振荡；当持续振荡；当0 0时，达时，达不到稳态。不到稳态。3 3） 0.6-0.80.6-0.8时，超调量约为时，超调量约为2.5%-10%,2.5%-10%,通常以通常以2%1 1时，阶跃响应的振时，阶跃响应的振幅不会超过稳态值。幅不会超过稳态值。响应速度与固有频率响应速度与固有频率n n有关，当有关，当 一定时，一定时，n n越高，响应速度越快。越高，响应速度越快。2-4不失真测试的条件设有一个测试系统，其输出设有一个测试系统，其输出y(t)与输入与输入x(t)满足关系满足关系 y(t)=
26、A0x(t-t0) （ 式式2-3）其中，其中，A0，t0都是常数，此式表明该测试系统的输出波形与输入信都是常数，此式表明该测试系统的输出波形与输入信号的波形精确地一致，只是幅值放大了号的波形精确地一致，只是幅值放大了A0倍，在时间上延迟了倍，在时间上延迟了t0而而已（如下图所示）这种情况下，我们认为测试系统具有不失真的特已（如下图所示）这种情况下，我们认为测试系统具有不失真的特性，椐此来考察测试系统不失真测试的条件。性，椐此来考察测试系统不失真测试的条件。 对式对式2-3做傅立叶变换，如下：做傅立叶变换，如下： 考虑到测试系统的实际情况，当考虑到测试系统的实际情况，当t0时，时，x(t)=0
27、，y(t)=0，于是有于是有 A（）不等于常数时所引起的失真称为幅值失真，不等于常数时所引起的失真称为幅值失真，()与与之间的非线之间的非线性关系所引起的失真称为相位失真。性关系所引起的失真称为相位失真。其物理意义是：其物理意义是：输入信号中各频率成分的幅值通过此系统所乘的系数相同，即输入信号中各频率成分的幅值通过此系统所乘的系数相同，即幅频特性具有无限宽的通频带；输入信号中各频率成分的相位角在通过此系统幅频特性具有无限宽的通频带；输入信号中各频率成分的相位角在通过此系统时作与频率成正比的滞后移动，滞后的时间都相同，即相频特性是通过原点向时作与频率成正比的滞后移动，滞后的时间都相同，即相频特性
28、是通过原点向负方向发展的直线。负方向发展的直线。由此可见，若要测试系统的输出波形不失真，则其幅频特性和相频特性应分由此可见，若要测试系统的输出波形不失真，则其幅频特性和相频特性应分别满足别满足 A()=常数常数 ()=-t0A()()实际测量装置不可能在非常宽广的频率范围内都满足上式的要求，所以通常测量装置既会产生幅值失真，也会产生相位失真。下图表示四个不同频率的信号通过一个具有图中A()和()特性的装置后的输出信号。四个输人信号都是正弦信号（包括直流信号），在某参考时刻t0，初始相角均为零。下图中形象地显示各输出信号相对输入信号有不同的幅值增益和相角滞后。 实际的测试系统往往根据测试精度的要
29、求，只要被测信号的频带宽度处实际的测试系统往往根据测试精度的要求，只要被测信号的频带宽度处于测试装置的工作频率范围内，满足不失真测试条件，便认为是不失真测试于测试装置的工作频率范围内，满足不失真测试条件，便认为是不失真测试装置。装置。通频带：通频带：一个实际的测试装置，通过做其幅频特性图和相频特性图，可得到一个实际的测试装置，通过做其幅频特性图和相频特性图，可得到其低端截止频率其低端截止频率f1和高端截止频率和高端截止频率f2，宽度为宽度为f2与与 f1之差的频率被称为是测试之差的频率被称为是测试装置的通频带。整个系统的通频带宽度取决于各环节高端截止频率的下限和装置的通频带。整个系统的通频带宽
30、度取决于各环节高端截止频率的下限和低端截止频率的上限。低端截止频率的上限。一阶系统的一阶系统的通频带通频带: 通常取通常取A() 减少不到减少不到3db的地方，图中的地方，图中1时，时， A()与与()都近似满足不都近似满足不失真测试条件，所以一阶系统的失真测试条件，所以一阶系统的通频带通频带应为应为 0 1/ 信号频带宽度与测试装置通频带的关系：在信号传输中为了使失真限制在允许范围在信号传输中为了使失真限制在允许范围内，必须使测试装置的通频带与信号的占内，必须使测试装置的通频带与信号的占有频带相适应。有频带相适应。用窄带装置去测量宽带信号会带来过大失真；用宽带装置去测量窄带信号，虽然不会产生过大失真，但装置的选择性下降，同时会带来干扰与噪声的增加，这也是不希望的。测试环节的串联和并联测试环节的串联和并联如下图a所示的两传递函数分别为H1(s)和H2(s)的环节串联而成的测试系统，其传递函数为一般地，对由一般地，对由n个环节串联而成的系统，有个环节串联而成的系统，有 如下图如下图b b所示的两传递函数分别为所示的两传递函数分别为H H1 1(s)(s)和和H H2 2(s)(s)的环节并联而成的测试系统，其传递函数为的环节并联而成的测试系统，其传递函数为 一般地，对由n个环节串联而成的系统，有
